{"id":47,"date":"2018-05-10T15:44:27","date_gmt":"2018-05-10T18:44:27","guid":{"rendered":"https:\/\/www.ufrgs.br\/ppgmat\/?page_id=47"},"modified":"2025-03-27T20:49:04","modified_gmt":"2025-03-27T23:49:04","slug":"disciplinas","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.ufrgs.br\/ppgmat\/en\/disciplinas\/","title":{"rendered":"Courses"},"content":{"rendered":"
\n\n\n\n
\u2022M – Mester<\/strong>
\n\u2022D – Doctor
\n<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

All courses have 4 hours of letctures per week.<\/em><\/p>\n<\/div>\n

MTP00001 - (M) Linear Algebra<\/a>
Vector spaces. Linear transformations. Decomposition into direct sum of invariant subspaces. Canonical forms. Spaces with inner product. Unitary, self-adjoint and normal operators. Bilinear and quadratic forms.<\/div><\/div>\n
MTP00004 - (M) Algebra<\/a>
Adjunction of roots. Splitting field, normal and separable extensions, algebraic closure, Groups, Normal groups and homomorphisms, permutation groups, simple groups, solvable groups. Galois group, Fundamental Galois Correspondence Theorem, Solubility by radicals.<\/div><\/div>\n
MTP00005 - (M) Algebraic Number Theory<\/a>
Ring of algebraic integers, discriminant, integral basis. Dedekind rings, extensions of Dedekind rings. Norm and classes of ideals, finiteness of the class group. Minkowski geometric theory, structure of the unit group. Ramification, discriminant, different. Ramification in Galoisian extensions.<\/div><\/div>\n
MTP00006 - (M\/D) Commutative Algebra<\/a>
An\u00e9is Noetherianos: Decomposi\u00e7\u00e3o Prim\u00e1ria e Aplica\u00e7\u00f5es. Filtra\u00e7\u00e3o, gradua\u00e7\u00e3o e Polin\u00f4mio d Hilbert-Samuel. Extens\u00f5es Inteiras. Teoria da Dimens\u00e3o em An\u00e9is Noetherianos. \u00c1lgebra de Tipo Finito: Lema de Normaliza\u00e7\u00e3o, Catenaridade, Teorema dos Zeros, Fecho Inteiro de uma \u00c1lgebra de Tipo Finito.<\/div><\/div>\n
MTP00007 - (M\/D) Field Theory<\/a>
Extens\u00f5es alg\u00e9bricas, normais, separ\u00e1veis. O grupo de Galois de um polin\u00f4mio, teorema fundamental de Galois. A equa\u00e7\u00e3o geral de grau n. Corpos finitos. Extens\u00f5es ciclot\u00f4micas e polin\u00f4mios ciclot\u00f4micos. Extens\u00f5es c\u00edclicas. Resolu\u00e7\u00e3o de equa\u00e7\u00f5es por radicais. Constru\u00e7\u00f5es com r\u00e9gua e compasso. Extens\u00f5es transcedentais: base de transcend\u00eancia, grau de transcend\u00eancia, teorema de Lur\u00f6th.<\/div><\/div>\n
MTP00008 - (M\/D) Ring Theory I<\/a>
Revis\u00e3o de conceitos b\u00e1sicos. An\u00e9is e m\u00f3dulos. M\u00f3dulos Noetherianos e Artinianos. An\u00e9is Noetherianos e Artinianos. Exemplos. Semi-simplicidade. Teorema de Wedderlburn-Artin. Estrutura de An\u00e9is semi-simples Artinianos. O radical de Jacobson. Defini\u00e7\u00e3o e propriedades. Mudan\u00e7a de An\u00e9is e c\u00e1lculos do radical. An\u00e9is primos e semi-primos. Ideais primos, primitivos, semi-primos e semi-primitivos. O radical primo e nilradicais. Teoremas de Estrutura para an\u00e9is primitivos e semi-primitivos. Teoremas de densidade.<\/div><\/div>\n
MTP00009 - (M\/D) Algebraic Curves<\/a>
No\u00e7\u00f5es b\u00e1sicas. Curvas projetivas. Pontos regulares e singulares. Morfismos e aplica\u00e7\u00f5es racionais. Resolu\u00e7\u00e3o de singularidades. Teorema de Bezout. Divisores. Teorema de Riemann-Roch e aplica\u00e7\u00f5es.<\/div><\/div>\n
MTP00010 - (M\/D) Ring Theory Topics<\/a>
Variable program, at the discretion of the Coordinating Committee.<\/div><\/div>\n
MTP00011 - (M\/D) Algebra Topics<\/a>
Variable program, at the discretion of the Coordinating Committee.<\/div><\/div>\n
MTP00012 - (M\/D) Algebra Seminar<\/a>
Variable program, at the discretion of the Coordinating Committee.<\/div><\/div>\n
MTP00013 - (M\/D) Commutative Algebra Topics<\/a>
Variable program, at the discretion of the Coordinating Committee.<\/div><\/div>\n
MTP00014 - (M\/D) Number Theory Topics<\/a>
Variable program, at the discretion of the Coordinating Committee.<\/div><\/div>\n
MTP00015 - (M\/D) Algebraic Geometry Topics<\/a>
