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Cálculo Numérico - Versão Python

10.1 Rudimentos da teoria de problemas de valor inicial


Uma questão fundamental no estudo dos problemas de valor iniciais consiste em analisar se um dado problema é um problema bem posto. Ou seja,

  • Existe uma solução para o problema de valor inicial?
  • A solução é única?
  • A solução do problema de valor inicial é pouco sensível a pequenas perturbações nas condições iniciais?

A fim de responder tais questões, precisamos definir o conceito de função Lipschitz contínua, ou simplesmente, função Lipschitz

Definição 10.1.1. Uma função f(t,u) é Lipschitz contínua em um intervalo I em u se existe uma constante L, tal que t [a,b] e u,v ,

|f(t,u) - f(t,v)| L|u - v|,t I. (10.7)

O seguinte resultado estabelece a existência e unicidade de solução para determinada classe de problemas de valor inicial:

Teorema 10.1.1 (Teorema de Picard-Lindelöf). Seja f(t,u) contínua em t e Lipschitz em u. Então o seguinte problema de valor inicial

u(t) = f(t,u(t)), u(t(1)) = a, (10.8)

Admite uma única solução em um intervalo [t(1),t(f)) com t(f) > t(1).

Teorema 10.1.2 (Dependência contínua na condição inicial). Se u(t) e v(t) são soluções do problema de valor inicial (10.8), isto é, com f(t,u) contínua em t e Lipschitz em u Lipschitz com u(a) = u(1), v(a) = v(1), então

|u(t) - v(t)| eL(t-t(1))|u(1) - v 1|. (10.9)

Exercícios resolvidos


ER 10.1.1. A função f(t,u) = u,u 0 não é uma função Lipschitz em u, pois

lim u0+|f(t,u) - f(t,0)| |u - 0| = lim u0+u u = lim u0+ 1 u = (10.10)

Mostre que o seguinte problema de valor inicial não admite solução única: du dt = u,u > 0, (10.11) u(0) = 0. (10.12)

Solução. A função identicamente nula, u(t) = 0, satisfaz a equação diferencial e a condição de contorno, logo é uma solução do problema de valor inicial. No entanto, a função1 u(t) = t2 4 satisfaz a condição inicial, pois u(0) = 0 e a equação diferencial pois du dt = t 2 = t2 4 .

De fato, qualquer função do tipo

u(t) = 0, 0 t t0 (t-t0)2 4 , t > t0 (10.13)

é solução do problema de valor inicial dado.

Exercícios


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Creative Commons License Este texto é disponibilizado nos termos da licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada (CC-BY-SA 3.0). Página gerada em 15/5/2019 às 15:24:50.

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