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Análise de Fourier - Um Livro Colaborativo

8.4 Aplicação: Sinais Discretos


Nessa seção vamos discutir sobre discretização de sinais, em especial, pretendemos responder com que frequência precisamos amostrar um sinal real para podermos reconstruí-lo. Vamos considerar que o espectro da função f(t) é composto apenas por frequências inferiores a wc, onde wc é chamado de frequência de corte. Mostraremos que se conhecermos apenas os valores de f(t) para t = kT, k , onde T é o período de amostragem e wa := 2π T > 2wc é a frequência de amostragem, então podemos reconstruir exatamente f(t) em todos instantes de tempo. Considere f(t) uma função real, definiremos fT (t) uma versão discretizada deste sinal da seguinte forma:

fT (t) = k=f(kT)δ(t kT), (8.54)

assim fT (t) é um trem de Dirac’s cujas amplitudes coincidem com o valor da função f(t) nos pontos de amostragem kT. Veja um exemplo na figura 8.4.


PIC


Figura 8.4:


A fim de calcularmos a transforma de Fourier de fT (t), observamos que: fT (t) = k=f(kT)δ(t kT) = k=f(t)δ(t kT) = f(t) k=δ(t kT) = f(t)δT (t)

onde δT (t) = k=δ(t kT) é uma função periódica cuja série de Fourier é dada por:

δT (t) = k=δ(t kT) = n=C neiwnt (8.55)

e

Cn = 1 TT2T2δ T (t)eiwntdt = 1 T (8.56)

assim,

δT (t) = 1 T n=eiwnt (8.57)

e, portanto: fT (t) = f(t)δT (t) = f(t) 1 T n=eiwnt = 1 T n=f(t)eiwnt

e finalmente: FT (w) = F fT (t) = 1 TF n=f(t)eiwnt = 1 T n=F(w w n)

onde se usou a propriedade do deslocamento no eixo w (8.1.3). Veja um exemplo na figura 8.5.


PIC PIC


Figura 8.5:


Observação 8.4.1. Observamos que se a frequência de amostragem wa for superior a 2wc, então FT (w) = 1 TF(w) no intervalo [wc,wc] e, portanto, toda a informação de f(t) é preservada. De fato, neste caso, podemos escrever: f(t) = 1 2πF(w)eiwtdw = 1 2πwcwc F(w)eiwtdw = 1 2πwcwc TFT (w)eiwtdw

Como FT (w) pode ser calculada apenas com base nos pontos de amostragem, f(t) pode ser reconstruída. Se wa < 2wc, então existe superposição espectral, o que impede a reconstrução da f(t). Este resultado é conhecido como teorema da amostragem de Nyquist-Shannon ou teorema cardinal da interpolação.

Teorema 8.4.1. Suponha que f(t) é uma função real cujo espectro é limitado pela frequência wc, isto é, F(w) = 0 se |w| > wc, e T < π wc, então

f(t) = n=f(nT)2 sen wa 2 (t nT) wa(t nT) (8.58)

Demonstração. Seja FT (w) a transformada de Fourier do sinal amostrado, conforme vimos, vale a expressão:
TFT (w) = n=F(w w n). (8.59)

Observe que TFT (w) é uma função periódica de período wa (veja figura 8.5), de forma que TFT (w) admite uma representação em série de Fourier:

TFT (w) = D neivnw = D neinTw, (8.60)

onde usamos que vn = 2πn wa = Tn e Dn = 1 wawa2wa2TF T (w)einTwdw = 1 wawa2wa2F(w)einTwdw = 1 waF(w)einTwdw,poisF(w) = 0se|w| > wa 2 > wc = 2π waf(nT) = Tf(nT),usando a transformada inversa.

Logo,

TFT (w) = T n=f(nT)einTw. (8.61)

Usando a transformada inversa, temos: f(t) = 1 2πwa2wa2TF T (w)eiwtdw = 1 2πwa2wa2T n=f(nT)einTweiwtdw = T 2πwa2wa2 n=f(nT)eiw(t+nT)dw = 1 wa n=f(nT)wa2wa2eiw(t+nT)dw = 1 wa n=f(nT)wa2wa2 cos(w(t + nT))dw,pois o seno é ímpar = 1 wa n=f(nT) sen (w(t + nT)) t + nT wa2wa2 = n=f(nT)2 sen wa 2 (t + nT) wa(t + nT)

Substituindo n por n obtemos a expressão:

f(t) = n=f(nT)2 sen wa 2 (t nT) wa(t nT) . (8.62)

Creative Commons License Este texto é disponibilizado nos termos da licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada (CC-BY-SA 3.0). Página gerada em 30/7/2018 às 13:15:15.

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