Use o botão abaixo para reportar erros ou dar sugestões.

Cálculo de funções de várias variáveis - Um Livro Colaborativo

2.2 O espaço euclidiano tridimensional


Nossa principal preocupação neste curso é com o espaço euclidiano de três dimensões, dada sua importância para descrição do espaço na física clássica.

O leitor já tem familiaridade com o sistema de coordenadas cartesianas (xyz) para representar um ponto no espaço euclidiano tridimensional. Neste sistema, também chamado referencial cartesiano, cada ponto é representado por um conjunto de três coordenadas x, y e z. Observamos que existem duas maneiras distintas de orientar tal sistema: usando a regra da mão direita e a regra da mão esquerda, que recebem o nome de dextrogira e levogira, respectivamente. Neste texto, daremos preferência pela orientação dextrogira, que convencionaremos como padrão. Uma vez escolhido um sistema dextrogiro como base, um trio de vetores linearmente independentes u, v e w é dito dextrogiro se o determinante

det u; v; w (2.4)

é positivo. Reciprocamente, o trio u, v e w é dito levogiro se o determinando for negativo. Veja mais detalhes no exemplo (2.2.8).


PIC

Figura 2.1: À esquerda, um sistema dextrogiro (regra da mão direita). À direita, sistema levogiro (regra da mão esquerda).


Um vetor é representado neste sistema como um trio de números reais, denominados componentes do vetor v e denotados por:

v = v1,v2,v3 . (2.5)

É natural neste momento definir os vetores i, j e k como

i = 1,0,0 j = 0,1,0 k = 0,0,1 (2.6)

de forma que a expressão (2.5) pode ser escrita como

v = v1i + v2j + v3k. (2.7)

O vetor nulo é definido como vetor cujas três coordenadas são nulas:

0 = 0i + 0j + 0k = 0,0,0 . (2.8)

A soma de dois vetores é dada pela soma componente a componente, ou seja, se u = u1i + u2j + u3k e v = v1i + v2j + v3k, então

u + v = u1 + v1 i + u2 + v2 j + u3 + v3 k. (2.9)

O produto de um vetor por um escalar é definido como a multiplicação componente a componente pelo escalar, ou seja, se u = u1i + u2j + u3k, então

αu = (αu1)i + (αu2)j + (αu3)k. (2.10)

Definimos também a norma euclidiana de um vetor v como a distância da origem até o ponto que o vetor representa e a denotamos por v. Pelo Teorema de Pitágoras, da geometria euclidiana, temos:

v = v1 2 + v2 2 + v3 2. (2.11)

Exercícios resolvidos


Esta seção carece de exercícios resolvidos. Clique em e inicie a editá-la agora mesmo. Veja outras formas de participar clicando aqui.

Exercícios


E 2.2.1. Mostre que o espaço vetorial assim definido satisfaz as propriedades (2.1).

E 2.2.2. Verifique que a norma euclidiana satisfaz as seguintes propriedades:

αu = |α|u, (Homogeneidade) (2.12a) u + v u + v, (Desigualdade triangular) (2.12b) u = 0u = 0, (Separação) (2.12c)


PIC

Figura 2.2: Representação gráfica da desigualdade triangular: u + vu + v


Dica: Para mostrar a desigualdade triangular, entenda seu significado geométrico. Uma demonstração puramente algébrica pode ser feita, embora seja mais laboriosa. Veremos mais adiante que o conceito de produto escalar permite simplificar os cálculos.

A fim de simplificar a notação, a norma de um vetor v pode ser escrita simplesmente como v, ou seja v = v

Um vetor de norma 1 é chamado de vetor unitário. Todo vetor não nulo pode ser escrito na forma

v = vv̂ (2.13)

onde v é a norma de v e v̂ é um vetor unitário dado por

v̂ = v v . (2.14)

O vetor v̂ é chamado de versor de v. v̂ é um vetor unitário que tem mesmo sentido e direção de v.

A identidade (2.13) tem uma importante interpretação geométrica: todo vetor não nulo pode ser representado pelo seu módulo e por seu versor, que traz a informação de direção e sentido. Os vetores i, j e k são exemplos de versores. O vetor nulo é o único vetor ao qual não se pode associar direção e sentido únicos.

E 2.2.3. Mostre que a norma de um versor conforme definido em (2.14) é sempre unitária.

E 2.2.4. Considere os vetores dados por u = i + j, v = i + 2j e w = 1 3i + 1 2j. Represente estes vetores em um referencial euclidiano, calcule suas normas, calcule os versores associados û, v̂ e ŵ e represente-os no mesmo gráfico.