Programa vari\u00e1vel, a crit\u00e9rio da Comiss\u00e3o Coordenadora.<\/div><\/div>\n
MTP00016 - (M) Complex Analysis I<\/a>
Fun\u00e7\u00f5es holomorfas. Teorema de Cauchy. Teorema de Morera. Lema de Schwartz. Expans\u00f5es de Laurent e Taylor. Teorema de Liouville. Teorema de Weierstrass. Teorema dos Res\u00edduos. Fun\u00e7\u00f5es harm\u00f4nicas. F\u00f3rmula de Poisson e Poisson-Jensen. Problema de Dirichlet. Representa\u00e7\u00f5es conforme. Teorema de Riemann. Extens\u00f5es anal\u00edticas.<\/div><\/div>\n
MTP00017 - (M\/D) Complex Analysis II<\/a>
Fatora\u00e7\u00e3o em produtos can\u00f4nicos de Weierstrass. Teorema de Mittag Leffler. Fun\u00e7\u00e3o Gama. Fun\u00e7\u00e3o Zeta de Riemann. Genus e ordem de fun\u00e7\u00f5es inteiras. Teorema de Picard. Produtos de Blaschke. Espa\u00e7o Hp. Fun\u00e7\u00f5es internas. Fun\u00e7\u00f5es el\u00edpticas de Weirstrass. Fun\u00e7\u00f5es el\u00edpticas de Jacobi. Prolongamento anal\u00edtico. Teorema da Monodromia. Superf\u00edcies de Riemann.<\/div><\/div>\n
MTP00018 - (M) Integration Theory<\/a>
Medida. Medida exterior. Teorema de Carath\u00e9odory. Medida de Lebesgue. Teoremas de Converg\u00eancia. Medidas de Borel positivas. Espa\u00e7os Lp. Teoria elementar dos espa\u00e7os de Hilbert e representa\u00e7\u00e3o de funcionais lineares cont\u00ednuos. Teorema de Radon-Nikodym. Representa\u00e7\u00e3o de funcionais lineares cont\u00ednuos em Lp e em C(X). Diferencia\u00e7\u00e3o em R: fun\u00e7\u00f5es absolutamente cont\u00ednuas. Diferencia\u00e7\u00e3o em Rn. Medidas produto. Teorema de Fubini. Convolu\u00e7\u00e3o.<\/div><\/div>\n
MTP00019 - (M\/D) Functional Analysis I<\/a>
Espa\u00e7os de Banach e de Hilbert. Teorema de Banach-Steinhaus. Teorema da aplica\u00e7\u00e3o aberta e do gr\u00e1fico fechado. Teorema de Hahn-Banach. Dualidade. Topologias fracas. Teorema de Alaoglu. Teorema de Krein-Milman. Teorema de Banach-Saks. Operadores Compactos. Teoria espectral de operadores compactos auto-adjuntos. Operadores de Hilbert-Schmidt. \u00c1lgebra de Banach. Teoria de Gelfand-Naimark. Teoria espectral de operadores normais limitados.<\/div><\/div>\n
MTP00020 - (M) Partial Differential Equations<\/a>
S\u00e9ries de Fourier: Converg\u00eancia pontual, uniforme e \u00e0 Cesaro. Transformada de Fourier em L1, L2 e S. Classific\u00e7\u00e3o de equa\u00e7\u00f5es de 2\u00aa ordem. Problemas bem postos. Equa\u00e7\u00f5es de Laplace: solu\u00e7\u00e3o fundamental, problema de Dirichlet e de Neumann, Fun\u00e7\u00e3o de Green, propriedade do valor m\u00e9dio. Princ\u00edpio do M\u00e1ximo. Problema de Dirichlet na bola e no semi-espa\u00e7o. Singularidades remov\u00edveis, Transformada de Kelvin e problema exterior. Potencial Newtoniano. Equa\u00e7\u00e3o da onda: resolu\u00e7\u00e3o por s\u00e9ries e transformada de Fourier, Unicidade, dom\u00ednio de influ\u00eancia e depend\u00eancia, solu\u00e7\u00e3o por m\u00e9dias esf\u00e9ricas e m\u00e9todo da descida de Hadamard. Equa\u00e7\u00e3o do Calor: N\u00facleo de Poisson, resolu\u00e7\u00e3o em intervalos finitos. Princ\u00edpio do M\u00e1ximo e Unicidade.<\/div><\/div>\n
MTP00021 - (M\/D) Functional Analysis II<\/a>
Espa\u00e7os vetoriais topol\u00f3gicos localmente convexos. Espa\u00e7os de Frechet. Distribui\u00e7\u00f5es: deriva\u00e7\u00e3o, multiplica\u00e7\u00e3o, suporte e convolu\u00e7\u00e3o. Distribui\u00e7\u00f5es temperadas. Transformada de Fourier. Espa\u00e7os de Sobolev. Dualidade entre espa\u00e7os de Sobolev. Imers\u00f5es de Sobolev. Tra\u00e7os.<\/div><\/div>\n
MTP00022 - (M\/D) Functional Analysis Topics<\/a>
Variable program, at the discretion of the Coordinating Committee.<\/div><\/div>\n
MTP00023 - (M\/D) Riemannian Geometry and Gravitation<\/a>
Variedades, Tensores e Conex\u00f5es, Espa\u00e7os-Tempo, Tensor Energia-Momentum e equa\u00e7\u00e3o do campo de Einstein. Modelos Cosmol\u00f3gicos e o Teorema de Hawking-Penrose.<\/div><\/div>\n
MTP00024 - (M\/D) Quantum Chaos<\/a>
