{"id":1969,"date":"2008-09-22T16:52:44","date_gmt":"2008-09-22T19:52:44","guid":{"rendered":"http:\/\/www.ufrgs.br\/psicoeduc\/?page_id=1969"},"modified":"2008-11-14T10:44:30","modified_gmt":"2008-11-14T13:44:30","slug":"relacoes-entre-superficies-e-perimetros-dos-retangulos-piaget","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.ufrgs.br\/psicoeduc\/piaget\/relacoes-entre-superficies-e-perimetros-dos-retangulos-piaget\/","title":{"rendered":"Rela\u00e7\u00f5es entre superf\u00edcies e per\u00edmetros dos ret\u00e2ngulos – Piaget"},"content":{"rendered":"

Autor: <\/strong>Jean Piaget
\nFonte:<\/strong> PIAGET, Jean. Abstra\u00e7\u00e3o reflexionante. Porto Alegre: Artes M\u00e9dicas, 1995. p. 193-205<\/p>\n

A abstra\u00e7\u00e3o reflexionante \u00e9 um processo que permite construir estruturas novas, em virtude da reorganiza\u00e7\u00e3o de elementos tirados de estruturas anteriores, e, como tal, tanto pode funcionar de maneira inconsciente como sob a dire\u00e7\u00e3o de inten\u00e7\u00f5es deliberadas: particularmente, o sujeito de uma investiga\u00e7\u00e3o ignora, por muito tempo, de que fontes tem aurido os mecanismos constitutivos de sua nova constru\u00e7\u00e3o; e um matem\u00e1tico pode nada saber, sem por isso sentir-se impedido de realizar seu trabalho sobre as ra\u00edzes psicogen\u00e9ticas das estruturas elementares que utiliza (como, por ex., a de grupo). J\u00e1 chamamos de abstra\u00e7\u00e3o \u201crefletida\u201d a tomada de consci\u00eancia dos resultados de uma abstra\u00e7\u00e3o reflexionante, e \u00e9 interessante estudar-lhes as condi\u00e7\u00f5es. Para faz\u00ea-lo, o melhor m\u00e9todo \u00e9 o utilizado relativamente \u00e0s estruturas de ordem: ou fazer o sujeito resolver dois problemas an\u00e1logos, de dom\u00ednio em qualquer idade, ou analisar previamente as solu\u00e7\u00f5es em sua evolu\u00e7\u00e3o, e perguntar aos sujeitos de todos os n\u00edveis o que h\u00e1 de semelhante ou de diferente nestas duas situa\u00e7\u00f5es. Trata-se, pois, de conduzir o essencial da pesquisa mais para a compara\u00e7\u00e3o das estruturas do que para a sua forma\u00e7\u00e3o. A seguir, ser\u00e3o estudadas as compara\u00e7\u00f5es e a abstra\u00e7\u00e3o refletida que interv\u00eam em problemas espaciais de superf\u00edcies e de per\u00edmetros, com o risco de reencontrar a\u00ed a quest\u00e3o das diagonais, etc.<\/p>\n

E. Lunzer e Vinh-Bang j\u00e1 estudaram, h\u00e1 alguns anos, as rela\u00e7\u00f5es entre superf\u00edcie e per\u00edmetro nos ret\u00e2ngulos, cuja forma se modifica, deixando invari\u00e1vel um destes dois aspectos, e eles puseram em evid\u00eancia, entre outros, o fato not\u00e1vel de que, com o progresso das no\u00e7\u00f5es de conserva\u00e7\u00e3o, os sujeitos s\u00e3o levados a consider\u00e1-los, todos os dois, como se conservando simultaneamente, em virtude de uma liga\u00e7\u00e3o aparentemente necess\u00e1ria.<\/p>\n

Este cap\u00edtulo retomar\u00e1, pois, n\u00e3o mais do que brevemente, estes fatos, a fim de dar toda a \u00eanfase ao nosso problema, que \u00e9 o das compara\u00e7\u00f5es feitas pelos sujeitos, entre as duas situa\u00e7\u00f5es em que se conservam, seja a superf\u00edcie, seja o per\u00edmetro.<\/p>\n

A t\u00e9cnica consiste, em seu princ\u00edpio geral, em transformar um quadrado em ret\u00e2ngulos cada vez mais compridos. Mas utiliza-se, para este fim, dois dispositivos difO texto integral est\u00e1 dispon\u00edvel na fonte indicada acima.erentes A e B, cuja descri\u00e7\u00e3o \u00e9 a seguinte:<\/p>\n

