Use o botão abaixo para reportar erros ou dar sugestões.

Cálculo Numérico - Versão Python

10.5 Solução de equações e sistemas de ordem superior


Na Seção 10.4, estendemos os métodos de Euler e Euler melhorado visto nas seções 10.2 e 10.3 para resolver numericamente problemas de valor inicial envolvendo sistemas de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Nesta seção, estenderemos estas técnicas para resolver alguns tipos de problemas de ordem superior. Para tal, converteremos a equação diferencial em um sistema, incluindo as derivadas da incógnita como novas incógnitas. Vejamos um exemplo:

Exemplo 10.5.1. Resolva o problema de valor inicial de segunda ordem dado por y + y + y = cos(t), (10.94) y(0) = 1, (10.95) y(0) = 0, (10.96)

A fim de transformar a equação diferencial dada em um sistema de equações de primeira ordem, introduzimos a substituição w = y, de forma que obteremos o sistema: y = w (10.97) w = -w - y + cos(t) (10.98) y(0) = 1 (10.99) w(0) = 0 (10.100)

Este sistema pode ser resolvido usando as técnicas da Seção 10.4.

Exercícios resolvidos


ER 10.5.1. Considere o seguinte sistema envolvendo uma equação de segunda ordem e uma de primeira ordem: x(t) - (1 - 0,1z(t))x(t) + x(t) = 0 (10.101) 10z(t) + z(t) = x(t)2 (10.102)

sujeito a condições iniciais dadas por: x(0) = 3 (10.103) x(0) = 0 (10.104) z(0) = 10 (10.105) (10.106)

Rescreva este sistema como um sistema de três equações de primeira ordem.

Solução. Definimos y(t) = x(t), pelo que o sistema se torna: x(t) = y(t) (10.107) y(t) - (1 - 0,1z(t))y(t) + x(t) = 0 (10.108) 10z(t) + z(t) = x(t)2 (10.109)

defina o vetor u(t) como:

u(t) = x(t) y(t) z(t) (10.110)

De forma que: u(t) = x(t) y(t) z(t) = y(t) 1 - 0,1z(t) y(t) - x(t) x(t)2 - z(t) 10 (10.111) ou (10.112) u(t) = u1(t) u2(t) u3(t) = u2(t) 1 - 0,1u3(t) u2(t) - u1(t) u1(t)2 - u 3(t) 10 (10.113)

sujeito às condições iniciais dadas por: u(0) = x(0) y(0) z(0) = 3 0 10 (10.114)

Exercícios


E 10.5.1. Resolva o problema de valor inicial dado por x = -2x + y (10.115) y = x - y (10.116) x(0) = 0 (10.117) y(0) = 2 (10.118) (10.119)

com passo h = 2 10-1 h = 2 10-2, h = 2 10-3 e h = 2 10-4 para obter aproximações para x(2) e y(2).

Resposta.







h 2 10-2 2 10-2 2 10-3 2 10-4






Euler
x 0,4302019 0,4355057 0,4358046 0,4358324
y 0,6172935 0,6457760 0,6486383 0,6489245






Euler mod,
x 0,4343130 0,4358269 0,4358354 0,4358355
y 0,6515479 0,6489764 0,6489566 0,6489564






E 10.5.2. Considere o problema de segunda order dado por: x(t) + x(t) + sen (x(t)) = 1, (10.120)

sujeito às condições iniciais dadas por: x(0) = 2, (10.121) x(0) = 0. (10.122)

Resolva numericamente para obter o valor de x(0,5), x(1), x(1,5) e x(2) com passo h = 10-2 e h = 10-3 via método de Euler modificado.

Resposta.







h t = 0,5 t = 1,0 t = 1,5 t = 2,0






10-3
x 1,9023516 1,6564208 1,3124281 0,9168299
y’ -0,3635613 -0,6044859 -0,7564252 -0,8072298






10-4
x 1,9023552 1,6564243 1,3124309 0,9168319
y’ -0,3635670 -0,6044930 -0,7564334 -0,8072397






Creative Commons License Este texto é disponibilizado nos termos da licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada (CC-BY-SA 3.0). Página gerada em 15/5/2019 às 15:24:50.

Informe erros ou edite você mesmo!