{"id":1529,"date":"2008-09-12T15:32:17","date_gmt":"2008-09-12T18:32:17","guid":{"rendered":"http:\/\/www.ufrgs.br\/psicoeduc\/?page_id=1529"},"modified":"2020-01-14T21:44:33","modified_gmt":"2020-01-15T00:44:33","slug":"educacao-matematica","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.ufrgs.br\/psicoeduc\/piaget\/educacao-matematica\/","title":{"rendered":"Coment\u00e1rios sobre educa\u00e7\u00e3o matem\u00e1tica – Piaget"},"content":{"rendered":"

Autor:<\/strong> Jean Piaget<\/p>\n

Tradu\u00e7\u00e3o:<\/strong> Eduardo Britto Velho de Mattos, a tradu\u00e7\u00e3o \u00e9 fruto de uma atividade volunt\u00e1ria proposta na disciplina Psicologia da Educa\u00e7\u00e3o II e destina-se aos estudos desenvolvidos nessa disciplina.<\/p>\n

Supervis\u00e3o da tradu\u00e7\u00e3o:<\/strong> Paulo Francisco Slomp.<\/p>\n

Fonte: <\/strong>PIAGET, Jean. Comments on mathematical education<\/em>. [transl.: Joan Bliss]. In: Developments in mathematical education : proceedings of the 2nd International congress on mathematical education, Exeter, August 29th September 2nd, 1972 \/ ed.: Albert Geoffrey Howson. London : Cambridge University Press, 1973. P. 79-87. Ce texte a \u00e9t\u00e9 lu pour le compte de Jean Piaget au Congr\u00e8s international pour l’enseignement des math\u00e9matiques \u00e0 Exeter\/Angleterre.<\/p>\n

A orienta\u00e7\u00e3o dada \u00e0 educa\u00e7\u00e3o matem\u00e1tica depende naturalmente da interpreta\u00e7\u00e3o adotada do desenvolvimento psicol\u00f3gico ou da aquisi\u00e7\u00e3o das opera\u00e7\u00f5es e das estruturas l\u00f3gico-matem\u00e1ticas. Essa orienta\u00e7\u00e3o depende igualmente do sentido epistemol\u00f3gico dado a essas quest\u00f5es. A psicog\u00eanese e a significa\u00e7\u00e3o epistemol\u00f3gica s\u00e3o estreitamente relacionadas. Se o platonismo est\u00e1 certo ao considerar que as entidades matem\u00e1ticas existem independentemente do sujeito, ou se o positivismo l\u00f3gico est\u00e1 correto ao reduzir as entidades matem\u00e1ticas a uma sintaxe e a uma sem\u00e2ntica gerais; em ambos os casos seria justific\u00e1vel colocar a \u00eanfase na simples transmiss\u00e3o de verdades do professor para as crian\u00e7as e usar, logo que poss\u00edvel, a linguagem do professor, ou seja, a linguagem axiom\u00e1tica, sem muita preocupa\u00e7\u00e3o a respeito das id\u00e9ias espont\u00e2neas da crian\u00e7a.<\/p>\n

N\u00f3s acreditamos, ao contr\u00e1rio, que existe, como uma fun\u00e7\u00e3o do desenvolvimento global da intelig\u00eancia, uma espont\u00e2nea e gradual constru\u00e7\u00e3o das estruturas l\u00f3gico-matem\u00e1ticas elementares e que essas estruturas ‘naturais’ (‘naturais’ no mesmo sentido em que falamos dos n\u00fameros ‘naturais’) s\u00e3o muito mais pr\u00f3ximas das que est\u00e3o sendo utilizadas na matem\u00e1tica ‘moderna’ do que as que s\u00e3o utilizadas na matem\u00e1tica tradicional. Existe entretanto um corpo de fatos que s\u00e3o em geral pouco conhecidos dos professores, mas que, uma vez que eles melhorem o seu conhecimento sobre psicologia, seria de consider\u00e1vel utilidade e ajudaria-os bem mais do que fazer outras coisas complicadas. Isto tamb\u00e9m facilitaria a realiza\u00e7\u00e3o de voca\u00e7\u00f5es criativas nos alunos, ao inv\u00e9s de consider\u00e1-los simplesmente como instrumentos de recep\u00e7\u00e3o.<\/p>\n

