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Cálculo Numérico - Versão Python

9.2 Regras de Newton-Cotes


O método básico para encontrar as regras de integração consiste em aproximar a integral de f por uma combinação linear de n valores de yi := f(xi), ou seja,

I =abf(x)dx i=1nA iyi. (9.21)

Podemos obter os coeficientes Ai aproximando a função f pelo polinômio de Lagrange pn-1 que interpola {(xi,yi)}i=1n, tal que, f(x) = pn(x) + ELAGn(x) (9.22) = i=1ny iLi(x) + ELAGn(x) (9.23)

onde o erro na interpolação de Lagrange é

ELAGn(x) = f(n)(ξ(x)) n! i=1n(x - x i). (9.24)

Substituindo na integral, obtemos:

abf(x)dx = i=1n y iabL i(x)dx +abE LAGn(x)dx. (9.25)

A fórmula de quadratura é então

abf(x)dx i=1nA iyi, (9.26)

onde

Ai =abL i(x)dx. (9.27)

9.2.1 Regra do ponto médio


A regra do ponto médio (9.16) é uma quadratura de Newton-Cotes de um ponto. Neste caso, temos x1 = (a + b)2 e o polinômio interpolador é o polinômio de grau zero

p(x) = f(x1)L1(x) = f(x1), (9.28)

uma vez que L1(x) 1. Então, temos

abf(x)dx abp(x)dx =abf(x 1)dx = f(x1)abdx = hf(a + b 2 ), (9.29)

onde h = b - a.

Exemplo 9.2.1. Usando a regra do ponto médio, temos

0,10,3e-x sen (x)dx f(a + b 2 ) = 0,2e-0,2 sen (0,2) = 3,25313 × 10-2. (9.30)

No Python, computamos:

f = lambda x: np.exp(-x)*np.sin(x)  
 
a=0.1  
b=0.3  
h=b-a  
 
I = h*f((a+b)/2)

9.2.2 Regra do trapézio


A regra do trapézio consiste em aproximar a função f(x) por um polinômio de grau 1. O nome do método vem do fato que a região entre o eixo x e a reta que liga o pontos sobre o gráfico da função nos extremos do intervalo forma um trapézio.

Aqui, utilizamos x1 := a, x2 := b, h = x2 - x1 e a notação yi = f(xi), obtemos através da interpolação de Lagrange o polinômio p1(x) = y1L1(x) + y2L2(x) (9.31)

Aproximando f(x) por p1(x) e integrando, obtemos: abf(x)dx abp 1(x)dx (9.32) = aby 1L1(x) + y2L2(x)dx (9.33) = y1abL 1(x)dx + y2abL 2(x)dx (9.34) = A1y1 + A2y2, (9.35)

onde A1 = ab x - x1 x2 - x1dx = (x - x1)2 2h x1x2 (9.36) = (x2 - x1)2 2h = h2 2h = 1 2h. (9.37)

Da mesma forma, A2 = ab (x - x2) (x1 - x2)dx = 1 2h, (9.38)

de onde obtemos a regra do trapézio dada por:

abf(x)dx 1 2f(a) + 1 2f(b) h. (9.39)

Erro na regra do trapézio

O erro na regra do trapézio pode ser obtido integrando o erro da interpolação de Lagrange, ETRAP =abE LAG2(x)dx =abf(ξ(x)) 2! (x - x1)(x - x2)dx. (9.40)

Pelo teorema do valor médio, existe a η b tal que ETRAP = f(η) 2! ab(x - x 1)(x - x2)dx, (9.41)

portanto ETRAP = f(η) 2 x3 3 - x2 2 (x2 + x1) + x1x2xx1x2 (9.42) = f(η) 2 x23 3 - x22 2 (x2 + x1) + x1x2x2 - x13 3 + x12 2 (x2 + x1) - x1x2x1 (9.43) = f(η) 2 2x23 - 3x 22(x 2 + x1) + 6x22x 1 - 2x13 + 3x 12(x 2 + x1) - 6x2x12 6 (9.44) = f(η) 12 x13 - 3x 12x 2 + 3x22x 1 - x23 = f(η) 12 (x1 - x2)3 (9.45) = -f(η) 12 h3. (9.46)

Assim, o erro na regra do trapézio é

ETRAP = -f(η) 12 h3 = O(h3). (9.47)

Exemplo 9.2.2. Use a regra do trapézio para aproximar a integral

01e-x2 dx. (9.48)

Depois divida a integral em duas

012e-x2 dx +121e-x2 dx. (9.49)

e aplique a regra do trapézio em cada uma delas. Finalmente, repita o processo dividindo em quatro integrais.

