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Cálculo Numérico - Versão Python

5.2 Linearização de uma função de várias variáveis


Nesta seção, discutimos de forma distinta e mais rigorosa os conceitos de matriz jacobiana e linearização de uma função de várias variáveis.

5.2.1 Gradiente


Considere primeiramente uma função f : n , ou seja, uma função que mapeia n variáveis reais em um único real, por exemplo:

f(x) = x12 + x 224 (5.78)

Para construirmos a linearização, fixemos uma direção no espaço n, ou seja, um vetor v:

v = [v1,v2,,vn]T (5.79)

Queremos estudar como a função f(x) varia quando “andamos” na direção v a partir do ponto x(0). Para tal, inserimos um parâmetro real pequeno h, dizemos que

x = x(0) + hv (5.80)

e definimos a função auxiliar

g(h) = f(x0 + hv). (5.81)

Observamos que a função g(h) é uma função de em .

A linearização de g(h) em torno de h = 0 é dada por

g(h) = g(0) + hg(0) + O(h2) (5.82)

Observamos que g(h) = f(x(0) + hv) e g(0) = f(x(0)). Precisamos calcular g(0): g(h) = d dhg(h) = d dhf(x(0) + hv). (5.83)

Pela regra da cadeia temos: d dhf(x(0) + hv) = j=1n f xj dxj dh . (5.84)

Observamos que xj = xj(0) + hv j, portanto

dxj dh = vj (5.85)

Assim: d dhf(x(0) + hv) = j=1n f xjvj. (5.86)

Observamos que esta expressão pode ser vista como o produto interno entre o gradiente de f e o vetor v: f = f x1 f x2 f xn v = v1 v2 v n (5.87)

Na notação cálculo vetorial escrevemos este produto interno como f v = v f na notação de produto matricial, escrevemos fT v = vT f. Esta quantidade é conhecida como derivada direcional de f no ponto x(0) na direção v, sobretudo quando v = 1.

Podemos escrever a linearização g(h) = g(0) + hg(0) + O(h2) como

f(x(0) + hv) = f(x(0)) + hT f(x(0))v + O(h2) (5.88)

Finalmente, escrevemos x = x(0) + hv, ou seja, hv = x - x(0)

f(x) = f(x(0)) + T f(x(0))(x - x(0)) + O(x - x(0)2) (5.89)

Observação 5.2.1. Observe a semelhança com a linearização no caso em uma dimensão. A notação T f(x(0)) é o transposto do vetor gradiente associado à função f(x) no ponto x(0):

T f(x(0)) = f x(0) x1 ,f x(0) x2 ,,f x(0) xn (5.90)

5.2.2 Matriz jacobiana


Interessamo-nos, agora, pela linearização da função F : n n. Lembramos que F(x) pode ser escrita como um vetor de funções fj : :

F(x) = f1(x) f2(x) fn(x) (5.91)

Linearizando cada uma das funções fj, temos: F(x) = f1 x(0) + T f 1(x(0)) x - x(0) + O(x - x(0)2) f2 x(0) + T f 2(x(0)) x - x(0) + O(x - x(0)2) fn x(0) + T f n(x(0)) x - x(0) + O(x - x(0)2) Vetor coluna (5.92)

ou, equivalentemente: F(x) = f1 x(0) f2 x(0) fn x(0) Vetor coluna + T f 1(x(0)) T f 2(x(0)) T f n(x(0)) Matriz jacobiana x - x(0) Vetor coluna + O(x - x(0)2) (5.93)

Podemos escrever a linearização de F(x) na seguinte forma mais enxuta:

F(x) = F x(0) + J F (x(0)) x - x(0) + O x - x(0) 2 (5.94)

A matriz jacobiana JF é matriz cujas linhas são os gradientes transpostos de fj, ou seja:

JF = (f1,f2,,fn) (x1,x2,,xn) = f1 x1 f1 x2 f1 xn f2 x1 f2 x2 f2 xn fn x1 fn x2 fn xn (5.95)

A matriz jacobiana de uma função ou simplesmente, o jacobiano de uma função F(x) é a matriz formada pelas suas derivadas parciais:

JF ij = fi xj (5.96)

Exemplo 5.2.1. Calcule a matriz jacobiana da função

F(x) = x12 3 + x22 - 1 x12 + x22 4 - 1 (5.97)
JF = f1 x1 f1 x2 f2 x1 f2 x2 = 2x1 3 2x2 2x1 x2 2 (5.98)

Creative Commons License Este texto é disponibilizado nos termos da licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada (CC-BY-SA 3.0). Página gerada em 15/5/2019 às 15:24:50.

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