Números complexos e fórmula de Euler

Análise de Fourier - Um Livro Colaborativo

2.2 Números complexos e fórmula de Euler

Deﬁnição 2.2.1. Um número complexo é deﬁnido pelo par ordenado $(a, b)$ de números reais que satisfazem as seguintes operações de adição e multiplicação: $\begin{array}{rcl} (a_{1}, b_{1}) + (a_{2}, b_{2}) & = & (a_{1} + a_{2}, b_{1} + b_{2}) \\ (a_{1}, b_{1}) \cdot (a_{2}, b_{2}) & = & (a_{1} a_{2} - b_{1} b_{2}, a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1}) . \end{array}$

O conjunto dos números complexos é denotado por $ℂ$ .

Observação 2.2.1. (Números complexos)

Os números complexos da forma $(a, 0)$ são identiﬁcados com os números reais $(a, 0) \equiv a$ .
O número complexo $(0, 1)$ é chamado de unidade imaginária e denotada por $i$ . Observe que $i^{2} = - 1$
Os números complexos da forma $z = (a, b)$ são rotineiramente denotados na sua forma retangular por $z = a + b i$ , onde $a$ é a parte real de $z$ (Re $(z) = a$ ) e $b$ é a parte imaginária de $z$ (Im $(z) = b$ ).
A representação geométrica do número $z = a + b i$ no plano complexo é dada por um plano cartesiano onde um eixo marca a parte real e o outro marca a parte imaginária (veja ﬁgura 2.1).

Deﬁnição 2.2.2. Dado um número complexo $z = a + b i$ , deﬁnimos módulo de $z$ ( $| z |$ ) por $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ . Também deﬁnimos argumento $𝜃$ para $z \neq 0$ como qualquer solução do sistema $\begin{array}{rcl} \cos (𝜃) & = & \frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}, & (2.4) \\ sen (𝜃) & = & \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} . & (2.5) \end{array}$

Observe que este sistema possui inﬁnitas soluções. Ademais, se $𝜃_{1}$ e $𝜃_{2}$ são duas soluções, então diferem por um múltiplo inteiro de $2 π$ , isto é, $𝜃_{1} - 𝜃_{2} = 2 n π$ , $n$ inteiro.

Observe que uma possível solução, com $- \frac{π}{2} < 𝜃 \leq \frac{3 π}{2}$ é dada por

𝜃 = \{\begin{matrix} \tan^{- 1} (\frac{b}{a}) & s e a > 0 \\ \frac{π}{2} & s e a = 0 e b > 0 \\ \frac{3 π}{2} & s e a = 0 e b < 0 \\ \tan^{- 1} (\frac{b}{a}) + π & s e a < 0 \end{matrix}

(2.6)

Se desejamos $\frac{π}{2} \leq 𝜃 < \frac{π}{2}$ , podemos usar a seguinte expressão:

𝜃 = \{\begin{matrix} \tan^{- 1} (\frac{b}{a}) & se a > 0, \\ \tan^{- 1} (\frac{b}{a}) + π & se a < 0 e b \geq 0, \\ \tan^{- 1} (\frac{b}{a}) - π & se a < 0 e b < 0, \\ + \frac{π}{2} & se a = 0 e b > 0, \\ - \frac{π}{2} & se a = 0 e b < 0, \end{matrix}

(2.7)

A representação geométrica de $| z |$ e $𝜃$ está na ﬁgura 2.1.

Figura 2.1:

Deﬁnição 2.2.3. A forma trigonométrica de um número complexo $z = a + b i$ é

z = | z | (\cos (𝜃) + i sen (𝜃)),

(2.8)

onde $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ é o módulo de $z$ e $𝜃$ satisfazendo $a = | z | \cos (𝜃)$ e $b = | z | sen (𝜃)$ é o argumento.

Exemplo 2.2.1. Para escrever o número $z = 2 - 2 i$ na forma trigonométrica, calculamos o módulo $| z | = \sqrt{2^{2} + {(- 2)}^{2}} = 2 \sqrt{2}$ e o argumento, que satisfaz $sen (𝜃) = - \frac{2}{2 \sqrt{2}} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ e $\cos (𝜃) = \frac{2}{2 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ , ou seja, $𝜃 = \frac{7 π}{4}$ . Logo, $z = 2 \sqrt{2} (\cos (\frac{7 π}{4}) + i sen (\frac{7 π}{4}))$ .

Deﬁnição 2.2.4. Dado $z \in ℂ$ , deﬁnimos exponencial de $z$ por

e^{z} = 1 + z + \frac{z^{2}}{2!} + \frac{z^{3}}{3!} + \frac{z^{4}}{4!} + \dots = 1 + \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{z^{k}}{k!}

(2.9)

Proposição 2.2.1. (Fórmula de Euler) Dado $𝜃 \in ℝ$ , vale a identidade

e^{i 𝜃} = \cos (𝜃) + i sen (𝜃) .

