O Teorema de Stokes

Cálculo vetorial - Um Livro Colaborativo

6.4 O Teorema de Stokes

Teorema 6.4.1. Seja $S$ uma superfície orientável, suave por partes, limitada por uma curva $C$ , fechada, suave por partes e positivamente orientada com respeito a $S$ . Seja o campo vetorial $\vec{F}$ dado por

\vec{F} = f (x, y, z) \vec{j} + g (x, y, z) \vec{i} + h (x, y, z) \vec{k},

onde as funções $f$ , $g$ e $h$ possuem todas as derivadas parciais de primeira ordem contínuas em algum conjunto aberto contendo $S$ . Então:

\oint_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r} = \iint_{S} \vec{\nabla} \times \vec{F} \cdot \vec{n} d S .

6.4.1 Exercícios resolvidos

ER 6.4.1. Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças $\vec{F} = - \cos^{2} (x) y \vec{i} + (z^{2} + y^{2}) \vec{j}$ ao longo do retângulo cujos vértices são $(0, 0, 0)$ , $(π, 0, 0)$ , $(π, 2, 0)$ e $(0, 2, 0)$ no sentido anti-horário.

Solução.

\begin{array}{rcl} W & = & \oint_{C} \vec{F} \cdot \vec{d r} = \int_{S} (\vec{\nabla} \times \vec{F}) \cdot \vec{N} d S \\ = & \int_{0}^{π} \int_{0}^{2} (\vec{\nabla} \times \vec{F}) \cdot \vec{k} d y d x \end{array}

Agora, precisamos calcular $\vec{\nabla} \times \vec{F} \cdot \vec{k}$ :

\vec{\nabla} \times \vec{F} \cdot \vec{k} = |\begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ - \cos^{2} (x) y & z^{2} + y^{2} & 0 \end{matrix}| \cdot \vec{k} = \cos^{2} (x)

E ﬁnalmente, temos:

\begin{array}{rcl} W & = & \int_{0}^{π} \int_{0}^{2} \cos^{2} (x) d y d x \\ = & 2 \int_{0}^{π} \cos^{2} (x) d x = \int_{0}^{π} (1 + \cos (2 ϕ)) d x \\ = & π \end{array}

Onde foi usada a seguinte identidade trigonométrica:

\cos^{2} ϕ = \frac{1 + \cos (2 ϕ)}{2} .

$♢$

ER 6.4.2. Use o teorema de Stokes para calcular o trabalho realizado pelo campo de força dado por:

\vec{F} = y x^{2} \cos (z) \vec{i} - z \vec{j} + sen (x z) \vec{k}

ao deslocar uma partícula ao longo da circunferência de raio 1, centrada na origem sobre o plano $x y$ orientada no sentido horário.

Solução. Como a curva está sobre o plano

x y

, o vetor normal unitário deve ser

\vec{k}

- \vec{k}

. Pela orientação da curva e a regra da mão direita, identiﬁcamos que

\vec{n} = - \vec{k}

Agora calculamos:

W = \oint_{C} \vec{F} \cdot \vec{d r} = - \iint_{S} \vec{\nabla} \times \vec{F} \cdot \vec{k} d A

\begin{array}{rcl} \vec{k} \cdot \vec{\nabla} \times \vec{F} & = & \frac{\partial F_{2}}{\partial x} - \frac{\partial F_{1}}{\partial y} \\ = & 0 - x^{2} \cos (z) = - x^{2}, z = 0 \end{array}

Parametrizamos em coordenadas polares:

x = ρ \cos (ϕ), y = ρ sen (ϕ)

\begin{array}{rcl} W & = & - \iint_{S} \vec{\nabla} \times \vec{F} \cdot \vec{k} d A \\ = & \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} x^{2} ρ d ρ d ϕ \\ = & \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} ρ^{3} \cos^{2} ϕ d ρ d ϕ \\ = & (\int_{0}^{1} ρ^{3} d ρ) (\int_{0}^{2 π} \cos^{2} ϕ d ϕ) \\ = & \frac{π}{4} \end{array}

Onde se usou a identidade:

\begin{array}{rcl} \int_{0}^{2 π} \cos^{2} ϕ d ϕ & = & \int_{0}^{2 π} (\frac{1 + \cos (2 ϕ)}{2}) d ϕ = π \end{array}

$♢$

ER 6.4.3. Dado $\vec{F} = 4 y \vec{i} + x \vec{j} + 2 z \vec{k}$ , encontre a maneira mais simples de calcular o ﬂuxo do rotacional $\vec{\nabla} \times \vec{F}$ através do hemisfério $z = \sqrt{a^{2} - x^{2} + y^{2}}$ , $a > 0$ , orientado com componente $\vec{k}$ da normal positiva.

