A tábua de cordas de Ptolomeu


Sabemos que a trigonometria é útil para calcular distâncias que não podem ser medidas diretamente. Como?

Sabemos que triângulos semelhantes têm propriedades comuns. Se conhecemos os ângulos de um triângulo, podemos calcular as relações entre os lados desse triângulo, que são as mesmas para todos semelhantes a ele. Em alguns casos, é necessário calcular essas distâncias com uma boa precisão. Essa era a preocupação dos gregos antigos, quando tentavam entender o universo a partir de observações sobre as estrelas e os planetas.

Hiparco, que viveu em Alexandria antes de 100 a.C., é considerado um dos maiores astrônomos da antiguidade. Apoiado nos dados coletados pelos babilônios e por gregos que o antecederam, ele concluiu, por exemplo, que o ano trópico tinha a duração


Para realizar seus cálculos com precisão, os gregos não dispunham de computadores, calculadoras ou instrumentos de medida eletrônicos, que hoje nos permitem medir milésimos de milímetro ou de grau. Mas construíram tabelas trigonométricas com uma precisão admirável, aplicando conhecimentos de geometria.

Ptolomeu, que viveu cerca de 150 d.C., construiu uma tabela de cordas (que equivale a uma tabela de senos), com uma precisão que superou todos os cálculos anteriores. Por exemplo, Heron considerava que o lado de um polígono regular de 9 lados inscrito num círculo mede aproximadamente 1/3 do diâmetro, o que equivale a dizer que o seno de 20º é aproximadamente 1/3.

Ptolomeu obteve um resultado muito mais preciso, que equivale a dizer que o seno de 20º mede aproximadamente

Como ele fez isso? Compare com o resultado da sua calculadora. Como você estimaria ou calcularia o seno de um ângulo de vinte graus?


Alguns resultados bem conhecidos dos gregos eram as cordas de 60º, 90º e 120 o , que equivalem aos senos de 30º, 45º e 60º.

Ptolomeu foi adiante, obtendo as cordas dos arcos de 36º e 72º , o que equivale a obter o seno de 18º e o seno de 36º. Em seguida ele observa que (crd α)² + (crd 180º - α)² = 1, o que equivale a dizer que (sen² α ) + (cos² α) = 1.Como ele conhecia crd 72º e crd 36º, ele obteve desse modo crd 108º e crd 144º.

Para encontrar a corda da diferença entre dois arcos, isto é, crd (α - β), ele recorre ao teorema que leva o seu nome. O Teorema de Ptolomeu afirma que, num quadrilátero cíclico (isto é, inscritível num círculo), o produto das diagonais é igual à soma dos produtos dos lados opostos. Se ABCD são vértices consecutivos do quadrilátero, então AC . BD = AB . CD + BC . AD. Usando esse teorema, e conhecendo crd (α) e crd (β), Ptolomeu podia obter crd (α - β), crd (α + β) e crd (α /2).



Ptolomeu obteve então a corda do arco de 12º como crd (72º - 60º), aplicando a relação

para a corda da diferença entre dois arcos de cordas a e b e depois obteve, sucessivamente, crd 6º, crd 3º, crd (3/2)º, crd (3/4)º, aplicando a relação para cordas de arcos-metade .

Conhecendo crd (3/2)º e crd (3/4)º, Ptolomeu obteve uma aproximação para a crd 1º por interpolação. Para essa interpolação usou a relação já conhecida dos gregos

Usando essa relação, concluiu que

 

e portanto:

.

Mas, pelos resultados anteriores, Ptolomeu calculou que

seria aproximadamente 0,0174537 * e que

também seria aproximadamente 0,0174537.

Então ele obtém para crd 1º a aproximação 0,0174537 *, o que equivale a atribuir ao seno de (½)º o valor de 0,00872685.

Qual o valor do seno de (½)º na sua calculadora? Como será que a sua calculadora “calcula” o seno de (½)º ?

Finalmente ele obteve uma aproximação para a corda de (½)º e completou sua tabela indo de (½)º a 180º com acréscimos de (½)º.


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