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Cálculo Numérico - Versão Python

6.4 Aproximação de funções reais por polinômios interpoladores


Teorema 6.4.1. Dados n + 1 pontos distintos, x0,x1,,xn, dentro de um intervalo [a,b] e uma função f com n + 1 derivadas contínuas nesse intervalo (f Cn+1[a,b]), então para cada x em [a,b], existe um número ξ(x) em (a,b) tal que

f(x) = P(x) + f(n+1)(ξ(x)) (n + 1)! (x - x0)(x - x1)(x - xn), (6.37)

onde P(x) é o polinômio interpolador. Em especial, pode-se dizer que

|f(x) - P(x)| M (n + 1)! (x - x0)(x - x1)(x - xn) , (6.38)

onde

M = max x[a,b]|f(n+1)(ξ(x))| (6.39)

Exemplo 6.4.1. Considere a função f(x) = cos(x) e o polinômio P(x) de grau 2 tal que P(0) = cos(0) = 1, P(1 2) = cos(1 2) e P(1) = cos(1). Use a fórmula de Lagrange para encontrar P(x). Encontre o erro máximo que se assume ao aproximar o valor de cos(x) pelo de P(x) no intervalo [0,1]. Trace os gráficos de f(x) e P(x) no intervalo [0,1] no mesmo plano cartesiano e, depois, trace o gráfico da diferença cos(x) - P(x). Encontre o erro efetivo máximo | cos(x) - P(x)|.

Solução. Usando polinômios de Lagrange, obtemos P(x) = 1(x - 1 2)(x - 1) (0 - 1 2)(0 - 1) + cos 1 2 (x - 0)(x - 1) (1 2 - 0)(1 2 - 1) + cos(1)(x - 0)(x - 1 2) (1 - 0)(1 - 1 2) (6.40) 1 - 0,0299720583066x - 0,4297256358252x2 (6.41)


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Para estimar o erro máximo, precisamos estimar a derivada terceira de f(x):

|f(x)| = | sen (x)| sen (1) < 0,85 (6.42)

e, assim,

max x[0,1] x x - 1 2 (x - 1) . (6.43)

O polinômio de grau três Q(x) = x x - 1 2 (x - 1) tem um mínimo (negativo) em x1 = 3+3 6 e um máximo (positivo) em x2 = 3-3 6 . Logo:

max x[0,1] x x - 1 2 (x - 1) max{|Q(x1)|,|Q(x2)|} 0,0481125. (6.44)

Portanto:

|f(x) - P(x)| < 0,85 3! 0,0481125 0,0068159 < 7 10-3 (6.45)

Para estimar o erro efetivo máximo, basta encontrar o máximo de |P(x) - cos(x)|. O mínimo (negativo) de P(x) - cos(x) acontece em x1 = 4,29 10-3 e o máximo (positivo) acontece em x2 = 3,29 10-3. Portanto, o erro máximo efetivo é 4,29 10-3.

Exemplo 6.4.2. Considere o problema de aproximar o valor da integral 01f(x)dx pelo valor da integral do polinômio P(x) que coincide com f(x) nos pontos x0 = 0, x1 = 1 2 e x2 = 1. Use a fórmula de Lagrange para encontrar P(x). Obtenha o valor de 01P(x)dx e encontre uma expressão para o erro de truncamento.

O polinômio interpolador de f(x) é P(x) = f(0)(x - 1 2)(x - 1) (0 - 1 2)(0 - 1) + f 1 2 (x - 0)(x - 1) (1 2 - 0)(1 2 - 1) + f(1)(x - 0)(x - 1 2) (1 - 0)(1 - 1 2) (6.46) = f(0)(2x2 - 3x + 1) + f 1 2 (-4x2 + 4x) + f(1)(2x2 - x) (6.47)

e a integral de P(x) é: 01P(x)dx = f(0) 2 3x3 - 3 2x2 + x 01 + f 1 2 -4 3x3 + 2x2 01 (6.48) + f(1) 2 3x3 - 1 2x2 01 (6.49) = f(0) 2 3 - 3 2 + 1 + f 1 2 -4 3 + 2 + f(1) 2 3 - 1 2 (6.50) = 1 6f(0) + 2 3f 1 2 + 1 6f(1) (6.51)

Para fazer a estimativa de erro usando o Teorema 6.4.1 e temos 01f(x)dx -01P(x)dx = 01f(x) - P(x)dx (6.52) 01|f(x) - P(x)|dx (6.53) M 6 01 x x - 1 2 (x - 1) dx (6.54) = M 6 012x x - 1 2 (x - 1)dx (6.55) - 121x x - 1 2 (x - 1)dx (6.56) = M 6 1 64 - - 1 64 = M 192. (6.57)

Lembramos que M = max x[0,1]|f(x)|.

Observação 6.4.1. Existem estimativas melhores para o erro de truncamento para este esquema de integração numérica. Veremos com mais detalhes tais esquemas na teoria de integração numérica.

Exemplo 6.4.3. Use o resultado do exemplo anterior para aproximar o valor das seguintes integrais:

a) 01 ln(x + 1)dx

b) 01e-x2 dx

Solução. Usando a fórmula obtida, temos que

01 ln(x + 1)dx 0,39 ± 1 96 (6.58)
01e-x2 dx 0,75 ± 3,87 192 (6.59)

Exercícios


E 6.4.1. Use as mesmas técnicas usadas o resultado do Exemplo 6.4.2 para obter uma aproximação do valor de:

01f(x)dx (6.60)

através do polinômio interpolador que coincide com f(x) nos pontos x = 0 e x = 1.

Resposta.

01P(x)dx = f(0)+f(1) 2 , 1 12 max x[0,1]|f(x)|

Creative Commons License Este texto é disponibilizado nos termos da licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada (CC-BY-SA 3.0). Página gerada em 15/5/2019 às 15:24:50.

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