Espectro de Operadores. Quantiza\u00e7\u00e3o. Limite Semi-Cl\u00e1ssico. Quantiza\u00e7\u00e3o Geom\u00e9trica. Distribui\u00e7\u00e3o dos Autovalores Laplaciano em Variedades de Curvatura Negativa. Outros t\u00f3picos.<\/div><\/div>\n
MTP00025 - (M\/D) Analysis Seminar<\/a>
Variable program, at the discretion of the Coordinating Committee.<\/div><\/div>\n
MTP00026 - (M) General Topology<\/a>
Espa\u00e7os m\u00e9tricos. Conjuntos conexos e compactos. Espa\u00e7os completos. Teorema do ponto fixo e aplica\u00e7\u00f5s. Teorema de Stone-Weierstrass. Cubo de Hilbert. Teorema de Ascoli. Espa\u00e7os topol\u00f3gicos. Teorema de Tychonov. Outros t\u00f3picos.<\/div><\/div>\n
MTP00027 - (M) Differential Geometry<\/a>
Curvas. Triedro de Frenet. Superf\u00edcies. Primeira forma quadr\u00e1tica. Aplica\u00e7\u00e3o normal de Gauss. Teorema Egregium de Gauss. Geometria intr\u00ednseca. Teorema de Gauss-Bonet. Formas diferenciais. Teorema de Stokes-Green-Gauss.<\/div><\/div>\n
MTP00028 - (M\/D) Differentiable Manifolds<\/a>
Subvariedades do Rn e variedades diferenci\u00e1veis. Teorema de Whitney. Campos de vetores. Pontos cr\u00edticos. \u00cdndice. Caracter\u00edstica de Euler. Outros t\u00f3picos.<\/div><\/div>\n
MTP00029 - (M\/D) Riemannian Geometry I<\/a>
M\u00e9tricas riemannianas, conex\u00e3o Riemanniana. Geod\u00e9sicas, curvaturas, campos de Jacobi. Equa\u00e7\u00f5es fundamentais de uma imers\u00e3o isom\u00e9trica. Variedades completas, espa\u00e7os de curvatura constante. Varia\u00e7\u00f5es de energia, teoremas de compara\u00e7\u00e3o, teorema do \u00edndice. O teorema da esfera.<\/div><\/div>\n
MTP00030 - (M\/D) Algebraic Topology<\/a>
Elementos de topologia plana. Teorema de Jordan. Homologia singular e simplicial. Co-homologia. Grau de transforma\u00e7\u00e3o cont\u00ednua. Exemplos e aplica\u00e7\u00f5es.<\/div><\/div>\n
MTP00031 - (M\/D) Riemannian Manifolds<\/a>
Diferencial anal\u00edtico e harm\u00f4nico. Teorema de uniformiza\u00e7\u00e3o. Teorema de Riemann-Roch. Pontos de Weierstrass. Teorema de Abel.<\/div><\/div>\n
MTP00032 - (M\/D) Geometry Seminar<\/a>
Variable program, at the discretion of the Coordinating Committee.<\/div><\/div>\n
MTP00033 - (M\/D) Geometry Topics<\/a>
Variable program, at the discretion of the Coordinating Committee.<\/div><\/div>\n
MTP00034 - (M) Ordinary Differential Equations<\/a>
Sistemas lineares. Teorema de decomposi\u00e7\u00e3o de Jordan. Campos de vetores. Teoremas de exist\u00eancia e unicidade. Singularidades. Lineariza\u00e7\u00e3o em torno de singularidades. Estabilidade de Liapounov. Teorema de Poincar\u00e9-Bendixson. A Equa\u00e7\u00e3o de Vanderpoll. Outros t\u00f3picos.<\/div><\/div>\n
MTP00035 - (M\/D) Dynamical Systems<\/a>
Campos lineares: hiperbolicidade, genericidade e estabilidade. Estabilidade local: teorema de Grobman-Hartman. Teorema da variedade est\u00e1vel. Transforma\u00e7\u00e3o de Poincar\u00e9. Transversalidade. Teorema de Kupka-Smale. Campos de vetores em S1, todo e em variedades bidimensionais. Difeomorfismos de Anosov e Axioma A. Partic\u00f5es de Markov.<\/div><\/div>\n
MTP00036 - (M\/D) Ergodic Theory<\/a>
Medidas invariantes. Teoremas erg\u00f3dicos. Recorr\u00eancia. Esntropia. Teorema de Oseledet. Medida de Bowen-Ruelle-Sinai. Introdu\u00e7\u00e3o ao Formalismo Termodin\u00e2mico.<\/div><\/div>\n
MTP00037 - (M\/D) Unidimensional Dynamics<\/a>
Aplica\u00e7\u00f5es Unimodais. Polin\u00f4mios quadr\u00e1ticos reais. Exist\u00eancia de medidas absolutamente cont\u00ednuas. Din\u00e2mica complexa. O conjunto de Mandelbrot. Outros t\u00f3picos.<\/div><\/div>\n
MTP00038 - (M\/D) Dynamical Systems Topics<\/a>
Variable program, at the discretion of the Coordinating Committee.<\/div><\/div>\n
MTP00039 - (M\/D) Dynamical Systems Seminar<\/a>
Variable program, at the discretion of the Coordinating Committee.<\/div><\/div>\n
MTP00040 - (M\/D) Mathematical Methods for Classical Mechanics<\/a>
Din\u00e2mica Newtoniana, Lagrangeana e Hamiltoniana em espa\u00e7os Euclidianos e em variedades diferenci\u00e1veis. Formas diferenciais. Teorema de Hamilton-Jacobi. Teorema KAM. Variedades Lagrangeanas. Outros t\u00f3picos.<\/div><\/div>\n
MTP00041 - (M\/D) Fractals and Chaos<\/a>
