7.2

Característica Tensão-Corrente

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AjudaCapítulo 8Capítulo 6Secção 7.1Secção 7.3

7.2.1 Características i(v) e v(i)

A capacidade eléctrica equaciona as grandezas tensão e carga eléctrica acumulada num condensador

q(t) = Cv(t) (7.20)

As variações na carga acumulada definem a corrente nos terminais de acesso

(7.21)

expressão que é vulgarmente designada por característica tensão-corrente do condensador. Uma análise sumária da característica (7.21) permite concluir que:

(i) a tensões constantes correspondem correntes nulas;

(ii) a tensões variáveis no tempo, mas com derivada finita, correspondem correntes finitas;

(iii) a tensões sinusoidais correspondem correntes também sinusoidais;

(iv) a variações infinitamente rápidas da tensão correspondem picos de corrente de amplitude infinita.

Na Figura 7.6 apresenta-se uma interpretação qualitativa da característica tensão-corrente do condensador. Admita-se que no instante t=0 são nulas a tensão, a carga acumulada e a variação da carga (a corrente) nos terminais de um condensador (a). Admita-se ainda que a partir de t=0 se injecta no mesmo uma corrente eléctrica (cargas), positiva no sentido indicado em (b), isto é, que da placa esquerda se retiram electrões (acumulando aí cargas positivas) e que à placa da direita se fornecem electrões.

Figura 7.6 Corrente eléctrica num condensador

Como se indica em (c), do ponto de vista dos terminais de acesso ao exterior, o condensador comporta-se como um elemento através do qual circula uma corrente, independentemente do facto de o dieléctrico ser ou não isolador. A existência de um movimento de cargas nos terminais de acesso às placas não reflecte a presença de uma corrente eléctrica através do dieléctrico, mas sim a acumulação e remoção de cargas nas placas esquerda e direita. Naturalmente que a existência ou não de uma corrente eléctrica se reflecte na existência ou não de uma variação na quantidade de carga acumulada e na respectiva tensão entre placas.

O condensador pode ainda ser encarado como elemento integrador de corrente. Com efeito, a integração de ambos os termos de (7.21) conduz à relação integral

t > to (7.22)

em que v(to) define o valor inicial da tensão aos terminais do condensador.

7.2.2 Energia Eléctrica Armazenada

A energia eléctrica armazenada num condensador é dada pelo integral no tempo da potência fornecida

(7.23)

No entanto, por substituição de (7.21)

(7.24)

que por aplicação do método de substituição para integrais permite obter

(7.25)

ou seja

(7.26)

Por exemplo, admitindo que em t=-¥ o condensador se encontrava descarregado, v(-¥ )=0,

(7.27)

ou, por substituição da relação q(t)=Cv(t),

(7.28)

Convém notar que o condensador armazena mas não dissipa energia.

Uma vez que a carga acumulada num condensador resulta do integral da corrente, então as variáveis carga, tensão e energia devem necessariamente ser uma função contínua no tempo (as variações em degrau só seriam possíveis caso a corrente atingisse valores infinitamente elevados). Valores finitos da corrente eléctrica têm como consequência as condições de continuidade

(7.29)
(7.30)

e

(7.31)

em qualquer instante de tempo, respectivamente para a carga acumulada, para a tensão entre placas e para a energia armazenada.

7.2.3 Exemplos de Aplicação

Exemplo-1: Considere-se o circuito e o sinal representados na Figura 7.7, e admita-se que em t=0 o condensador se encontra descarregado. Pretende-se determinar e representar graficamente, em função do tempo, a tensão aos terminais do condensador.

Figura 7.7 Exemplo de aplicação: variáveis corrente e tensão eléctrica num condensador

Resolução: A aplicação da forma integral da característica tensão-corrente do condensador permite escrever a tensão aos terminais na seguinte forma:

t < 0
0 < t < 1
1 < t < 2
2 < t < 3
3 < t < 4
t > 3

cuja representação gráfica se ilustra em 7.7.c. A correntes positivas, nulas e negativas correspondem, respectivamente, tensões crescentes, constantes e decrescentes no tempo.

Exemplo-2: Considerem-se o circuito e a forma de onda da fonte de corrente representados na Figura 7.8.a, e admita-se que a tensão inicial aos terminais do condensador é v(t=0)=1 V. Pretende-se determinar e representar graficamente, em função do tempo, as variáveis tensão, carga e energia armazenada no condensador.

Figura 7.8 Exemplo de aplicação-2: corrente, carga, tensão e energia eléctrica num condensador

Resolução: À tensão inicial de 1 V correspondem a carga

e a energia

A carga acumulada em função do tempo é dada pelo integral da corrente

que resulta na forma de onda triangular representada em 7.8.c. A tensão aos terminais do condensador é expressa pelo cociente

cuja forma coincide com aquela da carga (Figura 7.8.d). Finalmente, a energia armazenada no condensador obtém-se a partir do produto

que no presente caso toma a forma de um sinal periódico constituído por arcos de uma equação quadrática (Figura 7.8.e).