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Álgebra Linear - Um Livro Colaborativo

3.5 Transformações injetoras, sobrejetoras e invertíveis


Como de costume, dada uma função f : A B, diz-se que A é o domínio de f enquanto B é o contradomínio. A imagem de f é o subconjunto de B que consiste de todos os elementos y B tais que f(x) = y ou, intuitivamente, que consiste de “todos os elementos de B que são atingidos pela função f”.

Na hora de decidir se uma função é invertível ou não, duas propriedades são essenciais:

1)
cada elemento de B ser a imagem de no máximo um elemento de A, caso em que f é dita injetora ou injetiva;
2)
a imagem de f ser igual ao contradomínio, caso em que f diz-se sobrejetora ou sobrejetiva.

Quando estas duas propriedades são satisfeitas, isto é, quando a função f é injetora e sobrejetora, vale que f é invertível: podemos encontrar uma função f1 : B A que satisfaz

f1f(x) = x,para todo x Aeff1(y) = y,para todo y B. (3.44)

Ao tentarmos encontrar uma função inversa f1, as propriedades de ser injetora e sobrejetora, aparecem naturalmente.

Estas definições são usuais para funções quaisquer. A partir de agora, vamos analisar quando que transformações lineares são injetoras, sobrejetoras e/ou invertíveis. Vamos ver, em particular, que é bem mais fácil estudar tais propriedades para transformações lineares.

3.5.1 Transformações lineares injetoras


A transformação linear T : n m é injetora quando, para b m, a equação

T(x) = b (3.45)

possuir uma única solução ou nenhuma (no máximo uma – comparar com a definição acima). Como vimos, existe uma matriz A de ordem m × n associada à transformação linear T, de modo que temos que analisar as soluções de

Ax = b. (3.46)

Recaimos novamente em um sistema linear!

No caso particular em que b = 0, o sistema homogêneo Ax = 0 sempre possui a solução trivial x = 0. Neste caso, para que a transformação linear seja injetora devemos verificar que esta é a única solução de Ax = 0. Na verdade, é possível verificar o seguinte.

Proposição 3.5.1. T é injetora se, e somente se, Ax = 0 possui apenas a solução trivial.2

Demonstração.[Justificativa da afirmação] Vamos provar matematicamente que, se soubermos que Ax = 0 possui apenas a solução trivial, então vale que Ax = b possui no máximo uma solução, para qualquer escolha de vetor b. Isto, por sua vez, implica que T é injetora. Caso não existam soluções ou caso exista apenas uma, nada há para provar. Suponhamos que então que existem infinitas soluções (esta seria a única outra possibilidade). Em particular, existiriam duas distintas:
x1x2 tais que Ax1 = b e também Ax2 = b. (3.47)

Por linearidade, temos então que A(x1 x2) = b b = 0. No entanto, nossa hipótese garante que somente existe a solução trivial para a equação Ax = 0, de modo que deveríamos ter x1 = x2. Em outras palavras, se Ax = 0 possuir apenas a solução trivial, então não existe mais do que uma solução para Ax = b. Portanto, T é injetora.

Notem que a afirmação acima é também equivalente a seguinte afirmação.

Proposição 3.5.2. T é injetora se, e somente se, as colunas de A são linearmente independentes.

Vamos deixar exemplos de injetividade para a subseção seguinte (ver Exemplos 3.5.1 e 3.5.2).

3.5.2 Transformações lineares sobrejetoras


A transformação linear T : n m é sobrejetora quando, para todo b n, a equação

T(x) = b (3.48)

possui alguma solução (comparar com a definição no início desta seção). Seja A a matriz de ordem m × n associada a T. Assim, para verificar que T é sobrejetora, devemos verificar que, para qualquer b m, o sistema linear

Ax = b (3.49)

possui ao menos uma solução (uma ou infinitas). Isto é equivalente a:

T é sobrejetora se, e somente se, as colunas de A geram todo o espaço m. (3.50)

Em particular, este caso somente é possível se n m (veremos mais adiante no curso – a imagem da transformação T : n m será de dimensão no máximo igual a n).

Exemplo 3.5.1. Considere a transformação linear T cuja matriz associada é

A = 5 3 1 1 0 1 1 1 0 0 0 3 . (3.51)

Como são quatro colunas de 3, vemos que as colunas são LD e, portanto, T não é injetora.

Por outro lado, a matriz já está em forma escalonada. Vamos analisar se o sistema

Ax = b 5 3 1 1 b1 0 1 1 1 b2 0 0 0 3 b3 (3.52)

possui solução para todo b 3. De fato, o sistema possui solução (já que nenhuma linha da sua forma escalonada é inconsistente). Em verdade, o sistema possui uma variável livre. Logo, T é sobrejetora.

Exemplo 3.5.2. Considere a transformação linear T cuja matriz associada é

A = 3 1 5 7 0 4 . (3.53)

Como são somente duas colunas, é fácil ver que uma não é múltipla da outra: por causa das primeiras componentes, podemos pensar que a primeira coluna é três vezes a primeira, mas verificando a segunda linha já não dá certo 3 75. Logo, as colunas são LI e a transformação T é injetora.

Por outro lado, as colunas de A geram um espaço de dimensão no máximo 2; logo, não geram 3. Portanto, T não é sobrejetora.

3.5.3 Transformações lineares invertíveis


Pelas observações das últimas subseções, só é possível da transformação linear T : n m ser invertível quando m = n, pois T deverá ser ao mesmo tempo injetora e sobrejetora. Veremos na semana seguinte um método para calcular a transformação inversa T1, que será também uma transformação linear.

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