Derivada direcional e gradiente

Cálculo vetorial - Um Livro Colaborativo

4.4 Derivada direcional e gradiente

Imagine um campo escalar $f (x, y, z)$ , isto é, uma função que atribui um valor numérico a cada ponto $(x, y, z)$ numa região do espaço.

A derivada direcional de $f (x, y, z)$ mede a taxa de variação de $f$ na direção especíﬁca apontada por um dado vetor $v$ a partir do ponto $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ .

Tomemos, como exemplo, a temperatura $T (x, y, z)$ como função da posição $(x, y, z)$ . A derivada direcional nesse caso será a taxa de variação da temperatura com deslocamento em dada direção e será medida em unidades de temperatura por unidade de comprimento. Observe que a taxa de variação da temperatura num dado ponto pode ser diferente na direção norte e na direação oeste.

Matematicamente, a derivada direcional $D_{\vec{v}} f (x, y, z)$ é deﬁnida da seguinte forma:

D_{\vec{v}} f (x, y, z) = \lim_{h \to 0} \frac{f (x + h v_{x}, y + h v_{y}, z + h v_{z}) - f (x, y, z)}{h}

Aqui, $\vec{v} = (v_{x}, v_{y}, v_{z})$ é um vetor unitário que deﬁne a direção em que estamos calculando a derivada direcional, e $h$ é um pequeno incremento.

A derivada direcional, assim deﬁnida, é um limite do tipo $0 ∕ 0$ e pode ser calculada usando a regra de L’Hôpital, isto é, derivando o numerador e o denominador em $h$ , na variável do limite:

\begin{array}{rcl} D_{\vec{v}} f (x, y, z) & = & \lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} f (x + h v_{x}, y + h v_{y}, z + h v_{z})}{1} \\ = & \lim_{h \to 0} [\frac{d}{d h} f (x + h v_{x}, y + h v_{y}, z + h v_{z})] \end{array}

Usando a regra da cadeia para funções de várias variáveis, temos:

\begin{array}{rcl} \frac{d}{d h} f (x + h v_{x}, y + h v_{y}, z + h v_{z}) & = & \frac{\partial}{\partial x} f (x + h v_{x}, y + h v_{y}, z + h v_{z}) v_{x} \\ + & \frac{\partial}{\partial y} f (x + h v_{x}, y + h v_{y}, z + h v_{z}) v_{y} \\ + & \frac{\partial}{\partial z} f (x + h v_{x}, y + h v_{y}, z + h v_{z}) v_{z} . \end{array}

Agora tomamos o limite $h \to 0$ :

\begin{array}{rcl} D_{\vec{v}} f (x, y, z) & : = & \lim_{h \to 0} \frac{d}{d h} f (x + h v_{x}, y + h v_{y}, z + h v_{z}) \\ = & \frac{\partial}{\partial x} f (x, y, z) v_{x} + \frac{\partial}{\partial y} f (x, y, z) v_{y} + \frac{\partial}{\partial z} f (x, y, z) v_{z} \\ = & (\frac{\partial}{\partial x} f (x, y, z) \vec{i} + \frac{\partial}{\partial y} f (x, y, z) \vec{j} + \frac{\partial}{\partial z} f (x, y, z) \vec{k}) \cdot (v_{x} \vec{i} + v_{y} \vec{j} + v_{z} \vec{k}) \\ = & \vec{\nabla} f (x, y, z) \cdot \vec{v} . \end{array}

Exercícios resolvidos

ER 4.4.1. A temperatura da um ponto $P (x, y)$ de uma placa metálica é:

T (x, y) = \frac{x y}{1 + x^{2} + y^{2}}

Encontre a taxa de variação da temperatura em $(1, 1)$ na direção do vetor $\vec{a} = 2 \vec{i} - \vec{j}$ .

Solução. Primeiro normalizamos o vetor

\vec{a}

para obter o versor com sua direção e sentido:

\begin{array}{rcl} \vec{u} & = & \frac{\vec{a}}{∥ \vec{a} ∥} = \frac{2 \vec{i} - \vec{j}}{\sqrt{2^{2} + 1^{2}}} \\ = & \frac{\sqrt{5}}{5} (2 \vec{i} - \vec{j}) . \end{array}

Agora calculamos o gradiente da função dada:

\vec{\nabla} T (x, y) = \frac{y (1 - x^{2} + y^{2}) \vec{i} + x (1 + x^{2} - y^{2}) \vec{j}}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{2}} .

Substituimos no ponto $x = y = 1$ :

\vec{\nabla} T (1, 1) = \frac{\vec{i} + \vec{j}}{9} .

A derivada direcional é dada por:

\vec{u} \cdot \vec{\nabla} T (1, 1) = \frac{\sqrt{5}}{5} (2 \vec{i} - \vec{j}) \cdot \frac{\vec{i} + \vec{j}}{9} = \frac{\sqrt{5}}{45}

$♢$

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