Semelhança de Triângulos

Vimos que para determinar o comprimento do túnel Eupalinos fez um raciocínio teórico utilizando a definição de triângulo retângulo e desta maneira evitou uma medição nas áreas de mais difícil acesso da montanha. Também para fazer a escavação do túnel em linha reta ele se apropriou dos teoremas e propriedades da Geometria Plana.

Neste caso Eupalinos usou a semelhança de triângulos para garantir uma linha reta! Mas como isso é possível?

Vamos relembrar os critérios de semelhança de triângulos e ainda particularizar para o caso em questão. Vejamos:

Na Geometria Plana é dito que dois triângulos são semelhantes quando guardam uma proporção entre eles, ou melhor quando os ângulos e os lados do primeiro triângulo estão em correspondência com os ângulos e lados do segundo triângulo, de tal forma que seus ângulos sejam iguais e os lados do primeiro triângulo sejam proporcionais aos lados do segundo.

Mas, de fato não é necessário que se conheça todos os lados e ângulos dos triângulos para que tenhamos a semelhança assegurada. É isso que nos dizem os critérios de semelhança de triângulos: AA, LAL, LLL.

Caso AA - Ângulo Ângulo
"Se dois triângulos possuem dois ângulos ordenadamente congruentes, então eles são semelhantes."

Veja como construir dois triângulos semelhantes no GeoGebra dados Ângulo e Ângulo.

Caso LAL - Lado Ângulo Lado
"Se dois lados de um triângulo são proporcionais aos lados homólogos do outro triângulo e se o ângulo entre estes lados for congruente ao correspondente do outro triângulo, então os triângulos são semelhantes."

Veja como construir dois triângulos semelhantes no GeoGebra dados Lado, Ângulo e Lado.

Caso LLL - Lado Lado Lado
"Se dois triângulos possuem os seus lados homólogos proporcionais, então eles são semelhantes."

Veja como construir dois triângulos semelhantes no GeoGebra dados Lado, Lado e Lado.

Uma maneira de obtermos uma linha reta é através da construção particular de dois triângulos retângulos semelhantes e que tenham um vértice em comum. Isso é o que enunciado abaixo - e conseqüência imediata do caso LAL - nos permite afirmar.

Caso particular de LAL no triângulo retângulo
Sejam ABC e DCE triângulos retângulos com um vértice em comum. Se os catetos b e c' são perpendiculares e, além disso então as hipotenusas* a e a' estão em linha reta.*

Movimente os pontos azuis na animação e verifique a semelhança e o alinhamento das hipotenusas.

Para mostrarmos o alinhamento basta verificar que a soma dos ângulos em torno do vétice comum aos dois triângulos é igual a dois ângulos retos, isto é, 180 graus!

Voltemos então ao problema do túnel da ilha de Samos.

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