Sistemas dissipativos. Atratores estranhos. O sistema de Lorenz e Henon. Caracteriza\u00e7\u00e3o de atratores. Expoentes caracter\u00edsticos de Liapounov, dimens\u00e3o e entropia. Caos e Fractais. Capacidade e Dimens\u00e3o de Hausdorff. Aplica\u00e7\u00f5es.<\/div><\/div>\n
MTP00042 - (M\/D) Mathematical Physics Topics<\/a>
Variable program, at the discretion of the Coordinating Committee.<\/div><\/div>\n
MTP00043 - (M\/D) Minimal Subvarieties<\/a>
Primeira varia\u00e7\u00e3o do volume de uma subvariedade. Subvariedades m\u00ednimas. Subvariedades m\u00ednimas em espa\u00e7os euclidianos e em esferas. \u00d3rbitas de um grupo de isometrias e subvariedades m\u00ednimas. Geometria kahleriana e a desigualdade de Wirtinger. Segunda varia\u00e7\u00e3o do volume; o teorema do \u00edndice para subvariedades m\u00ednimas; estabilidade. O Problema de Plateau e suas generaliza\u00e7\u00f5es. Superf\u00edcies m\u00ednimas em Rn. O Teorema Chern-Osserman. O Teorema de Osserman sobre superf\u00edcies m\u00ednimas com curvatura total finita. Superf\u00edcies m\u00ednimas mergulhadas. Outros t\u00f3picos.<\/div><\/div>\n
MTP00044 - (M\/D) Lie Algebras and Groups<\/a>
Grupos Topol\u00f3gicos. Grupos de Lie. Medida de Haar. \u00c1lgebra de Lie. Subgrupos a um par\u00e2metro. Aplica\u00e7\u00f5es \u00e0 Geometria. Outros t\u00f3picos.<\/div><\/div>\n
MTP00045 - (M) Computational and Numerical Geometry<\/a>
Linhas escondidas, sombreamento, modelos de reflex\u00e3o. T\u00e9cnicas especiais: Z-Buffer, Ray-Tracing, Radiosidade, T\u00e9cnicas de Bezier, B-Splines, modela\u00e7\u00e3o de superf\u00edcies: Bezier Splines, Coons-Patches, Polin\u00f4mios de Hermite. Outros t\u00f3picos.<\/div><\/div>\n
MTP00046 - (M) Time Series<\/a>
S\u00e9ries Temporais Estacion\u00e1rias. No\u00e7\u00f5es de Espa\u00e7os de Hilbert. An\u00e1lise Espectral. Filtros Lineares Digitais. Predi\u00e7\u00e3o Linear: Processos Arima. Teoria da Distribui\u00e7\u00e3o dos Estimadores Espectrais com aplica\u00e7\u00f5es \u00e0 Infer\u00eancia Estat\u00edstica.<\/div><\/div>\n
MTP00047 - (M) Probability<\/a>
Modelos Probabil\u00edsticos. Vari\u00e1veis Aleat\u00f3rias e suas Distribui\u00e7\u00f5es. Esperan\u00e7a Matem\u00e1tica. Distribui\u00e7\u00e3o e Esperan\u00e7a Condicional. Lei dos Grandes N\u00fameros. Fun\u00e7\u00e3o Caracter\u00edstica. Modos de Converg\u00eancia. Teorema Central do Limite.<\/div><\/div>\n
MTP00048 - (M) Mathematical Statistics<\/a>
Fam\u00edlia de Distribui\u00e7\u00f5es Exponenciais. Teoria da Estima\u00e7\u00e3o Pontual: Estimadores UMVU. Equivari\u00e2ncia, Diferentes M\u00e9todos de Estima\u00e7\u00e3o, Estat\u00edsticas Suficientes Minimais, Estima\u00e7\u00e3o de Bayes e Minimax. Teoria de Neyman-Pearson para Testes de Hip\u00f3tese: no\u00e7\u00f5es fundamentais da teoria de Neyman-Pearson, Fam\u00edlias com Raz\u00e3o de Verossimilhan\u00e7a Mon\u00f3tona, Testes n\u00e3o Viciados e Invariantes. Infer\u00eancia Estat\u00edstica Seq\u00fcencial.<\/div><\/div>\n
MTP00049 - (M) Stochastic Processes I<\/a>
Cadeias de Markov a tempo discreto. Cadeias de Markov a tempo cont\u00ednuo. Processo de Poisson. Processos de nascimento e morte. Processos de ramifica\u00e7\u00e3o. Processos de renova\u00e7\u00e3o. Processos estacion\u00e1rios. Processos Markovianos. Martingales. Movimento Browniano.<\/div><\/div>\n
MTP00050 - (M\/D) Measure Theory and Probability<\/a>
Conjuntos de Borel. Medida de Lebesgue. Medidas em Rn. Fun\u00e7\u00f5es mensur\u00e1veis. Fun\u00e7\u00f5es de distribui\u00e7\u00e3o. Converg\u00eancia Fraca. Integral. Integral com respeito \u00e0 medida de Lebesgue. Medida Produto e o Teorema de Fubini. Vari\u00e1veis Aleat\u00f3rias e Esperan\u00e7a Matem\u00e1tica. Lei dos Grandes N\u00fameros. Converg\u00eancia de s\u00e9ries aleat\u00f3rias. Converg\u00eancia de distribui\u00e7\u00f5es. Fun\u00e7\u00e3o caracter\u00edstica. O Teorema Central do Limite. Distribui\u00e7\u00f5es infinitamente divis\u00edveis. O m\u00e9todo dos momentos. Teorema de Radon-Nikodyn. Probabilidade Condicional. Esperan\u00e7a Condicional. Martingales: desigualdades e teoremas de converg\u00eancia.<\/div><\/div>\n