Contudo, para atingir este est\u00e1gio \u00e9 necess\u00e1rio revisar nossas id\u00e9ias sobre a rela\u00e7\u00e3o entre linguagem e a\u00e7\u00e3o. Pareceria psicologicamente evidente que a l\u00f3gica n\u00e3o surge fora da linguagem, mas de uma fonte mais profunda, e isto pode ser encontrado na coordena\u00e7\u00e3o geral das a\u00e7\u00f5es. De fato, anteriormente a qualquer linguagem, num n\u00edvel puramente sens\u00f3rio-motor, as a\u00e7\u00f5es s\u00e3o suscet\u00edveis a repeti\u00e7\u00f5es e depois a generaliza\u00e7\u00f5es, constituindo o que pode ser chamado de esquemas de assimila\u00e7\u00e3o. Estes esquemas se auto-organizam de acordo com certas leis e parece imposs\u00edvel negar a rela\u00e7\u00e3o entre eles e as leis da l\u00f3gica. Dois esquemas podem ser coordenados ou dissociados (reuni\u00e3o), um pode ser parcialmente inclu\u00eddo no outro (inclus\u00e3o), ou somente ter uma parte em comum com o outro (intersec\u00e7\u00e3o); as partes de um esquema ou a coordena\u00e7\u00e3o de dois ou mais esquemas podem permitir uma ordem invariante de sucess\u00f5es, ou certas permuta\u00e7\u00f5es (tipos de ordem), assim como correspond\u00eancia um-a-um, um-a-muitos ou muitos-a-um (bije\u00e7\u00e3o, etc.). Considerando que um esquema imp\u00f5e um objetivo para uma a\u00e7\u00e3o, \u00e9 contradit\u00f3rio para o sujeito ir em sentido oposto. Em resumo, h\u00e1 toda uma l\u00f3gica da a\u00e7\u00e3o que comanda a constru\u00e7\u00e3o de certas identidades, e isto vai al\u00e9m da percep\u00e7\u00e3o (por exemplo, a perman\u00eancia de objetos ocultos), conduzindo \u00e0 elabora\u00e7\u00e3o de certas estruturas (o grupo pr\u00e1tico de deslocamentos, j\u00e1 descrito por Poincar\u00e9 em seu ensaio epistemol\u00f3gico).<\/p>\n

