{"id":50296,"date":"2022-11-22T19:00:00","date_gmt":"2022-11-22T22:00:00","guid":{"rendered":"https:\/\/www.ufrgs.br\/amlef\/?p=50296"},"modified":"2022-12-09T18:46:54","modified_gmt":"2022-12-09T21:46:54","slug":"movimento-da-geometria-a-energia","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.ufrgs.br\/amlef\/2022\/11\/22\/movimento-da-geometria-a-energia\/","title":{"rendered":"Movimento: da Geometria \u00e0 Energia"},"content":{"rendered":"\n

A Mec\u00e2\u00adnica New\u00adto\u00adni\u00adana foi um tra\u00adba\u00adlho excep\u00adci\u00ado\u00adnal de revis\u00e3o, ino\u00adva\u00ad\u00e7\u00e3o  e defi\u00adni\u00ad\u00e7\u00e3o de Leis do Movi\u00admento, tor\u00adnando-se objeto de estudo de muitos f\u00edsicos e mate\u00adm\u00e1\u00adti\u00adcos. Mas n\u00e3o se engane, Newton n\u00e3o definiu toda a Mec\u00e2\u00adnica sozinho. Muitos f\u00edsicos e mate\u00adm\u00e1\u00adti\u00adcos tra\u00adba\u00adlha\u00adram na apli\u00adca\u00ad\u00e7\u00e3o da abor\u00adda\u00adgem new\u00adto\u00adni\u00adana a pro\u00adble\u00admas vari\u00ada\u00addos, e pro\u00adpu\u00adse\u00adram tamb\u00e9m outras abor\u00adda\u00adgens. Esses tra\u00adba\u00adlhos desen\u00advol\u00adve\u00adram uma s\u00e9rie de con\u00adcei\u00adtos cien\u00adt\u00ed\u00adfi\u00adcos e levaram ao que conhe\u00adce\u00admos como Mec\u00e2\u00adnica Anal\u00edtica.<\/p>\n\n\n\n

A origem da Mec\u00e2nica Anal\u00edtica <\/h2>\n\n\n\n
Figura 1: Curva cate\u00adn\u00e1\u00adria (indi\u00adcada pela seta) formada por cabo sus\u00adpenso de trans\u00admis\u00ads\u00e3o el\u00e9\u00adtrica entre postes. Fonte: Gabi Ilha, CC0, via Wiki\u00adme\u00addia Commons.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n
Figura 2: Curvas cate\u00adn\u00e1\u00adrias for\u00adma\u00addas em uma teia de aranha. Fonte: Mtpaley, CC BY 3.0<\/a>, via Wiki\u00adme\u00addia Commons.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Entre 1690 e 1700, Johann Ber\u00adnoulli solu\u00adci\u00ado\u00adnou o pro\u00adblema da cate\u00adn\u00e1\u00adria, forma adqui\u00adrida por uma corda pen\u00addu\u00adrada em dois pontos; e seu irm\u00e3o, Jacob Ber\u00adnoulli, obser\u00advou a defor\u00adma\u00ad\u00e7\u00e3o de uma viga sus\u00adpensa em uma parede. Esses tra\u00adba\u00adlhos deram origem \u00e0 Mec\u00e2\u00adnica do Con\u00adt\u00ed\u00adnuo, n\u00e3o abor\u00addada por Newton.<\/p>\n\n\n\n

Por volta de 1730, alguns alunos de Johann Ber\u00adnoulli deram sequ\u00ean\u00adcia \u00e0 pes\u00adquisa em movi\u00admento: Daniel Ber\u00adnoulli, Leo\u00adnhard Euler, Alexis Clai\u00adraut e Jean D\u2019Alembert rea\u00adli\u00adza\u00adram muitas con\u00adtri\u00adbui\u00ad\u00e7\u00f5es para a f\u00edsica e mate\u00adm\u00e1\u00adtica. Entre estas, podemos res\u00adsal\u00adtar teo\u00adre\u00admas de con\u00adser\u00adva\u00ad\u00e7\u00e3o, o con\u00adceito de Poten\u00adcial, e prin\u00adc\u00ed\u00adpios de Est\u00e1\u00adtica e Din\u00e2\u00admica para sis\u00adte\u00admas, al\u00e9m de part\u00edculas.<\/p>\n\n\n\n

