Um modelo matemático contínuo para descrever a dinâmica da covid-19

*Foto de capa: Flávio Dutra/JU

Quem de nós deixa passar um dia sem se atualizar quanto às informações oficialmente divulgadas sobre o andamento da propagação dessa pandemia? Na verdade, queremos e precisamos saber muito mais do que isso. Gostaríamos de poder nos situar quanto ao momento no qual nos encontramos, com relação à dinâmica de longo prazo dessa doença, não é mesmo? 

Com este objetivo, muitos pesquisadores têm se debruçado nos últimos meses sobre informações divulgadas por médicos e infectologistas a respeito dos principais mecanismos envolvidos na propagação do coronavírus (agente infeccioso da doença covid-19) e têm proposto modelos matemáticos tentando explicar, prever e controlar a pandemia. 

Modelos matemáticos desenvolvidos por pesquisadores chineses constatam que entre os principais fatores de transmissão do coronavírus estão infectados assintomáticos, por isso o risco das pessoas transitarem pelas cidades, como registrado em um domingo de maio em Porto Alegre (Foto: Flávio Dutra/JU)
Luis Borges aproveitou a ocupação da orla do Guaíba em Porto
Alegre no último domingo para vender máscaras artesanais (Foto: Flávio Dutra/JU)

No estudo, publicado em março passado e que apresentaremos a seguir, Yang e Wang, pesquisadores do Departamento de Matemática da Universidade do Tennessee, nos Estados Unidos, fizeram uso de dados coletados em Wuhan (epicentro da doença na China) no período de 23 de janeiro a 10 de fevereiro deste ano, e propuseram um modelo compartimental para descrever a dinâmica dessa doença.

Nesse tipo de modelo, a população (humana ou não) hospedeira do agente epidemiológico é dividida em “compartimentos”, cuja ocupação irá variar com o tempo, de acordo com hipóteses previamente estabelecidas. Considerando a transferência entre compartimentos como um fenômeno contínuo, essas hipóteses são matematicamente formuladas e especificam as diversas contribuições (positivas para acréscimos e negativas para decréscimos) para a taxa de variação (indivíduos por unidade de tempo) da ocupação de cada compartimento em cada instante de tempo.

Figura 1: Fluxograma correspondente às equações diferenciais (1) – (5)

Ao modelo proposto por Yang e Wang, associamos o fluxograma acima, envolvendo cinco compartimentos, nos quais pode estar hospedada alguma concentração de vírus. Destes, quatro (S, E, I, R) são ocupados por hospedeiros humanos e V é constituído pelo ambiente, a saber:  

S: suscetíveis – humanos que podem contrair a doença, seja por contato com algum humano de E (infeccioso assintomático) ou com algum humano de I (infeccioso sintomático) ou, ainda, com o ambiente contaminado V;

E: infecciosos assintomáticos – humanos que estão infectados, mas ainda no período de incubação; estes também podem transmitir a doença a algum suscetível; decorrido o tempo de incubação, passam para o compartimento I;

I: infecciosos sintomáticos – podem transmitir a doença a algum suscetível; decorrido um tempo de recuperação, passam para o compartimento dos recuperados, exceto aqueles que antes disso vierem a ter uma morte induzida pela doença;

R: recuperados – estão imunes; não irão contrair nem transmitir a doença; 

V: concentração do vírus no ambiente contaminado (reservatório ambiental).

Comparando com o conhecido modelo SEIR básico, que supõe apenas uma rota de transmissão da doença (de I para S), o modelo SEIRV proposto pelos autores acrescenta as rotas de transmissão de E para S e de V para S, de modo a contemplar informações fornecidas por médicos e infectologistas que estudam a dinâmica da covid-19. Tanto indivíduos de E quanto indivíduos de I podem aumentar a carga viral do reservatório ambiental V.

No fluxograma apresentado acima, setas indicam taxas de variação, positivas ou negativas (número médio de indivíduos por unidade de tempo) na ocupação de um compartimento. O modelo matemático correspondente decorre do fato de a taxa de variação do número N(t) de indivíduos em algum compartimento em um instante de tempo t ser justamente a derivada de N(t) em relação a t. Assim, podemos escrever uma equação diferencial (porque envolve derivada) para a ocupação de cada compartimento, como segue: 

O sistema de equações diferenciais (1) – (5) envolve os seguintes parâmetros:

(a)
(b)
(a)
(b)
(c)

Figura 3: Solução {I(t), E(t), R(t), V(t), S(t)}, do sistema (1)-(5), para t de
0 a 200 dias, sendo as funções β dadas pelas equações (6) com c ≠ 0.

A evolução temporal das ocupações de cada compartimento é obtida através da resolução numérica do problema constituído pelo sistema de equações diferenciais proposto, juntamente com condições iniciais (valores em t = 0). A solução depende evidentemente dos valores atribuídos aos parâmetros presentes no sistema.

A confiabilidade das previsões depende não apenas da qualidade do modelo, mas também da fidedignidade dos dados oficialmente divulgados, a partir dos quais são calculados os valores dos parâmetros envolvidos.

Com os valores adotados por Yang e Wang, são traçados os gráficos acima para as ocupações de cada compartimento para t de 0 a 200 dias. A previsão que os autores obtiveram a partir do gráfico para I(t), curva vermelha, foi de que o nível de infecção continuaria aumentando por mais 80 dias, alcançaria um pico em aproximadamente 45.000 infecções e depois diminuiria lentamente, tendendo a um equilíbrio que não é livre da doença, mas sim endêmico. 

Da determinação dos equilíbrios e da análise de sua estabilidade, os autores mostram que as soluções de fato convergem para o equilíbrio endêmico cujas componentes confirmam os resultados da resolução numérica. Desse estudo, o número reprodutivo básico R0, que quantifica o risco total de infecção para o surto da doença, é obtido como uma soma de três expressões, envolvendo parâmetros do modelo que correspondem a cada uma das rotas de transmissão da doença, a saber, ES, IS e VS

A contribuição da rota ES foi a maior delas, fato que pode ser justificado pela facilidade de assintomáticos espalharem inconscientemente a infecção para outras pessoas com contato próximo; por outro lado, aquela de IS foi a menor, certamente devido à política severa de isolamento adotada para os indivíduos com sintomas.

(a)
(b)
(c)

Figura 4: Solução {I(t), E(t), R(t), V(t), S(t)}, do sistema (1)-(5), para
t de 0 a 150 dias, sendo os coeficientes β considerado constantes

Complementarmente, os autores verificam como seria a previsão se os coeficientes β nas taxas de transmissão fossem considerados constantes, ou seja, com c = 0 no denominador das equações (6). Para isso, retornando aos dados oficialmente divulgados, eles recalculam os valores dos parâmetros do modelo correspondente e, então, obtêm a solução cujo gráfico visualizamos na Figura 4. O nível de infecção com um pico muito mais alto que o da Figura 3, segundo os autores ‘claramente não realístico’, constitui uma superestimativa da severidade epidêmica em consequência de não terem sido levadas em consideração as fortes medidas de controle que lá haviam sido adotadas. 


Maria Cristina Varriale é professora do Departamento de Matemática Pura e Aplicada da UFRGS.