(2.10)

Demonstração. De fato,

\begin{array}{rcl} e^{i 𝜃} & = & 1 + i 𝜃 + \frac{{(i 𝜃)}^{2}}{2!} + \frac{{(i 𝜃)}^{3}}{3!} + \frac{{(i 𝜃)}^{4}}{4!} + \frac{{(i 𝜃)}^{5}}{5!} + \dots \\ = & 1 + i 𝜃 - \frac{𝜃^{2}}{2!} - i \frac{𝜃^{3}}{3!} + \frac{𝜃^{4}}{4!} + i \frac{𝜃^{5}}{5!} + \dots \\ = & 1 - \frac{𝜃^{2}}{2!} + \frac{𝜃^{4}}{4!} + \dots + i (𝜃 - \frac{𝜃^{3}}{3!} + \frac{𝜃^{5}}{5!} + \dots) \\ = & \cos (𝜃) + i sen (𝜃) \end{array}

$■$

Deﬁnição 2.2.5. A forma exponencial de um número complexo $z = a + b i$ é

z = | z | e^{i 𝜃},

(2.11)

onde $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ é o módulo de $z$ e $𝜃$ satisfazendo $a = | z | \cos (𝜃)$ e $b = | z | sen (𝜃)$ é o argumento.

Exemplo 2.2.2. Para escrever o número $z = 2 - 2 i$ na forma exponencial, calculamos o módulo $| z | = 2 \sqrt{2}$ e o argumento $𝜃 = \frac{7 π}{4}$ e escrevemos $z = 2 \sqrt{2} e^{i \frac{7 π}{4}}$ .

Exemplo 2.2.3. Mostre que

sen (𝜃) = \frac{e^{i 𝜃} - e^{- i 𝜃}}{2 i}

(2.12)

\cos (𝜃) = \frac{e^{i 𝜃} + e^{- i 𝜃}}{2}

(2.13)

Observe que pela fórmula de Euler vale

e^{i 𝜃} = \cos (𝜃) + i sen (𝜃)

(2.14)

e^{- i 𝜃} = \cos (𝜃) - i sen (𝜃) .

(2.15)

A diferença das equações (2.14) e (2.15) nos dá a expressão para o seno e a soma delas nos dá a expressão para o cosseno.

Exemplo 2.2.4. Para calcular $\cos^{2} (𝜃)$ usando as expressões do problema 2.2.3 fazemos o seguinte: $\begin{array}{rcl} \cos^{2} (𝜃) & = & {(\frac{e^{i 𝜃} + e^{- i 𝜃}}{2})}^{2} \\ = & \frac{{(e^{i 𝜃})}^{2} + 2 e^{i 𝜃} e^{- i 𝜃} + {(e^{- i 𝜃})}^{2}}{4} \\ = & \frac{2 + e^{2 i 𝜃} + e^{- 2 i 𝜃}}{4} \\ = & \frac{1 + \frac{e^{2 i 𝜃} + e^{- 2 i 𝜃}}{2}}{2} \\ = & \frac{1 + \cos (2 𝜃)}{2} \end{array}$

Exercícios

E 2.2.1. Escreva os seguintes números complexos na forma exponencial. Calcule também o complexo conjugado de cada um. Represente-os no plano complexo e identiﬁque no gráﬁco as partes real e complexa, o argumento e o módulo.

$2 + 3 i$
$- 2 + 3 i$
$3 - 4 i$
$- 3 - 4 i$
$4$
$5 i$
$- 5$
$- 4 i$

Resposta.

$\sqrt{13} e^{i 𝜃}$ , $𝜃 = \tan^{- 1} (\frac{3}{2})$
$\sqrt{13} e^{i 𝜃}$ , $𝜃 = π - \tan^{- 1} (\frac{3}{2})$
$5 e^{i 𝜃}$ , $𝜃 = 2 π - \tan^{- 1} (\frac{4}{3})$
$5 e^{i 𝜃}$ , $𝜃 = π + \tan^{- 1} (\frac{4}{3})$
$4 (4 e^{0})$
$5 e^{i \frac{π}{2}}$
$5 e^{i π}$
$4 e^{i \frac{3 π}{2}}$

E 2.2.2. Escreva os seguintes números complexos na forma retangular. Represente-os no plano complexo e identiﬁque no gráﬁco as partes real e complexa, o argumento e o módulo.

$e^{5 π i}$
$e^{3 π i + 2}$
$4 e^{2 π i}$
$2 e^{\frac{π}{2} i + 1} e^{- 2}$
$4 e^{- \frac{π}{4} i}$
$5 e^{\frac{π}{4} i}$

Resposta.