MTP00051 - (M\/D) Stochastic Processes II<\/a>
Elementos de An\u00e1lise Estoc\u00e1stica: converg\u00eancia, continuidade, derivadas e integrais. Teoria da Correla\u00e7\u00e3o de processos estoc\u00e1sticos. Teorema de Kolmogorov sobre distribui\u00e7\u00f5es finito-Dimensionais. Martingales. Processos Markovianos. Geradores infinitesimais. Difus\u00e3o.<\/div><\/div>\n
MTP00052 - (M\/D) Probability Topics<\/a>
Variable program, at the discretion of the Coordinating Committee.<\/div><\/div>\n
MTP00053 - (M\/D) Mathematical Statistics Topics<\/a>
Variable program, at the discretion of the Coordinating Committee.<\/div><\/div>\n
MTP00054 - (M) Stochastic Simulation<\/a>
Gera\u00e7\u00e3o de N\u00fameros Aleat\u00f3rios. Gera\u00e7\u00e3o de Vari\u00e1veis Aleat\u00f3rias Discretas e Cont\u00ednuas: Binomial, Poisson, Uniforme, Gamma, Normal. Uso da Simula\u00e7\u00e3o Estoc\u00e1stica na Infer\u00eancia Estoc\u00e1stica. Integra\u00e7\u00e3o Estoc\u00e1stica e Monte Carlo. Simula\u00e7\u00e3o Estoc\u00e1stica Multivariada. Simula\u00e7\u00e3o do Movimento Browniano. Algoritmos Estoc\u00e1sticos.<\/div><\/div>\n
MTP00055 - (M) Computational Algebra<\/a>
Bases de Gr\u00f6bner e algoritmos; Fun\u00e7\u00f5es de Hilbert e suas aplica\u00e7\u00f5es; Graus de complexidade de um m\u00f3dulo graduado e suas majora\u00e7\u00f5es; Aplica\u00e7\u00f5es da \u00c1lgebra \u00e0 Teoria de Grafos; Aplica\u00e7\u00f5es da \u00c1lgebra \u00e0 Combinat\u00f3ria.<\/div><\/div>\n
MTP00056 - (M\/D) Elliptic Partial Differential Equations I<\/a>
Equa\u00e7\u00f5es lineares el\u00edpticas. O princ\u00edpio do m\u00e1ximo de Hopf. Equa\u00e7\u00f5es de Laplace e Poisson. Teoria de Schauder. O m\u00e9todo de Perron. O problema de Dirichlet para equa\u00e7\u00f5es lineares uniformemente el\u00edpticas. Estimativas de H\u00f6lder. Operadores quase-lineares el\u00edpticos. O princ\u00edpio do m\u00e1ximo para diferen\u00e7a de duas solu\u00e7\u00f5es. O princ\u00edpio do m\u00e1ximo para o gradiente. O problema de Dirichlet para equa\u00e7\u00f5es quase lineares el\u00edpticas. O m\u00e9todo da Continuidade. Aplica\u00e7\u00f5es \u00e0 teoria das superf\u00edcies de curvatura m\u00e9dia constante.<\/div><\/div>\n
MTP00057 - (M\/D) Elliptic Partial Differential Equations II<\/a>
Espa\u00e7os de Sobolev. Aproxima\u00e7\u00f5es. Extens\u00f5es e Tra\u00e7os. Desigualdades de Sobolev. Megulhos compactos. Equa\u00e7\u00f5es lineares el\u00edpticas. Solu\u00e7\u00f5es fracas. Exist\u00eancia de solu\u00e7\u00f5es fracas: Lema de Lax-Milgram, Alternativa de Fredohlm. Regularidade. Autovalores de operadores lineares sim\u00e9tricos.<\/div><\/div>\n
MTP00058 - (M\/D) Long Dependency Stochastic Processes and Their Computer Applications<\/a>
Modelos ARIMA (p,d,q) e ARFIMA (p,d,q). Propriedades de longa e curta depend\u00eancia. M\u00e9todos de estima\u00e7\u00e3o do par\u00e2metro de integra\u00e7\u00e3o d. Previs\u00e3o e sazonalidade em Processos Estoc\u00e1sticos de longa depend\u00eancia. Aplica\u00e7\u00f5es com dados experimentais. An\u00e1lises atrav\u00e9s de simula\u00e7\u00f5es fazendo uso de programas na linguagem Fortran. Aplica\u00e7\u00f5es atrav\u00e9s de programa\u00e7\u00e3o pelos softwares Mathematica e Splus.<\/div><\/div>\n
MTP00059 - (D) Research Seminar I<\/a>
Variable program, at the discretion of the Coordinating Committee.<\/div><\/div>\n
MTP00060 - (D) Research Seminar II<\/a>
Variable program, at the discretion of the Coordinating Committee.<\/div><\/div>\n
MTP00061 - (D) Research Seminar III<\/a>
Variable program, at the discretion of the Coordinating Committee.<\/div><\/div>\n
MTP00062 - (D) Research Seminar IV<\/a>
Variable program, at the discretion of the Coordinating Committee.<\/div><\/div>\n
MTP00063 - (M\/D) Mathematical Statistics Seminar<\/a>
Variable program, at the discretion of the Coordinating Committee.<\/div><\/div>\n
MTP00064 - (M\/D) Probability Seminar<\/a>
Variable program, at the discretion of the Coordinating Committee.<\/div><\/div>\n
