Algoritmo de escalonamento

Álgebra Linear - Um Livro Colaborativo

1.3 Algoritmo de escalonamento

Sistematicamente, encontramos a forma escalonada de uma matriz aplicando os seguintes passos:

1.: Analisar a primeira coluna pivô – da esquerda para a direita, esta é a primeira coluna que possui algum elemento diferente de zero – e, se necessário, aplicar operações elementares para que o elemento da primeira linha (esta é a posição de pivô!) passe a ser diferente de zero;
2.: A partir de operações elementares, eliminar todos elementos que estão abaixo do elemento na posição de pivô que obtivemos no Passo 1;
3.: Desconsiderando por um momento a primeira linha, procuramos pela próxima coluna pivô – aquela que tem algum elemento não nulo abaixo da primeira linha. Se necessário, aplicar operações elementares para que, na segunda linha, o elemento passe a ser diferente de zero;
4.: A partir de operações elementares, eliminar todos elementos que estão abaixo do elemento na posição de pivô que obtivemos no Passo 3;
5.: Desconsiderando por um momento a primeira e a segunda linhas, procuramos pela próxima coluna pivô – aquela que tem algum elemento não nulo abaixo da primeira linha e da segunda linha. Se necessário, aplicar operações elementares para que, na segunda linha, o elemento passe a ser diferente de zero;
6.: A partir de operações elementares, eliminar todos elementos que estão abaixo do elemento na posição de pivô que obtivemos no Passo 5 e ssim por diante.

Essencialmente, são apenas dois passos que se repetem até que se esgotem as colunas que possuem posição de pivô. Vejamos um exemplo.

Exemplo 6. Considere a matriz

[\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & - 1 & 8 \\ 0 & 0 & - 3 & - 1 & 2 & - 11 \\ 0 & 0 & 6 & 2 & - 4 & 22 \\ 0 & 0 & - 2 & 1 & 2 & - 3 \end{matrix}] .

(1.24)

Passo 1. A primeira coluna pivô é a terceira. Escolhemos um elemento não nulo da terceira coluna para ocupar a posição de pivô. Por exemplo, a segunda linha. Trocando a primeira e a segunda linhas de lugar (esta é uma operação elementar), obtemos:

[\begin{matrix} 0 & 0 & 2 & 1 & - 1 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 1 & 2 & - 11 \\ 0 & 0 & 6 & 2 & - 4 & 22 \\ 0 & 0 & - 2 & 1 & 2 & - 3 \end{matrix}] .

(1.25)

Passo 2. Eliminar os elementos abaixo do 2 que está na posição de pivô da terceira coluna:

[\begin{matrix} 0 & 0 & 2 & 1 & - 1 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 1 & 2 & - 11 \\ 0 & 0 & 6 & 2 & - 4 & 22 \\ 0 & 0 & - 2 & 1 & 2 & - 3 \end{matrix}] \to_{}^{\frac{3}{2} ℓ_{1} + ℓ_{3} em ℓ_{3}} [\begin{matrix} 0 & 0 & 2 & 1 & - 1 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 ∕ 2 & 1 ∕ 2 & 1 \\ 0 & 0 & 6 & 2 & - 4 & 22 \\ 0 & 0 & - 2 & 1 & 2 & - 3 \end{matrix}]

(1.26)

\to_{}^{- 3 ℓ_{1} + ℓ_{4} em ℓ_{4}} [\begin{matrix} 0 & 0 & 2 & 1 & - 1 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 ∕ 2 & 1 ∕ 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & - 2 & 1 & 2 & - 3 \end{matrix}] \to_{}^{ℓ_{1} + ℓ_{5} em ℓ_{5}} [\begin{matrix} 0 & 0 & 2 & 1 & - 1 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 ∕ 2 & 1 ∕ 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 5 \end{matrix}] .