Solução. A ideia aqui é aplicar o teorema de Stokes duas vezes para concluir que o ﬂuxo atráves do hemisfério dado é igual ao ﬂuxo através do disco no plano

z = 0

com vetor normal unitário

\vec{η} = \vec{k}

. Assim o ﬂuxo é dado por:

Φ = \iint_{D} \vec{\nabla} \vec{F} \cdot k d S

Calculamos o integrando:

\begin{array}{rcl} \vec{k} \cdot \vec{\nabla} \vec{F} & = & \frac{\partial F_{2}}{\partial x} - \frac{\partial F_{1}}{\partial y} \\ = & 1 - 4 = - 3 \end{array}

Portando o ﬂuxo é $- 3$ multiplicado pela área do disco:

Φ = - 3 π a^{2} .

$♢$

ER 6.4.4. Use o teorema de Stokes para calcular o trabalho realizado pelo campo de forças $\vec{F} = x^{2} \vec{i} + 4 x y^{3} \vec{j} + y^{2} x \vec{k}$ ao longo da curva $C$ que limita o retângulo no plano $z = y$ de vértices $P_{0} (0, 0, 0)$ , $P_{1} (1, 0, 0)$ , $P_{2} (1, 3, 3)$ e $P_{3} (0, 3, 3)$ , no sentido $P_{0} \to P_{1} \to P_{2} \to P_{3} \to P_{0}$ .

Solução. Sabemos que o retângulo está no plano

z = y

, pelo que a função

G (x, y, z)

pode ser escolhida como:

G (x, y, z) = z - y \Rightarrow \vec{\nabla} G (x, y, z) = \vec{k} - \vec{j}

Agora calculamos o rotacional é dado por:

\vec{\nabla} \times \vec{F} = 3 x y \vec{i} - y^{2} \vec{j} + 4 y^{3} \vec{k} .

Temos, então:

\begin{array}{rcl} W & = & \iint_{S} \vec{\nabla} \times \vec{F} \cdot \vec{η} d S = \iint_{A} \vec{\nabla} \times \vec{F} \cdot \vec{\nabla} G d A \\ = & \int_{0}^{3} \int_{0}^{1} (y^{2} + 4 y^{3}) d x d y \\ = & \int_{0}^{3} (y^{2} + 4 y^{3}) d y = 9 + 81 = 90 . \end{array}

$♢$

Exercícios

E 6.4.1. Calcule a circulação do campo de velocidade $\vec{v} = 3 z \vec{i} + 4 x \vec{j} + 2 y \vec{k}$ ao longo da curva $C$ que limita o parabolóide $z = 4 - x^{2} - y^{2}$ , $z \geq 0$ . A curva $C$ está no plano $x y$ orientada no sentido anti-horário.

Resposta.

16 π

E 6.4.2. Mostre que se $\vec{F} = f (x, y) \vec{i} + g (x, y) \vec{j}$ , então

\oint_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r} = \iint_{D} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d A,

isto é, o teorema de Stokes em duas dimensões recai no teorema de Green.

E 6.4.3. Use o teorema de Stokes para mostrar que:

se $\vec{r} = x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k}$ , então $\oint_{C} \vec{r} \cdot d \vec{r} = 0$ .
$\oint_{C} \vec{\nabla} ϕ \cdot d \vec{r} = 0$ .

E 6.4.4. Considere a linha poligonal fechada $C$ no plano $x y$ formada pelos pontos $P_{0} (1, 0, 1)$ , $P_{1} (3, 0, 1)$ e $P_{2} (2, 1, 1)$ , no sentido $P_{0} \to P_{1} \to P_{2} \to P_{0}$ , e o campo $\vec{F} = - (z^{3} + 1) y \vec{i} + (z^{2} + 1) x \vec{j} + x y e^{z} \vec{k}$ . Use o teorema de Stokes para calcular a integral de linha $\oint_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}$ .

Resposta.4

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