Portanto seria um grande equ\u00edvoco, particularmente em educa\u00e7\u00e3o matem\u00e1tica, negligenciar o papel das a\u00e7\u00f5es e sempre retornar ao n\u00edvel da linguagem. Particularmente com alunos jovens, atividades com objetos s\u00e3o indispens\u00e1veis para a compreens\u00e3o da aritm\u00e9tica, assim como das rela\u00e7\u00f5es geom\u00e9tricas (como foi o caso com a matem\u00e1tica emp\u00edrica dos Eg\u00edpcios). A avers\u00e3o dos professores de matem\u00e1tica \u00e0 atividades que envolvam experimenta\u00e7\u00e3o material \u00e9 compreens\u00edvel. Eles provavelmente v\u00eaem uma variedade de refer\u00eancias das propriedades f\u00edsicas dos objetos e podem temer que verifica\u00e7\u00f5es emp\u00edricas possam prejudicar o desenvolvimento da dedu\u00e7\u00e3o e da racionalidade pura que caracteriza sua disciplina. Mas, na verdade, isto \u00e9 uma incompreens\u00e3o fundamental e uma an\u00e1lise psicol\u00f3gica nos permite afastar estes medos e reassegurar aos matem\u00e1ticos, com rela\u00e7\u00e3o a sua demanda essencial, de que os aspectos dedutivos e formais da mente podem ser educados. Existem, na verdade, dois tipos de \u2018experi\u00eancias\u2019, uma bem diferente da outra, que est\u00e3o relacionadas \u00e0s a\u00e7\u00f5es do sujeito. Em primeiro lugar, h\u00e1 o que \u00e9 conhecido como \u2018experi\u00eancia f\u00edsica\u2019 (no sentido amplo) que consiste em agir sobre os objetos para descobrir as propriedades dos pr\u00f3prios objetos, por exemplo, comparando pesos ou densidades, etc. Mas existe tamb\u00e9m, e isto geralmente n\u00e3o \u00e9 conhecido, o que pode ser chamado de \u2018experi\u00eancia l\u00f3gicomatem\u00e1tica\u2019. Este tipo de experi\u00eancia retira informa\u00e7\u00e3o, n\u00e3o das propriedades f\u00edsicas de objetos particulares, mas das a\u00e7\u00f5es atuais (ou mais precisamente de sua coordena\u00e7\u00e3o) executadas pelas crian\u00e7as sobre os objetos. Estes dois tipos de experi\u00eancia n\u00e3o s\u00e3o equivalentes. Um amigo meu e matem\u00e1tico muito conhecido disse que o come\u00e7o de seu interesse pela matem\u00e1tica foi provocado por uma experi\u00eancia do segundo tipo que lhe aconteceu quando ele tinha cerca de quatro ou cinco anos de idade. Sentado no jardim, ele come\u00e7ou a entreter-se colocando pedrinhas em linha e contando-as, por exemplo, de um a dez, da esquerda para a direita. Ap\u00f3s ele contou-as da direita para a esquerda e, para a sua grande surpresa, ainda encontrou dez. Ent\u00e3o colocou-as em um c\u00edrculo e, entusiasmado contou novamente — dez!. Contou-as no sentido oposto e eram dez em ambos os sentidos. Continuou organizando as pedrinhas de variados modos e terminou convencendo-se de que a soma, dez, era independente da disposi\u00e7\u00e3o ou organiza\u00e7\u00e3o das pedrinhas. \u00c9 evidente que nem a soma nem a organiza\u00e7\u00e3o s\u00e3o propriedades f\u00edsicas das pedrinhas, at\u00e9 aquele momento em que a crian\u00e7a de fato as tenha organizado ou colocado todas juntas. Neste instante a crian\u00e7a descobriu que a a\u00e7\u00e3o de reunir pedrinhas produz resultados e estes resultados s\u00e3o independentes do ato de ordena\u00e7\u00e3o das mesmas. Ela pode observar isso com qualquer objeto s\u00f3lido. As propriedades f\u00edsicas das pedras n\u00e3o representaram papel particular algum (al\u00e9m do fato de que as pedrinhas \u2018aceitavam\u2019 estas a\u00e7\u00f5es, a natureza delas, n\u00e3o obstante, permaneceu inalterada, isto \u00e9, foi conservada; e a pr\u00f3pria conserva\u00e7\u00e3o tamb\u00e9m proporciona uma experi\u00eancia l\u00f3gico-matem\u00e1tica).<\/p>\n

O papel inicial das a\u00e7\u00f5es e experi\u00eancias l\u00f3gico-matem\u00e1ticas, longe de impedir o ulterior desenvolvimento de pensamento dedutivo, constitui, ao contrario, a prepara\u00e7\u00e3o necess\u00e1ria, e isto por duas raz\u00f5es. A primeira \u00e9 que as opera\u00e7\u00f5es mentais ou intelectuais, que participam dos processos de racioc\u00ednio dedutivo subseq\u00fcentes, originam-se das a\u00e7\u00f5es. S\u00e3o a\u00e7\u00f5es interiorizadas e, uma vez que tenham sido interiorizadas e coordenadas, ser\u00e1 o suficiente. Ent\u00e3o experi\u00eancias l\u00f3gico-matem\u00e1ticas na forma de a\u00e7\u00f5es materiais n\u00e3o ser\u00e3o mais necess\u00e1rias e a dedu\u00e7\u00e3o interiorizada ser\u00e1 suficiente. A segunda raz\u00e3o \u00e9 que as coordena\u00e7\u00f5es das a\u00e7\u00f5es e a experi\u00eancia l\u00f3gico-matem\u00e1tica, enquanto se interiorizam, proporcionam a cria\u00e7\u00e3o de uma variedade particular de abstra\u00e7\u00e3o que corresponde precisamente \u00e0 abstra\u00e7\u00e3o l\u00f3gica e matem\u00e1tica. Ao contr\u00e1rio das abstra\u00e7\u00f5es comuns ou aristot\u00e9licas, que originam-se das propriedades f\u00edsicas dos objetos e por essa raz\u00e3o s\u00e3o chamadas de \u2018abstra\u00e7\u00f5es emp\u00edricas\u2019, a abstra\u00e7\u00e3o l\u00f3gico-matem\u00e1tica refere-se \u00e0 \u2018abstra\u00e7\u00e3o reflexionante\u2019 e isso por duas raz\u00f5es relacionadas. De um lado, esta abstra\u00e7\u00e3o \u2018reflete\u2019 (no mesmo sentido que um refletor ou projetor) tudo que estava em um plano inferior (por exemplo, esse plano das a\u00e7\u00f5es) e projeta para um plano superior, o do pensamento ou representa\u00e7\u00e3o mental. Por outro lado, \u00e9 uma \u2018abstra\u00e7\u00e3o reflexionante\u2019 no sentido de uma reorganiza\u00e7\u00e3o da atividade mental que reconstr\u00f3i em um n\u00edvel superior tudo que foi extra\u00eddo da coordena\u00e7\u00e3o das a\u00e7\u00f5es.<\/p>\n