Resp: u = 2,    v = 5  e  w = 13 6 û = 2 2 i + 2 2 j,   v̂ = 5 5 i + 25 5 j,   ŵ = 213 13 i + 313 13 j

E 2.2.5. Considere o vetor u = cos 𝜃i + sen φj. Mostre que este vetor é unitário e represente-o graficamente quando φ = 0, φ = π 6 , φ = π 2 e φ = π

E 2.2.6. Considere o vetor u = sen 𝜃 cos φi + sen 𝜃 sen φj + cos 𝜃k. Verifique que este vetor é unitário e represente-o graficamente quando

  • 𝜃 = 0
  • 𝜃 = π 4 e φ = π 4
  • 𝜃 = π 2 e φ = π 4
  • 𝜃 = π

E 2.2.7. Seja u = u1i + u2j um vetor não nulo fixo no plano xy e v = v cos φi + sen φj um vetor de norma fixa no plano xy. Considere a função m(φ) = u + v e encontre o valor máximo e mínimo de m(φ). Interprete o resultado.

E 2.2.8. Conforme observado no texto, um trio de vetores u, v e w é dextrogiro se

det u; v; w = u1 v1 w1 u2 v2 w2 u3 v3 w3 > 0.

onde u = u1i + u2j + u3k, v = v1i + v2j + v3k e w = w1i + w2j + w3k. Faça o que se pede:

  • Verifique que se u, v e w forma um sistema dextrogiro então v, u e w é levogiro.
  • Verifique que se u, v e w forma um sistema dextrogiro então v, w e u e w, u e v são dextrogiros.
  • Verifique que o trio u, v e w é dextrogiro quando u = i + j, v = 2i + j e w = i + j + k.
  • Verifique que o trio u, v e w é dextrogiro quando u = i + j, v = 2i + j e w = i. Interprete graficamente.


PIC

Figura 2.3: Representação gráfica do sistema de coordenadas geográficas.


E 2.2.9. Considere um sistema de coordenadas cartesianas dextrogiro construído da seguinte forma:

  • O centro da Terra coincide com a origem do sistema.
  • O extremo norte da Terra intercepta o eixo z em valores positivos.
  • O observatório de Greenwich está sob plano xz com x > 0.

Considere a superfície terrestre com uma esfera de raio R. Denote a longitude por λ e a latitude por ϕ. Convecione como positivas a longitude leste e a latitude norte. Veja figura 2.3. Seja r = xi + yj + zk o vetor que representa um ponto sobre a superfície da Terra. Responda:

  • Qual a norma do vetor r?
  • Qual é o valor da componentes x, y e z de r em termos de λ e ϕ?
  • Seja d a distância entre dois pontos sobre a superfície terrestre. Use a lei dos cossenos1 para mostrar que distância δ sobre a superfície esférica entre esses mesmos dois pontos é dada por δ = R cos 1 1 d2 2R2

    Interprete os casos particulares d = 0 e d = 2R.

  • Considerando R = 6378Km e os seguintes valores para as coordenadas geográficas de Porto Alegre, Londres e Tóquio, construa uma tabela com os valores de λ e ϕ e as coordenadas xyz em quilômetros de cada uma dessas cidades.





    Localidade Latitude Longitude



    Porto Alegre 300158S 511348O



    Londres 513028N 0741O



    Tóquio 354122N 1394130L




    Tabela 2.1: Coordenadas geográficas de algumas cidades.

  • Contrua uma tabela com as distâncias em linha reta e sobre a superfície da Terra entre cada uma dessas cidades.
  • As seguintes coordenadas indicam locais de grande importância cultural ou turística, identifique-os:






    Localidade x y z




    1 4192,872Km 168Km 4803,175Km




    2 1175,603Km 5550,889Km 2912,813Km




    3 3996,282Km -127,418Km 4969,143Km





    Tabela 2.2: Coordenadas geográficas de três localidades incógnitas.


Resp: a) r = R b) x = R cos ϕ cos λ, y = R cos ϕ sen λ e z = R sen ϕ






Localidade ϕ λ x y z






Porto Alegre 30,0328 51,23 3457,65 4305,07 3192,16






Londres 51,5078 0,0781 3969,71 -5,41 4992,02






Tóquio 35,6894 139,6917 3950,26 3351,05 3720,87







Tabela 2.3: Coordenadas geográficas e cartesianas de algumas cidades - solução do item d.



Localidades Distância em linha reta Distância sobre a superfície esférica



Porto Alegre-Londres 9260Km 10360Km



Porto Alegre-Tóquio 12700Km 18840Km



Tóquio-Londres 8695Km 9570Km




Tabela 2.4: Distância entre as cidades - solução do item e.




Localidade λ ϕ Identificação




1 485130N 00224L




2 271027N 05842L




3 511044N 00155W





Tabela 2.5: Solução do item f

Creative Commons License Este texto é disponibilizado nos termos da licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada (CC-BY-SA 3.0). Página gerada em 19/8/2020 às 17:33:30.

Informe erros ou edite você mesmo!