Exemplo 4.8.1. Represente graficamente o campo vetorial $\overrightarrow{F}=\overrightarrow{r}$ no plano $xy$.

E 4.8.1. Mostre que $\overrightarrow{\nabla <!--FUNCTION\; APPLICATION-->}\cdot \overrightarrow{r}=3$, $\overrightarrow{\nabla <!--FUNCTION\; APPLICATION-->}\times \overrightarrow{r}=\overrightarrow{0}$ e $\overrightarrow{\nabla <!--FUNCTION\; APPLICATION-->}r=\frac{1}{r}\overrightarrow{r}=\widehat{r}$, sendo $\overrightarrow{r}\left(x,y,z\right)=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}$.

E 4.8.2. Dada a função escalar $f\left(r\right)$, onde $r=\parallel \overrightarrow{r}\parallel =\sqrt{x^2+y^2+z^2}$, use a regra da cadeia para mostrar que

$$\overrightarrow{\nabla <!--FUNCTION\; APPLICATION-->}f\left(r\right)=\frac{f^{\prime }\left(r\right)}{r}\overrightarrow{r}=f^{\prime }\left(r\right)\widehat{r}.$$

Aplique essa fórmula para mostrar que $\overrightarrow{\nabla <!--FUNCTION\; APPLICATION-->}{r}^n=n{r}^{n-2}\overrightarrow{r}.$

E 4.8.3. Use os resultados do exercício 4.8.2 para calcular $\overrightarrow{\nabla <!--FUNCTION\; APPLICATION-->}f\left(r\right)$ para

• $f\left(r\right)=r^3$.
• $f\left(r\right)=\ln <!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(r\right)$.
• $f\left(r\right)=r^2{e}^{-r}$.

E 4.8.4. Mostre que

$${\overrightarrow{\nabla <!--FUNCTION\; APPLICATION-->}}^{2}f\left(r\right)=2\frac{f^{\prime }\left(r\right)}{r}+f^{″<!--FUNCTION\; APPLICATION-->}\left(r\right),$$

onde $r=\parallel \overrightarrow{r}\parallel =\sqrt{x^2+y^2+z^2}$. Utilize este resultado para mostrar que:

• ${\overrightarrow{\nabla <!--FUNCTION\; APPLICATION-->}}^2\ln <!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(r\right)=\frac{1}{r^2}$.
• ${\overrightarrow{\nabla <!--FUNCTION\; APPLICATION-->}}^2{r}^n=n\left(n+1\right)r^{n-2}$.
• ${\overrightarrow{\nabla <!--FUNCTION\; APPLICATION-->}}^2\ln <!--FUNCTION\; APPLICATION-->\left(r^2\right)=\frac{2}{r^2}$.
• ${\overrightarrow{\nabla <!--FUNCTION\; APPLICATION-->}}^2\left(\frac{1}{r}\right)=0$.

E 4.8.5. Uma partícula de massa $m$ e velocidade $\overrightarrow{v}$ é atraída para a origem por uma força central dada por $\overrightarrow{F}\left(\overrightarrow{r}\right)=f\left(r\right)\widehat{r}$. Mostre que o momento angular $\overrightarrow{L}=\overrightarrow{r}\times m\overrightarrow{v}$ é constante, isto é, $\frac{d\overrightarrow{L}}{dt}=\overrightarrow{0}$

E 4.8.6. Mostre que um campo central $\overrightarrow{F}\left(r\right)=f\left(r\right)\widehat{r}$ é irrotacional.