Entretanto, entre a idade em que a\u00e7\u00f5es materiais e experi\u00eancias l\u00f3gico-matem\u00e1ticas s\u00e3o necess\u00e1rias (antes dos 7\/8 anos de idade) e a idade em que o pensamento abstrato come\u00e7a a tornar-se poss\u00edvel (por volta dos 11\/12 anos atrav\u00e9s de n\u00edveis sucessivos, at\u00e9 os 14\/15 anos), h\u00e1 um importante est\u00e1gio cujas caracter\u00edsticas s\u00e3o interessantes para o psic\u00f3logo e muito \u00fateis ao professor. Entre os 7 e 11\/12 anos de idade podemos observar um importante desenvolvimento espont\u00e2neo de opera\u00e7\u00f5es dedutivas com suas caracter\u00edsticas de conserva\u00e7\u00e3o, reversibilidade, etc. Elas permitem a elabora\u00e7\u00e3o da l\u00f3gica elementar de classes e rela\u00e7\u00f5es, a constru\u00e7\u00e3o operacional de toda a s\u00e9rie dos n\u00fameros pela s\u00edntese das no\u00e7\u00f5es de inclus\u00e3o e ordem [Nota de rodap\u00e9: Muitos autores (Freudenthal, etc), parecem entender que eu penso que os n\u00fameros ordinais s\u00e3o mais primitivos do que os n\u00fameros cardinais, ou o contr\u00e1rio. Nunca fiz tal afirma\u00e7\u00e3o e sempre considerei estes dois aspectos dos n\u00fameros finitos como indissoci\u00e1veis e psicologicamente refor\u00e7adores um do outro em uma s\u00edntese que vai al\u00e9m de ambos, na dire\u00e7\u00e3o da inclus\u00e3o de classes e do ordenamento das rela\u00e7\u00f5es assim\u00e9ticas transitivas. Se a ordena\u00e7\u00e3o \u00e9 necess\u00e1ria, \u00e9 porque as unidades que se tornaram equivalentes pela abstra\u00e7\u00e3o de suas qualidades podem somente ser distinguidas uma da outra pela sua posi\u00e7\u00e3o na ordem. Mas a ordem das unidades elementares \u00e9 relativa ao n\u00famero (cardinal) de unidades que procede de cada uma das unidades assim ordenadas.], a constru\u00e7\u00e3o da no\u00e7\u00e3o de medida pela s\u00edntese da subdivis\u00e3o de um cont\u00ednuo e o deslocamento regular ordenado de uma parte escolhida que serve como unidade, etc. Embora haja um progresso consider\u00e1vel no pensamento l\u00f3gico infantil, ele \u00e9 entretanto ainda muito limitado. Neste n\u00edvel a crian\u00e7a n\u00e3o pode raciocinar a partir de puras hip\u00f3teses, expressadas verbalmente, e, para atingir dedu\u00e7\u00e3o coerente, ela precisa aplicar seu racioc\u00ednio em objetos manipul\u00e1veis (no mundo real ou na sua imagina\u00e7\u00e3o). Por essas raz\u00f5es neste n\u00edvel nos referimos a \u2018opera\u00e7\u00f5es concretas\u2019, diferenciando-as das opera\u00e7\u00f5es formais. Estas opera\u00e7\u00f5es concretas s\u00e3o intermedi\u00e1rias entre as a\u00e7\u00f5es do est\u00e1gio pr\u00e9-operat\u00f3rio e do est\u00e1gio de pensamento abstrato, que ocorre mais tarde.<\/p>\n