(1.27)

Passo 3. A partir de agora, vamos essencialmente repetir o processo já realizado até agora. Notamos que a próxima coluna que contém elementos não nulos (sem olhar para a primeira linha!) é a quarta coluna. Portanto, esta é uma coluna pivô e vamos posicionar um elemento não nulo na segunda linha. Por exemplo, podemos trocar a segunda e a terceira linhas.

[\begin{matrix} 0 & 0 & 2 & 1 & - 1 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 1 ∕ 2 & 1 ∕ 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 5 \end{matrix}] .

(1.28)

Antes de prosseguir, podemos ainda simpliﬁcar alguns cálculos multiplicando linhas por escalares (fazer isso é realizar um operação elementar!):

[\begin{matrix} 0 & 0 & 2 & 1 & - 1 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 1 ∕ 2 & 1 ∕ 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 5 \end{matrix}] \to_{}^{2 \cdot ℓ_{3} e (- 1) \cdot ℓ_{4}} [\begin{matrix} 0 & 0 & 2 & 1 & - 1 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 5 \end{matrix}]

(1.29)

Passo 4. Prosseguimos como no Passo 2 para eliminar todos os elementos que estão abaixo da posição de pivô da quarta coluna:

[\begin{matrix} 0 & 0 & 2 & 1 & - 1 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 5 \end{matrix}] \to_{}^{- ℓ_{2} + ℓ_{4} em ℓ_{4}} [\begin{matrix} 0 & 0 & 2 & 1 & - 1 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 5 \end{matrix}]

(1.30)

\to_{}^{- 2 ℓ_{2} + ℓ_{5} em ℓ_{5}} [\begin{matrix} 0 & 0 & 2 & 1 & - 1 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & - 1 & 1 \end{matrix}]

(1.31)

Passo 5. Finalmente, identiﬁcamos a coluna 5 como coluna pivô e obtemos uma matriz em forma escalonada ao deixar um elemento não nulo na posição de pivô:

[\begin{matrix} 0 & 0 & 2 & 1 & - 1 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}] .

(1.32)

Agora, para obter a forma escalonada reduzida a partir da forma escalonada, primeiramente aplicamos os passos acima para obter uma matriz em forma escalonada. Em seguida, aplicamos outros passos iterativos:

1.: Começar pela posição de pivô mais à direita e eliminar os elementos não nulos acima da posição de pivô;
2.: Se necessário, dividir a linha pelo valor do elemento líder (que está na posição de pivô) para que o elemento líder ﬁque igual a 1;
3.: Repetir os primeiros passos para o elemento líder na próxima (da direita para a esquerda) coluna pivô.

Observamos que poderíamos ter primeiro realizado o Passo 2 e depois o Passo 1 se julgássemos que seria mais simples para efetuar os cálculos.

Exemplo 7. Voltamos ao Exemplo 6. Identiﬁcando novamente as posições de pivô:

[\begin{matrix} 0 & 0 & 2 & 1 & - 1 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}] .

(1.33)

O mais da direita é o $- 1$ da quinta coluna. Eliminando os termos não nulos acima, obtemos:

[\begin{matrix} 0 & 0 & 2 & 1 & - 1 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}] \to_{}^{ℓ_{3} + ℓ_{2} em ℓ_{2}} [\begin{matrix} 0 & 0 & 2 & 1 & - 1 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}] \to_{}^{- ℓ_{3} + ℓ_{1} em ℓ_{1}} [\begin{matrix} 0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}] .

(1.34)

A próxima posição de pivô mais à direita é o 1 na linha 2, coluna 4. Eliminando o termo não nulo acima, obtemos:

\to_{}^{- ℓ_{2} + ℓ_{1} em ℓ_{1}} [\begin{matrix} 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}] .

(1.35)

Finalmente, dividimos a primeira linha por $2$ e a terceira linha por $- 1$ para chegar na forma escalonada reduzida da matriz inicial:

[\begin{matrix} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}] .

(1.36)

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