Em 1760, a ci\u00eancia do Movi\u00admento come\u00e7ou a parecer \u00e0quela que estu\u00adda\u00admos hoje nas uni\u00adver\u00adsi\u00adda\u00addes. At\u00e9 essa \u00e9poca, a Mec\u00e2\u00adnica era um con\u00adjunto de teorias sepa\u00adra\u00addas, cuja conex\u00e3o formal entre os prin\u00adc\u00ed\u00adpios era des\u00adco\u00adnhe\u00adcida. Foi Lagrange (1736 \u2014 1813) que tomou como miss\u00e3o (ou sonho) for\u00adma\u00adli\u00adzar e uni\u00adfi\u00adcar a mec\u00e2\u00adnica a partir de um con\u00adjunto pequeno de prin\u00adc\u00ed\u00adpios. Sua habi\u00adli\u00addade e conhe\u00adci\u00admento de novas fer\u00adra\u00admen\u00adtas mate\u00adm\u00e1\u00adti\u00adcas pos\u00adsi\u00adbi\u00adli\u00adtou que ele abor\u00addasse o pro\u00adblema de forma dife\u00adrente em M\u00e9ca\u00adni\u00adque Ana\u00adli\u00adti\u00adque<\/em> (sim, ele errou a grafia de Analy\u00adti\u00adque<\/em>). \u00c9 curioso como ele destaca no in\u00edcio do livro \u201cn\u00e3o h\u00e1 figuras neste tra\u00adba\u00adlho\u201d, demons\u00adtrando que isso n\u00e3o era comum em sua \u00e9poca.<\/p>\n\n\n\n

Figura 3: \u201cAviso\u201d no in\u00edcio do Tomo 1 do M\u00e9ca\u00adni\u00adque Analy\u00adti\u00adque<\/em> (t\u00edtulo cor\u00adri\u00adgido na segunda vers\u00e3o) de 1811. Fonte: Joseph-Louis Lagrange, Dom\u00ednio P\u00fablico, via Wiki\u00adme\u00addia Commons.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

O M\u00e9ca\u00adni\u00adque <\/em>apre\u00adsenta uma cole\u00e7\u00e3o de tra\u00adba\u00adlhos desen\u00advol\u00advi\u00addos ao longo dos anos por Lagrange e traz uma abor\u00adda\u00adgem com\u00adple\u00adta\u00admente dife\u00adrente da new\u00adto\u00adni\u00adana. O livro inicia com o uso de con\u00adcei\u00adtos de Tra\u00adba\u00adlho Virtual e t\u00e9c\u00adni\u00adcas de C\u00e1lculo Vari\u00ada\u00adci\u00ado\u00adnal para definir e solu\u00adci\u00ado\u00adnar os pro\u00adble\u00admas de Est\u00e1\u00adtica. Na segunda metade do livro, quando se adi\u00adci\u00adona o Prin\u00adc\u00ed\u00adpio de D\u2019Alembert, no qual o produto da massa pela ace\u00adle\u00adra\u00ad\u00e7\u00e3o \u00e9 tratado como uma \u201cfor\u00e7a de in\u00e9rcia\u201d, Lagrange prop\u00f5e um novo m\u00e9todo para a mon\u00adta\u00adgem das equa\u00ad\u00e7\u00f5es dos pro\u00adble\u00admas de Mec\u00e2\u00adnica. Essa abor\u00adda\u00adgem real\u00admente n\u00e3o exige o uso de figuras e, nas pala\u00advras dele, trans\u00adforma os pro\u00adble\u00admas de mec\u00e2\u00adnica apenas em exer\u00adc\u00ed\u00adcios mate\u00adm\u00e1\u00adti\u00adcos, sem exigir raci\u00ado\u00adc\u00ed\u00adnio ou pen\u00adsa\u00admento, geo\u00adm\u00e9\u00adtrico ou mec\u00e2nico.<\/p>\n\n\n\n