MTP00065 - (M\/D) Algebraic Geometry I<\/a>
Curvas alg\u00e9bricas planas afins e projetivas; aplica\u00e7\u00f5es regulares e racionais. Pontos singulares e n\u00e3o singulares. Topologia no espa\u00e7o afim: Conjuntos irredut\u00edveis. Aplica\u00e7\u00f5es regulares e racionais. Variedades quase-projetivas. Variedades afins e projetivas; fun\u00e7\u00f5es regulares e racionais. Produtos e aplica\u00e7\u00f5es de variedades quase-projetivas. O Teoremas sobre a imagem de uma variedade projetiva. Aplica\u00e7\u00f5es finitas. Teorema de Normaliza\u00e7\u00e3o de Noether e aplica\u00e7\u00f5es. Teoria da dimens\u00e3o: dimens\u00e3o da interse\u00e7\u00e3o com uma hipersuperf\u00edcie; Teorema sobre a dimens\u00e3o das fibras e aplica\u00e7\u00f5es. Propriedades locais: Pontos singulares e n\u00e3o singulares; o anel local de um ponto. O espa\u00e7o tangente e o cone tangente. Expans\u00f5es em s\u00e9ries de pot\u00eancias e par\u00e2metros locais. Subvariedades de codimens\u00e3o 1 e subvariedades n\u00e3o-singulares.<\/div><\/div>\n
MTP00066 - (M\/D) Algebraic Geometry II<\/a>
Estrutura de aplica\u00e7\u00f5es birracionais: Explos\u00e3o em espa\u00e7os projetivos; explos\u00e3o local. Subvariedades excepcionais. Isomorfismos equival\u00eancias birracionais. Variedades Normais: normaliza\u00e7\u00e3o de uma variedade afim; o caso de uma curva. Mergulhos projetivos de uma variedade n\u00e3o-singular. Singularidades de uma aplica\u00e7\u00e3o: Irredutibilidade, n\u00e3o-singularidade e ramifica\u00e7\u00e3o. Divisores e formas diferenciais: divisor de uma fun\u00e7\u00e3o, divisores de Cartier e de Weil. Deforma\u00e7\u00e3o linear do suporte de um divisor; divisores e aplica\u00e7\u00f5es racionais. Sistemas lineares. Divisores de curvas. Teorema de B\u00e9zout para curvas. Dimens\u00e3o de um divisor. A c\u00fabica plana: Lei de grupo; aplica\u00e7\u00f5es regulares. Aplica\u00e7\u00f5es. Formas diferenciais: M\u00f3dulo de diferenciais. As p-formas. Formas diferenciais racionais. A classe can\u00f4nica e o teorema de Riemann-Roch para curvas; mergulho projetivo de uma superf\u00edcie.<\/div><\/div>\n
MTP00067 - (M\/D) Algebraic Geometry III<\/a>
N\u00fameros de interse\u00e7\u00e3o: aditividade, invari\u00e2ncia sob equival\u00eancia linear e demais propriedades. Teorema de B\u00e9zout em espa\u00e7\u00f5es projetivos. O Teorema de Riemann-Roch em superf\u00edcies. O anel de Chow. Aplica\u00e7\u00f5es birracionais entre superf\u00edcies. Resolu\u00e7\u00e3o de indetermina\u00e7\u00f5es. Teorema de fatora\u00e7\u00e3o. Singularidades de curvas e superf\u00edcies; singularidades de Du val. Degenera\u00e7\u00e3o de curvas. Esquemas afins: Espectro de um anel e topologia de Zariski. Irredutibilidade e dimens\u00e3o. Feixes: pre-feixes. Pre-feixe de Estrutura. Feixe associado a um pre-feixe e fibras de um feixe. Esquemas: defini\u00e7\u00e3o, colagem; esquemas fechados, reduzidos e nilpotentes. Condi\u00e7\u00f5es de finitude. Produtos fibrados; esquemas separados e pr\u00f3prios.<\/div><\/div>\n
MTP00068 - (M\/D) Algebraic Geometry IV<\/a>
Revis\u00e3o de esquemas afins e esquemas em geral: o caso dos esquemas projetivos. Fibrados vetoriais e feixes. Divisores e fibrados em retas. Variedades abstratas e variedades quase-projetivas. Explos\u00e3o ao longo de uma subvariedade. Crit\u00e9rios de afinidade e projetividade; exemplo de variedade non-quase-projetiva. Feixes coerentes: co-homologia de feixes e teoremas de finitude. A dualidade de Serre para espa\u00e7os projetivos. O caso de Esquemas projetivos e o teorema de Riemann-Roch para superf\u00edcies.<\/div><\/div>\n
MTP00069 - (D) Algebraic Manifolds<\/a>
A superf\u00edcie c\u00fabica no espa\u00e7o projetivo. Variedades regradas. Curvas em superf\u00edcies e n\u00fameros de interse\u00e7\u00e3o. Feixes e co-homologia coerente. Super\u00edcies K3. Singularidades de superf\u00edcies. Modelos minimais de superf\u00edcies via Teoria de Mory. Classifica\u00e7\u00e3o de Enriques-Kodaira de superf\u00edcies (alg\u00e9bricas).<\/div><\/div>\n
