Geometria do Elipsóide

Cálculos dos Parâmetros



       O Estudo do elipsóide de revolução é de suma importância em Geodésia pelo simples fato de ter sido o mesmo eleito como modelo geométrico para os cálculos geodésicos. Excetuando certas técnicas espaciais os cálculos geodésicos são conduzidos sobre a superfície do elipsóide de revolução. O elipsóide de revolução é a forma geométrica gerada pela rotação de uma semi-elipse em torno de um de seus eixos.

       Um elipsóide de revolução fica perfeitamente definido por meio de dois parâmetros: os seus semi-eixos a e b. Em geodésia, entretanto, é tradicional considerar como parâmetros o semi-eixo maior a e o achatamento, que serão definidos a seguir, juntamente com as fórmulas utilizadas para cálculo dos parâmetros.




ACHATAMENTO

O achatamento de um elipsóide é a relação:



EXCENTRICIDADE

A definição da excentricidade do elipsóide pode ser definida como a proporção entre a diferença de comprimento dos semi-eixos de uma elipse e o semi-eixo maior.



elevando ambos os membros ao quadrado



da geométrica analítica (cônicas)



substituindo c em (05) tem-se

      



daí





Relação entre excentricidade e achatamento

Será demonstrado que a excentricidade ao quadrado é aproximadamente igual a o dobro do achatamento Relacionado a expressão do achatamento com a do semi-eixo menor temos:

       e       



elevando ambos os membros ao quadrado












DETERMINAÇÃO DA GRANDE NORMAL (N)



Denomina-se de grande normal, ao segmento de reta que une o ponto H' ao ponto H, para se calcular a grande normal, faz-se uso da equação da elipse (01). O elipsóide de revolução utilizado em geodésia é um sólido geométrico gerado pela rotação de uma elipse em torno do seu eixo menor. Como a = c , tem-se:



Considerando a elipse contida no plano XOZ tem-se



derivando em dZ e dX tem-se





       coeficiente angular da reta (tangente ao ponto M)



tem-se que

       e       





onde



Substituindo na expressão (17)







Sabe-se que           , tem-se então





multiplicando os termos da fração por     







Substituindo X na expressão (23), obtém-se Z



Da Figura 1, obtém-se a grande normal, como



daí





DETERMINAÇÃO DA PEQUENA NORMAL (N')

Pode-se exprimir analiticamente a partir da Figura 1, a pequena normal (N'), que compreende a distância de H até D.



daí



Comparando N com N' tem-se:





CÁLCULO DO RAIO DE CURVATURA DA SECÇÃO MERIDIANA

Denomina-se de M o raio de curvatura da secção meridiana, que é uma secção normal principal ao elipsóide.





RAIO DE CURVATURA DE UMA SECÇÃO NORMAL QUALQUER





VALOR MÉDIO DE R





RAIO DE CURVATURA DO PARALELO

É definido pela expressão da pequena normal, originado por um plano que passa por H, normal ao eixo polar, forma com o primeiro vertical um ângulo igual à latitude geodésica.

       ou       





COMPRIMENTO DE UM ARCO DE PARALELO

As secções do elipsóide de revolução perpendiculares ao eixo de rotação são circulares. Desta forma o perímetro do paralelo é igual a 2 vezes o raio de curvatura do paralelo.





COMPRIMENTO DE UM ARCO DE MERIDIANO



onde:
















Cálculos dos Parâmetros do Elipsóide