\u00c9 claro que Lagrange exa\u00adge\u00adrou um pouco, mas a verdade \u00e9 que essa abor\u00adda\u00adgem \u00e9 real\u00admente muito pr\u00e1tica. Nas pala\u00advras de Ernst Mach (1838 \u2014 1936), a Mec\u00e2\u00adnica Lagran\u00adge\u00adana foi uma \u201cestu\u00adpenda con\u00adtri\u00adbui\u00ad\u00e7\u00e3o para a eco\u00adno\u00admia do pen\u00adsa\u00admento\u201d. N\u00e3o apenas isso, Lagrange con\u00adse\u00adguiu derivar a partir do Prin\u00adc\u00ed\u00adpio do Tra\u00adba\u00adlho Virtual e do Prin\u00adc\u00ed\u00adpio de D\u2019Alembert toda a Mec\u00e2\u00adnica New\u00adto\u00adni\u00adana, cau\u00adsando uma quebra de para\u00addigma muito impor\u00adtante. For\u00e7as se tor\u00adna\u00adram menos impor\u00adtan\u00adtes e as ener\u00adgias pas\u00adsa\u00adram a gover\u00adnar a mec\u00e2\u00adnica: a Vis Viva<\/em> (For\u00e7a Vital, em Latim) e o Poten\u00adcial pas\u00adsa\u00adram a ser os atores da Mec\u00e2nica.<\/p>\n\n\n\n

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O que \u00e9 a Vis Viva<\/em>? Ela se conserva?<\/h2>\n\n\n\n

Os con\u00adcei\u00adtos de Energia evo\u00adlu\u00ed\u00adram muito ao longo do tempo. Gott\u00adfried Leibniz (1646\u20131716) foi quem prop\u00f4s pela pri\u00admeira vez o prin\u00adc\u00ed\u00adpio da con\u00adser\u00adva\u00ad\u00e7\u00e3o daquilo que ele chamou Vis Viva<\/em>, a For\u00e7a Vital de um objeto; esse con\u00adceito era bas\u00adtante deba\u00adtido, em opo\u00adsi\u00ad\u00e7\u00e3o \u00e0 con\u00adser\u00adva\u00ad\u00e7\u00e3o da quan\u00adti\u00addade de movi\u00admento de Ren\u00e9 Des\u00adcar\u00adtes (1596\u20131650), pos\u00adte\u00adri\u00ador\u00admente mos\u00adtra\u00addas com\u00adple\u00admen\u00adta\u00adres. Em di\u00e1\u00adlo\u00adgos entre a Mec\u00e2\u00adnica e a Ter\u00admo\u00addi\u00adn\u00e2\u00admica, foi obser\u00advado que o calor gerado pelo movi\u00admento poderia ser outra forma de Vis Viva<\/em>. Junto \u00e0 Laplace, Antoine Lavoi\u00adsier revisou os con\u00adcei\u00adtos das, hoje ultra\u00adpas\u00adsa\u00addas, Teoria Cal\u00f3\u00adrica e Vis Viva<\/em>, mas foi somente em 1807 que Thomas Young (1773\u20131829) cunhou o uso moderno do termo Energia. Enfim, a Vis Viva<\/em> tornou-se a Energia Cin\u00e9\u00adtica, energia que um corpo tem devido ao seu movimento.<\/p>\n\n\n\n

O con\u00adceito do Poten\u00adcial das For\u00e7as evoluiu muito desde Aris\u00adt\u00f3\u00adte\u00adles. A partir da defi\u00adni\u00ad\u00e7\u00e3o de Tra\u00adba\u00adlho, p\u00f4de-se definir melhor o Poten\u00adcial que uma For\u00e7a tinha para gerar movi\u00admento, Vis Viva<\/em>, e era nesse con\u00adceito que se tra\u00adba\u00adlhava nos anos 1800. Foi apenas em 1853 que William Rankine (1820\u20131872) cunhou o termo Energia Potencial.<\/p>\n\n\n\n

Na pr\u00e1tica, a Energia Poten\u00adcial \u00e9 o arma\u00adze\u00adna\u00admento da capa\u00adci\u00addade de gerar movi\u00admento de alguma forma, e existem muitas formas:<\/p>\n\n\n\n

