Nesta quarta-feira, dia 30/09/2020 às 14:00, teremos a sétima edição dos Webinários de Matemática do PPGMat – UFRGS. É com prazer que convidamos a todos. Sintam-se à vontade para compartilhar esta mensagem.
Informações do webinário:
Teoria clássica de invariantes e códigos auto-duais
por Marcelo Muniz Alves – UFPR
Data e hora: Quarta-feira, 30 de Setembro de 2020 às 14:00
Acesso: Plataforma Microsoft Teams em http://tiny.cc/Webinario-PPGMat-UFRGS-07
Resumo. Dada uma ação de um grupo G em um conjunto X, um invariante para ação é um elemento que permanece inalterado pela aplicação de qualquer elemento de G. Invariantes fazem parte, entre outros, da Geometria Analítica, onde temos a classificação das cônicas por meio do discriminante, que é um invariante sob os movimentos do plano; na Álgebra Linear, em que o polinômio minimal, o polinômio característico, o determinante e o traço são invariantes da ação por conjugação do grupo linear geral GL(n,K) no espaço das matrizes; na Teoria de Galois, cujo principal resultado é a correspondência entre subcorpos de K e subgrupos do grupo de Galois por meio de subcorpos invariantes; e mesmo do estudo de EDP’s clássicas, onde funções no círculo são identificadas com funções periódicas da reta, que são o mesmo que invariantes para ação de um grupo de translações da reta.
Nós apresentaremos detalhes sobre o caso em que G é um subgrupo finito do grupo linear geral GL(n,K) agindo em um anel de polinômios K[x_1,x_2, …, x_n], sendo que esta ação é induzida da ação canônica de GL(n,K) em K^n. Neste caso, o conjunto de invariantes sob G forma um subanel do anel de polinômios e o problema de descrever este subanel foi um forte tema de pesquisa entre o final do século XIX e as primeiras décadas do século XX. Nós veremos resultados fundamentais de Noether e Molien desta época sobre o anel de invariantes. A teoria de invariantes “resssurgiu” novamente nos anos 1970 em Geometria Algébrica, mas também na teoria de códigos corretores de erros. Estes códigos surgiram na década de 1950 com o objetivo de implementar uma correção automática de erros de leitura em computadores, e tornaram-se a espinha dorsal de boa parte dos processos de comunicação e armazenamento de informação digital que temos hoje. Os problemas práticos da teoria de códigos levam naturalmente a problemas de álgebra, geometria finita e combinatória; um desses “spin-offs” é o estudo dos códigos auto-duais e é aqui que aparecem aplicações da teoria clássica de invariantes. Ao final falamos de um trabalho sobre códigosauto-duais feito por Welington Santos em sua tese defendida recentemente no PPGM-UFPR