MTP00070 - (M\/D) Algebraic Groups<\/a>
Grupos alg\u00e9bricos afins. A\u00e7\u00f5es de grupos alg\u00e9bricos sobre variedades. \u00c1lgebras de Lie: espa\u00e7os tangentes; convolu\u00e7\u00f5es, etc. Espa\u00e7os homog\u00eaneos: teorema de Chevalley e quocientes. Correspond\u00eancias entre grupos alg\u00e9bricos e \u00e1lgebras de Lie: teoria de invariantes, subgrupos normais, centralizadores, etc: grupos semi-simples. Elementos semi-simples e unipotentes: decomposi\u00e7\u00e3o de Jordan; estrutura de grupos alg\u00e9bricos comutativos; grupos diagonaliz\u00e1veis. Grupos sol\u00faveis: Teorema de Lie-Kolchin; grupos sol\u00faveis conexos.<\/div><\/div>\n
MTP00071 - (M\/D) Lie Algebras I<\/a>
Conceitos b\u00e1sicos: \u00e1lgebras de Lie, representa\u00e7\u00e3o adjunta, s\u00e9ries de composi\u00e7\u00e3o. \u00c1lgebras nilpotentes, \u00e1lgebras sol\u00faveis, radicais, teoremas de Lie e Engel. \u00c1lgebras semi-simples, crit\u00e9rios de Cartan. Cohomologia, Teoremas de decomposi\u00e7\u00e3o de Weyl e de Levi. Sistemas de ra\u00edzes, diagramas de Dynkin, classifica\u00e7\u00e3o dos diagramas. Grupos de Weyl, c\u00e2meras de Weyl, decomposi\u00e7\u00f5es minimais.<\/div><\/div>\n
MTP00072 - (M\/D) Lie Algebras II<\/a>
\u00c1lgebras envelopantes. Teorema de Ado. Representa\u00e7\u00e3o das \u00e1lgebras de Lie semi-simples, \u00e1lgebras de Clifford. \u00c1lgebras semi-simples reais: decomposi\u00e7\u00e3o de Cartan, \u00e1lgebras cl\u00e1ssicas. Sistemas de ra\u00edzes: sistemas restritos, diagramas de Satake. Classifica\u00e7\u00e3o das \u00e1lgebras semi-simples reais. Representa\u00e7\u00e3o das \u00e1lgebras reais.<\/div><\/div>\n
MTP00073 - (M\/D) Geometric Analysis I<\/a>
Teoremas de compara\u00e7\u00e3o e estimativas do gradiente, Splitting theorem. Fun\u00e7\u00f5es harm\u00f4nicas em variedades de curvatura negativa. O problema de Dirichlet no bordo assint\u00f3tico. Desigualdade de Harnack e n\u00facleo de Poisson. Martin boundary e representa\u00e7\u00e3o integral de Martin.<\/div><\/div>\n
MTP00074 - (M\/D) Geometric Analysis II<\/a>
Problemas de autovalores. Estimativas por baixo e por cima do primeiro autovalor. Conjuntos nodais e multiplicidade dos autovalores. \u201cgaps\u201d entre autovalores. O n\u00facleo do calor em variedades Riemannianas. Estimativas do gradiente do n\u00facleo do calor. Aplica\u00e7\u00f5es.<\/div><\/div>\n
MTP00075 - (M\/D) Geometric Analysis III<\/a>
Deforma\u00e7\u00e3o conforme da curvatura escalar. O caso bi-dimensional. O problema de Yamabe e o invariante conforme. Transforma\u00e7\u00f5es conformes e variedades localmente conformemente planas. Mergulhos de variedades localmente conformemente planas em esferas. Topologia de variedades localmente conformemente planas.<\/div><\/div>\n
MTP00076 - (M\/D) Homogeneous Manifolds and Summetrical Spaces I<\/a>
Espa\u00e7os homog\u00eaneos, Conex\u00f5es afins invariantes. Espa\u00e7os homog\u00eaneos redut\u00edveis. M\u00e9tricas riemannianas invariantes, grupo de holonomia. Teorema da decomposi\u00e7\u00e3o de de Rham e irredutibilidade. Espa\u00e7os sim\u00e9tricos, conex\u00e3o can\u00f4nica, espa\u00e7os sim\u00e9tricos riemannianos. Estrutura das \u00e1lgebras de Lie ortogonais sim\u00e9tricas.<\/div><\/div>\n
MTP00077 - (M\/D) Homogeneous Manifolds and Summetrical Spaces II<\/a>
Subvariedades totalmente geod\u00e9sicas. Sistemas triplos de Lie. Posto de um espa\u00e7o sim\u00e9trico. Espa\u00e7os sim\u00e9tricos do tipo compacto. Subgrupos compactos maximais e suas conjuga\u00e7\u00f5es. Decomposi\u00e7\u00e3o de Iwasawa.. Espa\u00e7os sim\u00e9tricos do tipo n\u00e3o compacto. O grupo de Weyl e as ra\u00edzes restritas. Teorema de classifica\u00e7\u00e3o.<\/div><\/div>\n
MTP00078 - (M\/D) Elliptic Partial Differential Equations III<\/a>
C\u00e1lculo das varia\u00e7\u00f5es. Equa\u00e7\u00f5es de Euler Lagrange. Exist\u00eancia de minimizantes. Coercividade. Convexidade. Solu\u00e7\u00f5es fracas. Regularidade. Aplica\u00e7\u00f5es harm\u00f4nicas. Incompressibilidade. Pontos cr\u00edticos. Teorema do passo da montanha. Aplica\u00e7\u00f5es a EDP semilineares.<\/div><\/div>\n