Figura 4: Gr\u00e1fico das ener\u00adgias Mec\u00e2\u00adnica (Em), Cin\u00e9\u00adtica (Ec) e Poten\u00adcial (Ep) em fun\u00e7\u00e3o da Posi\u00e7\u00e3o (x) em um Movi\u00admento Harm\u00f4\u00adnico Simples (ex.: sistema massa-mola). Perceba que a Energia Mec\u00e2\u00adnica se mant\u00e9m cons\u00adtante. Fonte: Jfme\u00adlero, CC BY-SA 3.0<\/a>, via Wiki\u00adme\u00addia Commons.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n
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  • Ao erguer um objeto do ch\u00e3o, ele adquire o poten\u00adcial de cair. Ao solt\u00e1-lo, ele ganha velo\u00adci\u00addade devido \u00e0 a\u00e7\u00e3o da For\u00e7a Gravitacional.<\/li>\n\n\n\n
  • Ao com\u00adpri\u00admir ou esticar uma mola, ela adquire o poten\u00adcial de ganhar movi\u00admento e retomar seu estado de equil\u00edbrio.<\/li>\n\n\n\n
  • Ao car\u00adre\u00adgar uma bateria, ela adquire o poten\u00adcial de gerar cor\u00adrente el\u00e9\u00adtrica em um circuito.<\/li>\n\n\n\n
  • Ao queimar carv\u00e3o, estamos libe\u00adrando o poten\u00adcial qu\u00edmico na forma de calor.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n

    H\u00e1 muitas formas de se arma\u00adze\u00adnar ou trans\u00adfor\u00admar energia de movi\u00admento, t\u00e9rmica (spoiler: tamb\u00e9m \u00e9 movi\u00admento) ou poten\u00adcial nas suas muitas faces. A partir da Mec\u00e2\u00adnica Ana\u00adl\u00ed\u00adtica, s\u00e3o as ener\u00adgias que entram em campo para resol\u00adver os pro\u00adble\u00admas de Mec\u00e2\u00adnica. Os con\u00adcei\u00adtos ainda foram revi\u00adsa\u00addos na chamada Mec\u00e2\u00adnica Hamil\u00adto\u00adni\u00adana (1833), que tem abor\u00adda\u00adgem similar \u00e0 Lagran\u00adge\u00adana, em que cresce o papel pre\u00adpon\u00adde\u00adrante da Energia na an\u00e1lise, apro\u00adxi\u00admando a Mec\u00e2\u00adnica dos outros ramos da F\u00edsica.<\/p>\n\n\n\n

    A for\u00admu\u00adla\u00ad\u00e7\u00e3o de Sir William Rowan Hamil\u00adton para a Mec\u00e2\u00adnica Cl\u00e1s\u00adsica mostra seu poder ao ser uti\u00adli\u00adzada at\u00e9 hoje. A fun\u00e7\u00e3o conhe\u00adcida como Hamil\u00adto\u00adni\u00adano ainda \u00e9 o ponto de partida para o c\u00e1lculo de solu\u00e7\u00e3o de pro\u00adble\u00admas em diver\u00adsas \u00e1reas da F\u00edsica. Essa for\u00admu\u00adla\u00ad\u00e7\u00e3o mostrou-se t\u00e3o fun\u00adci\u00ado\u00adnal para a Mec\u00e2\u00adnica Cl\u00e1s\u00adsica quanto para a Qu\u00e2n\u00adtica, tendo faci\u00adli\u00adtado o desen\u00advol\u00advi\u00admento desta; mas isso \u00e9 assunto para outro artigo.<\/p>\n\n\n\n

    No fim das contas, quem se con\u00adserva n\u00e3o \u00e9 a Vis Viva<\/em> (ou Energia Cin\u00e9\u00adtica), mas a Energia como um todo; como j\u00e1 disse Lavoi\u00adsier, em 1777: \u201cNa natu\u00adreza nada se cria, nada se perde, tudo se trans\u00adforma\u201d. A frase foi dita sobre a Con\u00adser\u00adva\u00ad\u00e7\u00e3o de Massa, mas o mesmo vale para Energia.<\/p>\n\n\n\n

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    Gabriel Cury Perrone \/ Equipe AMLEF 2022<\/h5>\n\n\n\n
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    Saiba mais:<\/h2>\n\n\n\n

    O caminho mais curto entre dois pontos \u00e9 uma reta, mas ser\u00e1 que este \u00e9 o mais r\u00e1pido? Os apli\u00adca\u00adti\u00advos de tr\u00e2n\u00adsito podem dis\u00adcor\u00addar mas o caminho mais r\u00e1pido (em um campo gra\u00advi\u00adta\u00adci\u00ado\u00adnal) \u00e9 a BRAQUIST\u00d3CRONA! Veja esse inte\u00adres\u00adsante v\u00eddeo do Manual do Mundo e nunca mais aposte no cavalo errado!<\/p>\n\n\n\n

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