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Cálculo Numérico - Versão Scilab

6.2 Diferenças divididas de Newton


Dado um conjunto com n pontos {(xi,yi)}i=1n, o método das diferenças divididas de Newton consiste em construir o polinômio interpolador da forma

p(x) = a1 + a2(x - x1) + a3(x - x1)(x - x2) + + an(x - x1)(x - x2)(x - xn-1). (6.17)

Como p(xi) = yi, i = 1, 2,,n, os coeficientes ai satisfazem o seguinte sistema triangular inferior:

a1 = y1 a1 + a2(x2 -x1) = y2 a1 + a2(x3 -x1) + a3(x3 -x1)(x3 -x2) = y3 a1 + a2(xn -x1) + + an(xn -x1)(xn -xn-1) = yn (6.18)

Resolvendo de cima para baixo, obtemos

a1 = y1 a2 = y2 - a1 x2 - x1 = y2 - y1 x2 - x1 a3 = y3 - a2(x3 - x1) - a1 (x3 - x1)(x3 - x2) = y3-y2 (x3-x2) - y2-y1 (x2-x1) (x3 - x1) (6.19)

Note que os coeficientes são obtidos por diferenças das ordenadas divididas por diferenças das abscissas dos pontos dados. Para vermos isso mais claramente, introduzimos a seguinte notação: f[xj] := yj (6.20) f[xj,xj+1] := f[xj+1] - f[xj] xj+1 - xj (6.21) f[xj,xj+1,xj+2] := f[xj+1,xj+2] - f[xj,xj+1] xj+2 - xj (6.22) (6.23) f[xj,xj+1,,xj+k] := f[xj+1,xj+2,,xj+k] - f[xj,xj+1,,xj+k-1] xj+k - xj (6.24)

Chamamos f[xj] de diferença dividida de ordem zero (ou primeira diferença dividida), f[xi,xj + 1] de diferença dividida de ordem 1 (ou segunda diferença dividida) e assim por diante.

Uma inspeção cuidadosa dos coeficientes obtidos em (6.19) nos mostra que

ak = f[x1,x2,,xk] (6.25)

Isto nos permite esquematizar o método conforme apresentado na Tabela 6.1.


Tabela 6.1: Esquema de diferenças divididas para um conjunto com três pontos {(xi,yi)}i=13.





j xj f[xj] f[xj-1,xj] f[xj-2,xj-1,xj]





1 x1 f[x1] = y1
f[x1,x2] = f[x2] - f[x1] x2 - x1
2 x2 f[x2] = y2 f[x1,x2,x3] = f[x2,x3] - f[x1,x2] x3 - x1
f[x2,x3] = f[x3] - f[x2] x3 - x2
3 x3 f[x3] = y3






Exemplo 6.2.1. Use o método de diferenças divididas para encontrar o polinômio que passe pelos pontos (-1,3),(0,1),(1,3),(3,43).

Solução. Usando o esquema apresentado na Tabela 6.1, obtemos







j xj f[xj] f[xj-1,xj] f[xj-2,xj-1,xj] f[xj-3,xj-2,xj-1,xj]






1 - 1 3
1 - 3 0 - (-1) = -2
2 0 1 2 - (-2) 1 - (-1) = 2
3 - 1 1 - 0 = 2 6 - 2 3 - (-1) = 1
3 1 3 20 - 2 3 - 0 = 6
43 - 3 3 - 1 = 20
4 3 43






Portanto, o polinômio interpolador do conjunto de pontos dados é

p(x) = 3 - 2(x + 1) + 2(x + 1)x + (x + 1)x(x - 1) (6.26)

ou, equivalentemente, p(x) = x3 + 2x2 - x + 1.

Creative Commons License Este texto é disponibilizado nos termos da licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada (CC-BY-SA 3.0). Página gerada em 15/5/2019 às 15:24:48.

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