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Álgebra Linear - Um Livro Colaborativo

1.3 Algoritmo de escalonamento


Sistematicamente, encontramos a forma escalonada de uma matriz aplicando os seguintes passos:

1.
Analisar a primeira coluna pivô – da esquerda para a direita, esta é a primeira coluna que possui algum elemento diferente de zero – e, se necessário, aplicar operações elementares para que o elemento da primeira linha (esta é a posição de pivô!) passe a ser diferente de zero;
2.
A partir de operações elementares, eliminar todos elementos que estão abaixo do elemento na posição de pivô que obtivemos no Passo 1;
3.
Desconsiderando por um momento a primeira linha, procuramos pela próxima coluna pivô – aquela que tem algum elemento não nulo abaixo da primeira linha. Se necessário, aplicar operações elementares para que, na segunda linha, o elemento passe a ser diferente de zero;
4.
A partir de operações elementares, eliminar todos elementos que estão abaixo do elemento na posição de pivô que obtivemos no Passo 3;
5.
Desconsiderando por um momento a primeira e a segunda linhas, procuramos pela próxima coluna pivô – aquela que tem algum elemento não nulo abaixo da primeira linha e da segunda linha. Se necessário, aplicar operações elementares para que, na segunda linha, o elemento passe a ser diferente de zero;
6.
A partir de operações elementares, eliminar todos elementos que estão abaixo do elemento na posição de pivô que obtivemos no Passo 5 e ssim por diante.

Essencialmente, são apenas dois passos que se repetem até que se esgotem as colunas que possuem posição de pivô. Vejamos um exemplo.

Exemplo 1.3.1. Considere a matriz

0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 1 8 0 0 3 1 2 11 0 0 6 2 4 22 0 0 2 1 2 3 . (1.29)

Passo 1. A primeira coluna pivô é a terceira. Escolhemos um elemento não nulo da terceira coluna para ocupar a posição de pivô. Por exemplo, a segunda linha. Trocando a primeira e a segunda linhas de lugar (esta é uma operação elementar), obtemos:

0 0 2 1 1 8 0 0 0 0 0 0 0 0 3 1 2 11 0 0 6 2 4 22 0 0 2 1 2 3 . (1.30)

Passo 2. Eliminar os elementos abaixo do 2 que está na posição de pivô da terceira coluna:

0 0 2 1 1 8 0 0 0 0 0 0 0 0 3 1 2 11 0 0 6 2 4 22 0 0 2 1 2 3 3 21+3 em 3 0 0 2 1 1 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12 12 1 0 0 6 2 4 22 0 0 2 1 2 3 (1.31)
31+4 em 4 0 0 2 1 1 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12 12 1 0 0 0 1 1 2 0 0 2 1 2 3 1+5 em 5 0 0 2 1 1 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12 12 1 0 0 0 1 1 2 0 0 0 2 1 5 . (1.32)

Passo 3. A partir de agora, vamos essencialmente repetir o processo já realizado até agora. Notamos que a próxima coluna que contém elementos não nulos (sem olhar para a primeira linha!) é a quarta coluna. Portanto, esta é uma coluna pivô e vamos posicionar um elemento não nulo na segunda linha. Por exemplo, podemos trocar a segunda e a terceira linhas.

0 0 2 1 1 8 0 0 0 12 12 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 0 0 0 2 1 5 . (1.33)

Antes de prosseguir, podemos ainda simplificar alguns cálculos multiplicando linhas por escalares (fazer isso é realizar um operação elementar!):

0 0 2 1 1 8 0 0 0 12 12 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 0 0 0 2 1 5 23 e (1)4 0 0 2 1 1 8 0 0 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 0 0 0 2 1 5 (1.34)

Passo 4. Prosseguimos como no Passo 2 para eliminar todos os elementos que estão abaixo da posição de pivô da quarta coluna:

0 0 2 1 1 8 0 0 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 0 0 0 2 1 5 2+4 em 4 0 0 2 1 1 8 0 0 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 5 (1.35)
22+5 em 5 0 0 2 1 1 8 0 0 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 (1.36)

Passo 5. Finalmente, identificamos a coluna 5 como coluna pivô e obtemos uma matriz em forma escalonada ao deixar um elemento não nulo na posição de pivô:

0 0 2 1 1 8 0 0 0 1 1 2 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . (1.37)

Agora, para obter a forma escalonada reduzida a partir da forma escalonada, primeiramente aplicamos os passos acima para obter uma matriz em forma escalonada. Em seguida, aplicamos outros passos iterativos:

1.
Começar pela posição de pivô mais à direita e eliminar os elementos não nulos acima da posição de pivô;
2.
Se necessário, dividir a linha pelo valor do elemento líder (que está na posição de pivô) para que o elemento líder fique igual a 1;
3.
Repetir os primeiros passos para o elemento líder na próxima (da direita para a esquerda) coluna pivô.

Observamos que poderíamos ter primeiro realizado o Passo 2 e depois o Passo 1 se julgássemos que seria mais simples para efetuar os cálculos.

Exemplo 1.3.2. Voltamos ao Exemplo 1.3.1. Identificando novamente as posições de pivô:

0 0 2 1 1 8 0 0 0 11 2 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . (1.38)

O mais da direita é o 1 da quinta coluna. Eliminando os termos não nulos acima, obtemos:

0 0 2 1 1 8 0 0 0 1 1 2 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3+2 em 2 0 0 2 1 1 8 0 0 0 1 0 3 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3+1 em 1 0 0 2 1 0 7 0 0 0 1 0 3 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . (1.39)

A próxima posição de pivô mais à direita é o 1 na linha 2, coluna 4. Eliminando o termo não nulo acima, obtemos:

2+1 em 1 0 0 2 0 0 4 0 0 0 1 0 3 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . (1.40)

Finalmente, dividimos a primeira linha por 2 e a terceira linha por 1 para chegar na forma escalonada reduzida da matriz inicial:

0 0 1 0 0 2 0 0 0 1 0 3 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . (1.41)

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Creative Commons License Este texto é disponibilizado nos termos da licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada (CC-BY-SA 3.0). Página gerada em 14/11/2018 às 13:33:34.

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