MATERIAL A \u2013 No centro de uma prancha, quatro pregos constituem os quatro cantos de um quadrado de 25 cm de lado. Em uma e outra parte do quadrado, est\u00e3o dispostos oito pregos, que constituem os cantos de dois ret\u00e2ngulos, tendo, respectivamente, 35 e 45cm de comprimento, 15 e 5 cm de largura. Enfim, dois pregos constituem as duas extremidades de uma reta de 50cm. Estas diferentes figuras t\u00eam, pois, um per\u00edmetro de 100cm; este \u00faltimo \u00e9 materializado por um barbante \u201cfechado\u201d. Com a ajuda deste material, pode-se, pois, efetuar, a partir de um quadrado C, dois ret\u00e2ngulos e uma linha reta, que chamaremos, respectivamente, R1, R2 e R3, realizando para tanto, tr\u00eas transforma\u00e7\u00f5es T1, T2 e T3.<\/p>\n

MATERIAL B \u2013 \u00c9 constitu\u00eddo de oito tiras de cartolina resistente, de cor verde. Cada uma destas tiras tem 24cm de comprimento e 3cm de largura. As oito tiras unidas uma \u00e0 outra, lado a lado, no sentido do comprimento, formam um quadrado de 24cm de lado. As quatro tiras superiores, dispostas ao lado das quatro tiras inferiores ,forma um ret\u00e2ngulo de 48cm de comprimento e 12 cm de largura (R!). Com uma opera\u00e7\u00e3o do mesmo tipo, pode-se, ainda, constituir um ret\u00e2ngulo de 96cm de comprimento e 6 de largura (R2), e, finalmente, um \u00faltimo ret\u00e2ngulo de 192cm de comprimento e 3cm de largura (R3). Como em A, as transforma\u00e7\u00f5es que servir\u00e3o para constituir R1, R2 e R3, chamar-se-\u00e3o T1, T2 e T3.<\/p>\n

Note-se que, tanto em B como em A, \u00e9 a crian\u00e7a mesma quem constr\u00f3i os ret\u00e2ngulos de R1 a R3 e executa, assim, as transforma\u00e7\u00f5es de T1 a T3, no in\u00edcio, com uma simples ajuda eventual do experimentador.<\/p>\n

Tentamos abordar o processo de abstra\u00e7\u00e3o, tirada da a\u00e7\u00e3o do sujeito em tr\u00eas fases sucessivas.<\/p>\n

Fase 1 \u2013 Ap\u00f3s cada transforma\u00e7\u00e3o, perguntamos ao sujeito qual \u0301-e o efeito quantitativo desta \u00faltima sobre a superf\u00edcie e o per\u00edmetro. (a superf\u00edcie tornou-se maior, menor ou ficou a mesma?)<\/p>\n

Comparamos as respostas obtidas em A e em B pelos mesmos sujeitos. Um grupo de sujeitos, de acordo com a idade, efetua as manipula\u00e7\u00f5es com A, depois com B, um outro, com B primeiramente, com A em seguida.<\/p>\n

Fase 2 \u2013 Depois que a crian\u00e7a efetuou todas as transforma\u00e7\u00f5es em A, pede-se para resumir o que ela acabou de fazer e, em particular, precisar a orienta\u00e7\u00e3o da evolu\u00e7\u00e3o das superf\u00edcies e dos per\u00edmetros. Pede-se a mesma coisa ap\u00f3s as manipula\u00e7\u00f5es feitas em B.<\/p>\n

Fase 3 \u2013 Depois das manipula\u00e7\u00f5es em A e em B, pede-se um resumo de conjunto; o experimentador tenta, especialmente, verificar a partir de que momento a crian\u00e7a \u00e9 capaz de distinguir as caracter\u00edsticas comuns aos dois tipos de manipula\u00e7\u00e3o.<\/p>\n

Prop\u00f5e-se, ent\u00e3o, uma compara\u00e7\u00e3o entre as duas manipula\u00e7\u00f5es. Trata-se de \u201cjogos\u201d semelhantes ou diferentes, e por que raz\u00f5es?<\/p>\n

Enfim, pergunta-se se existem caracter\u00edsticas comuns nas varia\u00e7\u00f5es quantitativas das superf\u00edcies e dos per\u00edmetros em A e em B.<\/p>\n

\u00a71 | As conserva\u00e7\u00f5es. \u2013 Na ordem AB, um primeiro n\u00edvel IA \u00e9 o das correspond\u00eancias globais entre superf\u00edcie e per\u00edmetro, ambos aumentando ou diminuindo ao mesmo tempo. Mas esta rea\u00e7\u00e3o raramente \u00e9 pura, e sobretudo no caso R3 em A, encontram-se, com freq\u00fc\u00eancia, diminui\u00e7\u00f5es de superf\u00edcie com aumento do per\u00edmetro, como se houvesse compensa\u00e7\u00e3o, mas, ao menos no come\u00e7o, h\u00e1 simplesmente uma aceita\u00e7\u00e3o das apar\u00eancias sem busca de coer\u00eancia:<\/p>\n

