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Cálculo vetorial - Um Livro Colaborativo

2.3 Triedro de Frenet-Serret


Seja a curva descrita pela função vetorial r(t). Queremos encontrar um vetor que seja tangente à curva em um dado ponto. Para tal tomamos o limite lim h0r(t + h) r(t) h

Este limite converge para r(t) e, geometricamente, para o vetor tangente à curva no ponto P relativo a r(t)1 sempre que r(t)0. O sentido do vetor r(t) é dado pela parametrização da curva, em outras palavras, o vetor r(t) aponta no sentido em que o parâmetro t cresce.


PIC

Figura 2.3: O vetor tangente r(t)


Observe que a norma do vetor tangente depende de como a curva é parametrizada e não apenas da curva em si. A fim de trabalhar com um objeto que independe da parametrização, é natural definirmos o vetor tangente unitário, denotado por T (veja figura 2.4):

T(t) = r(t) r(t) ,r(t)0. (2.7)

A condição de existência para o vetor T é a função vetorial que parametriza a curva seja diferenciável que sua derivada seja diferente de zero, ou seja, que a parametrização seja regular.

Observação 2.3.1. Quando r(t) representa a trajetória de uma partícula ao longo do tempo, a derivada r(t) é a velocidade v(t) da partícula. Neste caso, o vetor tangente unitário é o versor associado a v(t): v(t) = v(t)v̂(t) = v(t)T(t).

A norma de v(t), denotada por v(t), é chamada de velocidade escalar. O vetor T(t) indica o sentido e a direção da velocidade.

O vetor T pode ser definido de forma alternativa como segue: olhamos s como função de t na expressão (2.6) e observamos que s(t) = r(t) > 0. Assim, s(t) é uma função contínua e monótona de t. Também, usando a rega da cadeia, temos: dr dt = dr ds ds dt = dr ds r(t).

Como r(t) representa o vetor tangente, então dr ds = 1 r(t)dr dt = T

representa um vetor tangente unitário.


PIC

Figura 2.4: Triedro de Frenet-Serret


Agora, queremos definir um vetor ortogonal a T que esteja no mesmo plano formado por r(t) e r(t). Para isso, usamos o resultado do teorema 2.1.2. Observe que a função vetorial T(t) possui módulo constante e, portanto, T(t) T(t) = 0. Observe que T(t) e T(t) estão ambos no plano formado por r(t) e r(t) e são ortogonais entre si. No entanto, T(t) não é necessariamente unitário. Logo, faz sentido definir o vetor normal unitário como N = T(t) T(t).

A figura 2.4 contém a representação do triedro de Frenet-Serret em alguns pontos de uma hélice dextrogira.

Finalmente, vamos definir um vetor unitário que é simultanemente ortogonal a T e N. A forma natural de obter um vetor ortogonal a outros dois vem do produto vetorial. Assim, o vetor binormal unitário é definido como B = T ×N.

Das propriedades de produto vetorial, temos que B, além de ortogonal a T e N, é unitário e forma um sistema dextrogiro. O trio T, N e B é chamado de triedro de Frenet-Serret. A figura 2.4 apresenta a representação de alguns triedros de Frenet-Serret.

Exercícios resolvidos


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Exercícios


E 2.3.1. Represente graficamente o terno de vetores T,N e B e verifique através da regra da mão direita as seguintes identidades:

  • B = T ×N
  • T = N ×B
  • N = B ×T

Use a identidade vetorial dada por u × v ×w = v u w w u v

para obter as identidades b e c a partir de a.

E 2.3.2. Considere a trajetória dada pela equações paramétricas x = t sen (t) y = t cos(t) z = 0

Esboce gráfico dessa trajetória para 0 t 2π, indicando os pontos inicial e final. Esboce o triedro T, N e B no instante t = π2.(Obs.: Não é necessário calcular analiticamente o triedro.) Considere a identidade vetorial dr2 dt = 2r dr dt no instante t = π2, ela é compatível com seu desenho?

E 2.3.3. Um erro comum entre estudantes é substituir a definição de vetor binormal unitário B = T ×N pela expressão espúria dada por dN dt dN dt .

Calcule esta expressão para o movimento circular uniforme e verifique que ela é igual a T e, portanto, perpendicular a B.

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