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Cálculo Numérico - Versão Python

8.2 Diferença finita para derivada segunda


Para aproximar a derivada segunda, considere as expansões em série de Taylor

f(x0 + h) = f(x0) + hf(x 0) + h2 2 f(x0) + h3 6 f(x0) + O(h4) (8.44)
f(x0 - h) = f(x0) - hf(x 0) + h2 2 f(x0) - h3 6 f(x0) + O(h4). (8.45)

Somando as duas expressões, temos:

f(x0 + h) + f(x0 - h) = 2f(x0) + h2f(x 0) + O(h4) (8.46)

ou seja, uma aproximação de segunda ordem para a derivada segunda em x0 é

f(x0) = f(x0 + h) - 2f(x0) + f(x0 - h) h2 + O(h2) := D 0,h2f(x 0) + O(h2), (8.47)

onde

D0,h2f(x 0) = f(x0 + h) - 2f(x0) + f(x0 - h) h2 . (8.48)

Exemplo 8.2.1. Calcule a derivada segunda numérica de f(x) = e-x2 em x = 1,5 para h = 0,1, h = 0,01 e h = 0,001.

Solução. A tabela mostra os resultados:





h h = 0,1 h = 0,01 h = 0,001




D0,h2f(1,5) 0,7364712 0,7377814 0,7377944




Observe que f(x) = (4x2 - 2)e-x2 e f(1,5) = 0,7377946.

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E 8.2.1. Use a expansão da função f(x) em torno de x = 0 em polinômios de Taylor para encontrar os coeficientes a1, a2 e a3 tais que

  • f(0) = a1f(0) + a2f(h) + a3f(2h) + O(h)
  • f(0) = a1f(0) + a2f(-h) + a3f(-2h) + O(h)

Resposta.
  • f(0) = f(0)-2f(h)+f(2h) h2 + O(h)
  • f(0) = f(0)-2f(-h)+f(-2h) h2 + O(h)

Creative Commons License Este texto é disponibilizado nos termos da licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada (CC-BY-SA 3.0). Página gerada em 15/5/2019 às 15:24:50.

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