Desta maneira, tendo estabelecido a continuidade entre as a\u00e7\u00f5es espont\u00e2neas da crian\u00e7a e seu pensamento reflexivo, podemos concluir que as no\u00e7\u00f5es essenciais que caracterizam a matem\u00e1tica moderna s\u00e3o mais pr\u00f3ximas das estruturas de pensamento \u201cnatural\u201d do que os conceitos usados na matem\u00e1tica tradicional. Primeiro, deve ser destacada a import\u00e2ncia do papel espont\u00e2neo das opera\u00e7\u00f5es que permitem o estabelecimento de correspond\u00eancias entre conjuntos e, em decorr\u00eancia, da constru\u00e7\u00e3o de morfismos, e particularmente quando podem ser combinadas com seria\u00e7\u00f5es recorrentes. Temos, por exemplo, com B. Inhelder, pedido a crian\u00e7as entre 4\/5 e 7\/8 anos de idade para colocar uma bolinha com uma m\u00e3o em um copo transparente e simultaneamente, com a outra m\u00e3o, colocar outra bolinha em um segundo copo que estava, entretanto, escondido atr\u00e1s de um anteparo. As perguntas foram elaboradas para descobrir se as crian\u00e7as entenderam ou n\u00e3o que os dois conjuntos assim constitu\u00eddos eram equivalentes e tamb\u00e9m para descobrir se esta a\u00e7\u00e3o, caso continuasse indefinidamente, teria sua igualdade conservada. Todas as crian\u00e7as entrevistadas admitiram a igualdade dos dois conjuntos enquanto a a\u00e7\u00e3o estava em curso. Por\u00e9m as crian\u00e7as mais novas se recusaram a generalizar no caso em que a a\u00e7\u00e3o continuasse indefinidamente. Por volta dos cinco ou seis anos em diante elas admitiram esta generaliza\u00e7\u00e3o e um menino mais novo, de cinco anos e meio, encontrou a seguinte f\u00f3rmula muito divertida: \u2018Quando algu\u00e9m sabe uma vez, sabe para sempre\u2019. Por\u00e9m, esta mesma crian\u00e7a ap\u00f3s ter visto um conjunto de dez fichas vermelhas enfileiradas em correspond\u00eancia um-a-um com um segundo conjunto de dez fichas azuis recusou-se a admitir a conserva\u00e7\u00e3o desta equival\u00eancia uma vez que os elementos de um dos conjuntos tinham sido mais espa\u00e7ados entre si e a correspond\u00eancia entre as duas fileiras n\u00e3o mais era vis\u00edvel. Este exemplo demonstra o papel construtivo do estabelecimento de uma correspond\u00eancia combinada com a id\u00e9ia de repeti\u00e7\u00e3o.<\/p>\n

[…]<\/p>\n

O texto integral da tradu\u00e7\u00e3o est\u00e1 dispon\u00edvel aos alunos da disciplina EDU01012 Psicologia da Educa\u00e7\u00e3o II.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Autor: Jean Piaget Tradu\u00e7\u00e3o: Eduardo Britto Velho de Mattos, a tradu\u00e7\u00e3o \u00e9 fruto de uma atividade volunt\u00e1ria proposta na disciplina Psicologia da Educa\u00e7\u00e3o II e destina-se aos estudos desenvolvidos nessa disciplina. Supervis\u00e3o da tradu\u00e7\u00e3o: Paulo Francisco Slomp. Fonte: PIAGET, Jean. Comments on mathematical education. [transl.: Joan Bliss]. In: Developments in mathematical education : proceedings of … Continue lendo “Coment\u00e1rios sobre educa\u00e7\u00e3o matem\u00e1tica – Piaget”<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":1063,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","template":"","meta":{"_lmt_disableupdate":"","_lmt_disable":"","footnotes":""},"class_list":["post-1529","page","type-page","status-publish","hentry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.ufrgs.br\/psicoeduc\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1529","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.ufrgs.br\/psicoeduc\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.ufrgs.br\/psicoeduc\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.ufrgs.br\/psicoeduc\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.ufrgs.br\/psicoeduc\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1529"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/www.ufrgs.br\/psicoeduc\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1529\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2561,"href":"https:\/\/www.ufrgs.br\/psicoeduc\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1529\/revisions\/2561"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.ufrgs.br\/psicoeduc\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1063"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.ufrgs.br\/psicoeduc\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1529"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}