Passagem do discreto para o contínuo

Análise de Fourier - Um Livro Colaborativo

6.1 Passagem do discreto para o contínuo

Podemos construir uma representação em séries de Fourier para um função $f (t)$ não-periódica sempre que nos restringimos a um intervalo ﬁnito $[- T ∕ 2, T ∕ 2]$ , isto é, construímos a função $f_{T} (t)$ T-periódica que coincide com $f (t)$ no intervalo citado:

\begin{matrix} f_{T} (t) & = & f (t), & - T ∕ 2 \leq t < T ∕ 2 \\ f_{T} (t + T) & = & f_{T} (t), & \forall t \in ℝ \end{matrix}

(6.1)

Exemplo 6.1.1. Considerando a função $f (t) = e^{- | t |}$ , deﬁnimos funções $f_{T} (t)$ como na equação (6.1) e apresentamos os gráﬁcos de $f (t)$ e $f_{T} (t)$ para $T = 2$ e $T = 4$ na ﬁgura 6.1.

Figura 6.1:

Observe que a função $f_{T} (t)$ carrega consigo informação sobre a função $f (t)$ . Naturalmente, gostaríamos de poder obter o limite $T \to \infty$ , a ﬁm de aproximar $f_{T} (t)$ tanto quando possível de $f (t)$ . Como $T$ representa o período da função $f_{T} (t)$ , quando $T$ cresce a frequência fundamental $w_{F}$ descresce. A função $f_{T} (t)$ possui série de Fourier da forma

f_{T} (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} C_{n} e^{i w_{n} t},

(6.2)

onde $\begin{array}{rcl} C_{n} & = & \frac{1}{T} \int_{- T ∕ 2}^{T ∕ 2} e^{- | t |} e^{- i w_{n} t} d t = \frac{1}{T} \int_{- T ∕ 2}^{T ∕ 2} e^{- | t |} (\cos (w_{n} t) - i sen (w_{n} t)) d t \\ = & \frac{2}{T} \int_{0}^{T ∕ 2} e^{- | t |} \cos (w_{n} t) d t = \frac{2}{T} \int_{0}^{T ∕ 2} e^{- t} \cos (w_{n} t) d t \\ = & \frac{2}{T} {[\frac{w_{n} sen (t w_{n}) - \cos (t w_{n})}{w_{n}^{2} + 1} e^{- t}]}_{0}^{T ∕ 2} \\ = & \frac{2}{T} \frac{[w_{n} sen (\frac{T w_{n}}{2}) - \cos (\frac{T w_{n}}{2})] e^{- \frac{T}{2}} + 1}{w_{n}^{2} + 1} \\ = & \frac{2}{T} \frac{[w_{n} sen (n π) - \cos (n π)] e^{- \frac{T}{2}} + 1}{w_{n}^{2} + 1} \\ = & \frac{2}{T} \frac{1 - {(- 1)}^{n} e^{- \frac{T}{2}}}{w_{n}^{2} + 1} & (6.3) \end{array}$

Observemos os diagramas de especto para $f_{T} (t)$ multiplicado por $T$ quando $T = 2$ , $T = 4$ e $T = 8$ na ﬁgura 6.2.

Figura 6.2:

Como a distância entre duas raias espectrais é igual a frequência fundamental $w_{F} = w_{1}$ , a densidade de raias aumenta, tornando mais densa na reta. A serie de Fourier da função $f_{T} (t)$ é dada por

f_{T} (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} C_{n} e^{i w_{n} t},

(6.4)

onde

C_{n} = \frac{1}{T} \int_{- T ∕ 2}^{T ∕ 2} f_{T} (τ) e^{- i w_{n} τ} d τ = \frac{1}{T} \int_{- T ∕ 2}^{T ∕ 2} f (τ) e^{- i w_{n} τ} d τ .

(6.5)

Deﬁnimos agora a função

F_{T} (w) = \int_{- T ∕ 2}^{T ∕ 2} f (τ) e^{- i w τ} d τ

(6.6)

e escrevemos $f_{T} (t)$ em termos de $F_{T} (w)$ : $\begin{array}{rcl} f_{T} (t) & = & \sum_{n = - \infty}^{\infty} \frac{1}{T} F_{T} (w_{n}) e^{i w_{n} t} \\ = & \sum_{n = - \infty}^{\infty} \frac{w_{F}}{2 π} F_{T} (w_{n}) e^{i w_{n} t} & (6.7) \\ = & \sum_{n = - \infty}^{\infty} \frac{Δ w}{2 π} F_{T} (w_{n}) e^{i w_{n} t} \\ = & \frac{1}{2 π} \sum_{n = - \infty}^{\infty} F_{T} (w_{n}) e^{i w_{n} t} Δ w & (6.8) \end{array}$

Observe que a função $F_{T} (w)$ converge para cada frequência $w$ para a função

F (w) = \int_{- \infty}^{\infty} f (t) e^{- i w t} d t .

(6.9)

Fazendo $T \to \infty$ , a soma a direita na equação (6.8) é uma soma de Riemann que converge para uma integral:

f (t) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} F (w) e^{i w t} d w,

(6.10)

onde

F (w) = \int_{- \infty}^{\infty} f (t) e^{- i w t} d t

(6.11)

Exemplo 6.1.2. Continuamos com o exemplo 6.1.1. Dada a função $f (t) = e^{- | t |}$ , podemos escrever

f (t) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} F (w) e^{i w t} d w,

(6.12)

onde $\begin{array}{rcl} F (w) & = & \lim_{T \to \infty} \int_{- T ∕ 2}^{T ∕ 2} e^{- | t |} e^{- i w t} d t \\ = & \lim_{T \to \infty} (2 \frac{{(- 1)}^{n} e^{- \frac{T}{2}} + 1}{w^{2} + 1}) \\ = & \frac{2}{w^{2} + 1}, \end{array}$

onde usamos a expressão para $T C_{n}$ dada por (6.3). De fato, usando uma tabela de integrais (ou método dos resíduos), temos $\begin{array}{rcl} \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{2}{w^{2} + 1} \cos (w t) d w & = & \frac{1}{π} \int_{0}^{\infty} \frac{1}{w^{2} + 1} \cos (w t) d w & (6.13) \\ = & e^{- | t |} & (6.14) \end{array}$

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