MIC (6;9) \u2013 Em A, para R1: \u201cA quantidade de madeira dentro \u00e9 maior, menor ou a mesma coisa do que tinha antes? \u2013 \u00c9 maior, porque antes era um quadrado. \u2013 Eu ajuntei alguma coisa? \u2013 \u00c9 o mesmo barbante. \u2013 E se a gente medir o barbante? \u2013 Ele ser\u00e1 mais comprido. \u2013 Tu ainda podes fazer um ret\u00e2ngulo? (Ele faz R2) \u2013 A quantidade dentro? \u2013 \u00c9 menor. \u2013 E o barbante? \u2013 \u00c9 menor. \u2013 Tem menos barbante? \u2013 Sim. \u2013 Tu podes fazer o \u00faltimo ret\u00e2ngulo? (Ele faz R3) \u2013 A grandeza da madeira dentro? \u2013 Menor. \u2013 Ainda tem mais? \u2013 N\u00e3o. \u2013 E o comprimento de todo o barbante? \u2013 \u00c9 maior, mais comprido. \u2013 H\u00e1 mais do que antes? \u2013 N\u00e3o…. sim. \u2013 Eu acrescentei algo? \u2013 Tem menos. \u2013 Ou a mesma coisa? \u2013 Menos\u201d. Dispositivo B. Ele faz R1: \u201cDentro h\u00e1 mais, ou menos papel, ou a mesma coisa? \u2013 Tem menos papel. \u2013 E a borda? \u2013 \u00c9 mais comprida, os lados s\u00e3o mais compridos\u201d. \u2013 (Ele faz R2) \u2013 \u201cA grandeza do papel? \u2013 Menor, porque \u00e9 mais comprida. \u2013 H\u00e1 menos papel, ou mais, ou a mesma coisa? \u2013 Menos, \u00e9 mais fino. \u2013 E a borda? \u2013 \u00c9 comprida. \u2013 Mudou? \u2013 Sim, \u00e9 mais longa\u201d.<\/p>\n

Em um n\u00edvel IB, as n\u00e3o-correspond\u00eancias ultrapassam um pouco as correspond\u00eancias globais, e em certos casos, pode-se ver nisso, ao sujeito hesitar entre os aumentos e as diminui\u00e7\u00f5es, uma esp\u00e9cie de compensa\u00e7\u00e3o, de onde decorrem solu\u00e7\u00f5es mistas que se assemelham, ali\u00e1s, mais a acordos do que a compensa\u00e7\u00f5es expl\u00edcitas:<\/p>\n

YVO (7;0) \u2013 A em R1: a superf\u00edcie (quantidade interior): \u201c\u00c9 a mesma coisa, ela \u00e9 menor. \u2013 E o limite? \u2013 Ele mudou de forma, a grandeza \u00e9 um pouco maior. \u2013 Sim, l\u00e1 (lado grande), mas menor l\u00e1 (lado pequeno)? \u2013 Sim, faz um todo m\u00e9dio (uma m\u00e9dia). \u2013 A gente ajuntou alguma coisa? \u2013 Sim, ajuntou. \u2013 Tu me viste ajuntar alguma coisa? \u2013 N\u00e3o. \u2013 \u00c9 o mesmo barbante ou n\u00e3o? \u2013 O mesmo. – E sua grandeza? \u2013 \u00c9 maior\u201d. Mesmas rea\u00e7\u00f5es para R2 e sobretudo R3.<\/p>\n

[…]<\/p>\n

\n

O texto integral est\u00e1 dispon\u00edvel na fonte indicada acima.<\/font><\/p>\n

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Autor: Jean Piaget Fonte: PIAGET, Jean. Abstra\u00e7\u00e3o reflexionante. Porto Alegre: Artes M\u00e9dicas, 1995. p. 193-205 A abstra\u00e7\u00e3o reflexionante \u00e9 um processo que permite construir estruturas novas, em virtude da reorganiza\u00e7\u00e3o de elementos tirados de estruturas anteriores, e, como tal, tanto pode funcionar de maneira inconsciente como sob a dire\u00e7\u00e3o de inten\u00e7\u00f5es deliberadas: particularmente, o sujeito … Continue lendo “Rela\u00e7\u00f5es entre superf\u00edcies e per\u00edmetros dos ret\u00e2ngulos – Piaget”<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":1063,"menu_order":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","template":"","meta":{"_lmt_disableupdate":"","_lmt_disable":"","footnotes":""},"class_list":["post-1969","page","type-page","status-publish","hentry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.ufrgs.br\/psicoeduc\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1969","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.ufrgs.br\/psicoeduc\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.ufrgs.br\/psicoeduc\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.ufrgs.br\/psicoeduc\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.ufrgs.br\/psicoeduc\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1969"}],"version-history":[{"count":4,"href":"https:\/\/www.ufrgs.br\/psicoeduc\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1969\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1982,"href":"https:\/\/www.ufrgs.br\/psicoeduc\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1969\/revisions\/1982"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.ufrgs.br\/psicoeduc\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1063"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.ufrgs.br\/psicoeduc\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1969"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}