Usando o intervalo [0,1], temos h = 1, x0 = 0 e x1 = 1. A regra do trapézio resulta em

01e-x2 dx 1 2(e0 + e-1) = 0,6839397. (9.50)

Usando dois intervalos, [0,12] e [12,1] e usando a regra de Simpson em cada um dos intervalos, temos: 01e-x2 dx 0,5 2 e0 + e-14 + 0,5 2 e-14 + e-1 (9.51) = 0,4447002 + 0,2866701 = 0,7313703. (9.52)

Agora, usando quatro intervalos, temos 01e-x2 dx 0,25 2 e0 + e-116 + 0,25 2 e-116 + e-14 (9.53) + 0,25 2 e-14 + e-916 + 0,25 2 e-916 + e-1 (9.54) = 0,7429841. (9.55)

9.2.3 Regra de Simpson


Na regra de Simpson aproximamos f por um polinômio de grau 2, portanto precisamos de três pontos do intervalo [a,b]. Utilizando, por definição,

x1 := a,x2 := a + b 2 ex3 := b (9.56)

com h = x3-x1 2 , isto é, a distância entre dois pontos consecutivos, podemos obter o polinômio de Lagrange

p2(x) = y1L1(x) + y2L2(x) + y3L3(x), (9.57)

onde yi = f(xi), i = 1,2,3.

Aproximando f(x) por p2(x) e integrando temos abf(x)dx abp 2(x)dx (9.58) = aby 1L1(x) + y2L2(x) + y3L3(x)dx (9.59) = y1A1 + y2A2 + y3A3 (9.60)

onde Ai =abL i(x)dx (9.61)

Calculando essas integrais obtemos a regra de Simpson:

abf(x)dx = 1 3f(a) + 4 3f a + b 2 + 1 3f(b) h. (9.62)

Exemplo 9.2.3. Obtenha os coeficientes Ai do método de Simpson integrando os polinômios de Lagrange Li(x).

Fazendo uma translação para a origem (subtraindo x1 de x2 e x3) A1 = x1x3 (x - x2)(x - x3) (x1 - x2)(x1 - x3)dx (9.63) = 02h(x - h)(x - 2h) (0 - h)(0 - 2h) dx = 1 2h202h(x - h)(x - 2h)dx (9.64) = 1 2h202h x2 - 3hx + 2h2 dx = 1 2h2 1 3x3 - 3 2hx2 + 2h2x 0h (9.65) = 1 2h2 1 3h3 - 3 2h3 + 2h3 = h 3. (9.66)

Apesar de longa, é apenas a integral de um polinômio de grau 2. De forma semelhante podemos obter

A2 = 4 3h,A3 = 1 3h (9.67)

Assim, lembrando que h = b-a 2 , temos:

abf(x)dx b - a 6 f(a) + 4f a + b 2 + f(b) . (9.68)

Erro na regra de Simpson

Se usarmos a mesma metodologia da regra dos trapézios, teremos

abf(x)dx =abp 2(x)dx +ab(x - x1)(x - x2)(x - x3) 6 f(ξ(x))dx (9.69)

e obteremos o fórmula de Simpson com um erro de quarta ordem. O fato é que a regra de Simpson tem ordem cinco e, para isso, usaremos uma abordagem alternativa.