$- 1$
$- e^{2}$
$4$
$2 e^{- 1} i$
$2 \sqrt{2} (1 - i)$
$\frac{5 \sqrt{2}}{2} (1 + i)$

E 2.2.3. Calcule e escreva na forma retangular.

$(2 - 3 i) (4 + 2 i) - e^{i π} (2 i + 1)$
${(\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3}$
$\frac{3 - 2 i}{- 1 + i}$
$\frac{5 + 5 i}{3 - 4 i} + \frac{20}{4 + 3 i}$
$\frac{3 i^{30} - i^{19}}{2 i - 1}$

Resposta.

$15 - 6 i$
${(e^{i \frac{π}{4}})}^{3} = e^{i \frac{3 π}{4}} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\frac{- 5 - i}{2}$
$3 - i$
$\frac{3 i^{2} - i^{3}}{2 i - 1} = \frac{- 3 + i}{2 i - 1} = 1 + i$

E 2.2.4. Mostre a identidade

[\cos (𝜃_{1}) + i sen (𝜃_{1})] \cdot [\cos (𝜃_{2}) + i sen (𝜃_{2})] = \cos (𝜃_{1} + 𝜃_{2}) + i sen (𝜃_{1} + 𝜃_{2})

(2.16)

diretamente a partir das identidades trigonométricas para soma de ângulos.

E 2.2.5. Use a identidade anterior e o princípio da indução matemática para mostrar a fórmula de De Moivre:

{[\cos (𝜃) + i sen (𝜃)]}^{n} = \cos (n 𝜃) + i sen (n 𝜃)

(2.17)

E 2.2.6. Use a identidade anterior para calcular a razão

\frac{1}{{[\cos (𝜃) + i sen (𝜃)]}^{n}} = \cos (n 𝜃) - i sen (n 𝜃)

(2.18)

sem usar a exponencial complexa.

E 2.2.7. Repita os três problemas anteriores usando a exponencial complexa dada por

e^{i 𝜃} = \cos (𝜃) + i sen (𝜃) .

(2.19)

E 2.2.8. Calcule

$\frac{\cos (\frac{π}{4}) + i sen (\frac{π}{4})}{\cos (\frac{π}{6}) + i sen (\frac{π}{6})}$
$[\cos (\frac{π}{4}) + i sen (\frac{π}{4})] {[\cos (\frac{π}{6}) + i sen (\frac{π}{6})]}^{3}$

Resposta.

$\cos (\frac{π}{12}) + i sen (\frac{π}{12})$
$\cos (\frac{3 π}{4}) + i sen (\frac{3 π}{4})$

E 2.2.9. Mostre as seguintes identidades: $\begin{array}{rcl} sen^{3} 𝜃 & = & \frac{3}{4} sen 𝜃 - \frac{1}{4} sen 3 𝜃 \\ \cos^{4} 𝜃 & = & \frac{1}{8} \cos 4 𝜃 + \frac{1}{2} \cos 2 𝜃 + \frac{3}{8} \end{array}$

Dica: Expresse as funções trigonométricas em termos de exponenciais e use o binômio de Newton

E 2.2.10. Use o binômio de Newton para veriﬁcar que as funções $sen^{n} (t)$ e $\cos^{n} (t)$ podem ser escritas na forma

\frac{a_{0}}{2} + \sum_{k = 1}^{n} [a_{k} \cos (k t) + b_{k} sen (k t)]

(2.20)

E 2.2.11. Entenda e familiarize-se com as seguintes identidades e observe a primeira identidade implica todas as outras:

$e^{i x} = \cos (x) + i sen (x) .$
$e^{- i x} = \cos (x) - i sen (x) .$
$| e^{i 𝜃} | = 1, \forall 𝜃 \in ℝ .$
$\bar{e^{i 𝜃}} = e^{- i 𝜃}, \forall 𝜃 \in ℝ .$
$| e^{z} | = e^{Re (z)} .$
$\cos (x) = \frac{e^{i x} + e^{- i x}}{2}$
$sen (x) = \frac{e^{i x} - e^{- i x}}{2 i}$

Resposta.

$e^{- i x} = \cos (- x) + i sen (- x) = e^{- i x} = \cos (x) - i sen (x)$
$| e^{i 𝜃} | = | \cos (x) + i sen (x) | = \sqrt{\cos^{2} (𝜃) + sen^{2} (𝜃)} = 1$
$\bar{e^{i 𝜃}} = \bar{\cos (x) + i sen (x)} = \cos (x) - i sen (x) = e^{- i 𝜃} .$
$| e^{z} | = | e^{Re (z)} e^{Im (z)} | = | e^{Re (z)} | | e^{Im (z)} | = e^{Re (z)} .$ , pois $e^{x} > 0$ para todo $x$ real.
Considere $e^{i x} + e^{- i x}$ .
Considere $e^{i x} - e^{- i x}$ .

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