MTP00079 - (M\/D) Riemannian Geometry II<\/a>
Variedades de curvatura negativa. O grupo fundamental. Teorema de Preissman. O bordo assint\u00f3tico M(). Topologia do Cone. Axioma da visibilidade. Fun\u00e7\u00f5es de Busemann e horoesferas. Segunda forma fundamental das horoesferas. Posto. Vetores regulares e k-planos. Geometria de Tits. A m\u00e9trica Td de Tits em M(). Geod\u00e9sicas de Tits. Convexidade de (M(),Td).<\/div><\/div>\n
MTP00080 - (M\/D) Galois Theories<\/a>
Teoria de Galois de Corpos, revis\u00e3o. Extens\u00f5es separ\u00e1veis e Galoisianas. Teorema Fundamental de Galois. Aplica\u00e7\u00f5es de An\u00e9is Comutativos.<\/div><\/div>\n
MTP00081 - (M\/D) Module Theory<\/a>
M\u00f3dulos livres, projetivos e injetivos. M\u00f3dulos planos.Dimens\u00e3o uniforme. Subm\u00f3dulo singular. Subm\u00f3dulos essenciais e densos.Categorias de M\u00f3dulos. Condi\u00e7\u00f5es de finitude. As categorias s (M) e s (R).<\/div><\/div>\n
MTP00082 - (M\/D) Radical Theory of Rings<\/a>
Teoria geral de radicais. Constru\u00e7\u00e3o de radicais.An\u00e9is nil e nilpotentes. O nilradical superior e o nilradical inferior. Radical de Levitzki. Radicais e condi\u00e7\u00f5es de cadeia. Radical de Jacobson. Regularidade. An\u00e9is primitivos. Outros radicais de an\u00e9is. O radical de Brown-Mc Coy. Radicais fortemente primos. Aplica\u00e7\u00f5es.<\/div><\/div>\n
MTP00083 - (D) Coalgebras and Comodules<\/a>
\u00c1lgebras e co-\u00e1lgebras. A topologia finita. Co-\u00e1lgebra dual. O dual finito. Com\u00f3dulos. M\u00f3dulos racionais. \u00c1lgebras de convolu\u00e7\u00e3o. Bi-com\u00f3dulos e produtos co-tensoriais. Classes especiais de co-\u00e1lgebras e co-M\u00f3dulos. Co-\u00e1lgebras co-semi-simples, semi-perfeitas e co-Frobenius.<\/div><\/div>\n
MTP00084 - (D) Hopf Algebras<\/a>
Pre-requisitos. Defini\u00e7\u00e3o e exemplos. Ant\u00edpodas. Hopf m\u00f3dulos. Integrais e semi-simplicidade. Teorema de Maschke. A\u00e7\u00f5es de \u00e1lgebras de Hopf. Produto Smash. Contexto de Morita relacionando R#H com RH. Tra\u00e7o. Co-radicais e filtra\u00e7\u00f5es. Produtos cruzados. H-extens\u00f5es de Galois.<\/div><\/div>\n
MTP00085 - (D) Ring Theory II<\/a>
Preliminares. An\u00e9is com condi\u00e7\u00f5es de cadeia. Exemplos. An\u00e9is de Goldie. Dimens\u00e3o uniforme. An\u00e9is de quocientes. Teoremas de Goldie. Teorema de estrutura de an\u00e9is de Goldie semi-primos. Ideais primos minimais. Equival\u00eancia de Morita. Contexto de Morita e an\u00e9is primos. An\u00e9is e m\u00f3dulos de quocientes. Envelopes injetivos e an\u00e9is de quocientes.<\/div><\/div>\n

(*) It counts as a master’s degree course only in the Program of Probability and Mathematical Statistics<\/span>.<\/center> <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

\u2022M – Mester \u2022D – Doctor All courses have 4 hours of letctures per week. (*) It counts as a master’s degree course only in the Program of Probability and Mathematical Statistics. <\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":2,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.ufrgs.br\/ppgmat\/en\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/47"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.ufrgs.br\/ppgmat\/en\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.ufrgs.br\/ppgmat\/en\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.ufrgs.br\/ppgmat\/en\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.ufrgs.br\/ppgmat\/en\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=47"}],"version-history":[{"count":16,"href":"https:\/\/www.ufrgs.br\/ppgmat\/en\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/47\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2886,"href":"https:\/\/www.ufrgs.br\/ppgmat\/en\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/47\/revisions\/2886"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.ufrgs.br\/ppgmat\/en\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=47"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}