Considere o polinômio de Taylor em x2,

f(x) = f(x2)+f(x 2)(x-x2)+f(x2) 2 (x-x2)2+f(x 2) 6 (x-x2)3+f(4)(ξ(x)) 24 (x-x2)4, (9.70)

onde x1 ξ(x) x3 e integre no intervalo [a,b] = [x1,x3]:

abf(x)dx = f(x 2)(x - x2) + f(x 2)(x - x2)2 2 + f(x2) 6 (x - x2)3 +f(x2) 24 (x - x2)4 x1x3 + 1 24x1x3 f(4)(ξ(x))(x - x 2)4dx, (9.71)

Pelo teorema do valor médio, existe x1 η x3 tal que

abf(x)dx = f(x 2)(x - x2) + f(x 2)(x - x2)2 2 + f(x2) 6 (x - x2)3 + f(x2) 24 (x - x2)4 x1x3 + f(4)(η) 24 x1x3 (x - x2)4dx = f(x2)(x - x2) + f(x 2)(x - x2)2 2 + f(x2) 6 (x - x2)3 + f(x2) 24 (x - x2)4 x1x3 + f(4)(η) 120 (x - x2)5 x1x3 . (9.72)

Usando o fato que

(x3 - x2)3 - (x 1 - x2)3 = 2h3, (9.73)
(x3 - x2)4 - (x 1 - x2)4 = 0 (9.74)

e

(x3 - x2)5 - (x 1 - x2)5 = 2h5, (9.75)

temos

abf(x)dx = hf(x 2) + h3 3 f(x2) + h5f(4)(η) 60 . (9.76)

Usando a fórmula de diferenças finitas centrais para a derivada segunda:

f(x2) = f(x1) - 2f(x2) + f(x3) h2 + h2 12f(4)(η 2), (9.77)

x1 η2 x3, temos abf(x)dx = 2hf(x 2) + h3 3 f(x1) - 2f(x2) + f(x3) h2 + h2 12f(4)(η 2) (9.78) + h5f(4)(η) 60 (9.79) = h 3 f(x1) + 4f(x2) + f(x3) - h5 12 1 3f(4)(η 2) - 1 5f(4)(η) . (9.80)

Pode-se mostrar que é possível escolher η3 que substitua η e η2 com a seguinte estimativa

abf(x)dx = h 3 f(x1) + 4f(x2) + f(x3) - h5 90f(4)(η 3). (9.81)

Exemplo 9.2.4. Use a regra de Simpson para aproximar a integral

01e-x2 dx. (9.82)

Depois divida a integral em duas

012e-x2 dx +121e-x2 dx. (9.83)

e aplica a regra de Simpson em cada uma delas.

Usando o intervalo [0,1], temos h = 12, x0 = 0, x1 = 12 e x2 = 1. A regra de Simpson resulta em

01e-x2 dx 0,5 3 (e0 + 4e-14 + e-1) = 0,7471804. (9.84)

Usando dois intervalos, [0,12] e [12,1] e usando a regra do trapézio em cada um dos intervalos, temos:

01e-x2 dx 0,25 3 (e0+4e-116+e-14)+0,25 3 (e-14+4e-916+e-1) = 0,7468554. (9.85)

Exercícios resolvidos


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Exercícios


E 9.2.1. Calcule numericamente as seguintes integrais: a)01e-xdx b) 01x2dx (9.86) c)01x3dx d) 01xe-x2dx (9.87) e)01 1 x2 + 1dx e)01 x x2+1dx (9.88)

usando os métodos simples do ponto médio, Trapézio e Simpson. Calcule, também, o valor analítico destas integrais e o erro nas aproximações dadas pelas quadraturas numéricas.

E 9.2.2. Dê a interpretação geométrica dos métodos do ponto médio, trapézio e Simpson. A partir desta construção geométrica, deduza as fórmulas para aproximar

abf(x)dx. (9.89)

Verifique o método de Simpson pode ser entendido como uma média aritmética ponderada entre os métodos de trapézio e ponto médio. Encontre os pesos envolvidos. Explique o que são os métodos compostos.

Resposta.
ISimpson = 1 3ITrap + 2 3IPM (9.90)

E 9.2.3. Calcule numericamente o valor de 25e4-x2dx usando os métodos compostos do ponto médio, trapézio e Simpson. Obtenha os resultados utilizando, em cada quadratura, o número de pontos indicado.






n Ponto médio Trapézios Simpson





3                   





5





7





9





Resposta. 3 0.1056606 0.7503919 0.5005225 5 0.1726140 0.3964724 0.2784992 7 0.1973663 0.3062023 0.2393551 9 0.2084204 0.2721145 0.2306618
n Ponto médio Trapézios Simpson

























(9.91)

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