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Álgebra Linear - Um Livro Colaborativo

2.1 Vetores


De um ponto de vista intuitivo, um vetor no espaço tridimensional é um objeto com magnitude, direção e sentido bem definidos. Assim sendo, ao representar um vetor como na figura abaixo, não importa onde está o seu ponto inicial. Todas as setas representam o mesmo vetor.


PIC


Mais precisamente, vamos dizer que segmentos de reta orientados são equivalentes se tem mesmo comprimento, direção e sentido. Um vetor é a classe de equivalência de todos os segmentos de reta com mesmo comprimento, direção e sentido, ou seja, de maneira simplificada, o conjunto de todos os vetores com estas mesmas três características.

Do ponto de vista algébrico, um vetor é um elemento de um espaço vetorial. Esta definição por enquanto não faz sentido visto que somente iremos definir espaços vetoriais no futuro, mas podemos nos contentar com uma definição simplificada neste momento: do ponto de vista algébrico um vetor no espaço tridimensional pode ser pensado como um trio ordenado de números reais. A noção de base de um espaço vetorial, a ser introduzida no futuro, juntamente com a noção de coordenadas de um espaço vetorial, dará um significado preciso a esta ultima afirmação. Aqui podemos considerar a base canônica:

e1 = 1 0 0 ,e2 = 0 1 0 ee3 = 0 0 1 . (2.1)

Fixando o sistema de coordenadas Cartesiano usual e usando a origem como referência, podemos introduzir coordenadas:

v = v1 v2 v3 = v1e1+v2e2+v3e3. (2.2)

Intuitivamente, podemos pensar que o sistema de coordenadas Cartesiano fixa a origem como sendo o ponto inicial do vetor e o ponto (v1,v2,v3) do espaço tridimensional como o ponto final.


PIC


No livro “Álgebra Linear e suas Aplicações”, de David Lay, vetores são representados por letras em negrito. Nestas notas, utilizamos uma setinha em cima da letra para indicar um vetor.

Raramente vamos confundir o ponto (v1,v2,v3) com o vetor

v1 v2 v3 . (2.3)

De qualquer maneira, é bom estar atento, pois outros textos podem fazê-lo.

O conjunto de todos os vetores com três componentes como acima é chamado de 3 (leia-se “erre três”). Em coordenadas, se tivermos

v = v1 v2 v3 ew = w1 w2 w3 , (2.4)

podemos definir a soma de vetores componente a componente:

v+w := v1 + w1 v2 + w2 v3 + w3 . (2.5)

Geometricamente, isto pode ser interpretado como segue:


PIC


A multiplicação do vetor v por escalar k é definida como:

kv := kv1 kv2 kv3 . (2.6)

Geometricamente, temos a seguinte situação


PIC


Estas considerações que fizemos também são válidas para outro número de componentes, com a possível perda de visualização geométrica, no caso de quatro ou mais componentes.

Mais geralmente, um vetor v do conjunto n pode ser pensado como um objeto com n componentes:

v = v1 v2 v n1 vn = v1e1+v2e2++vn1en1+vnen, (2.7)

onde

e1 = 1 0 0 0 ,e2 = 0 1 0 0 ,,en1 = 0 0 1 0 ,en = 0 0 0 1 . (2.8)

A soma de vetores é dada em coordenadas por:

v+w := v1 + w1 v2 + w2 v n1 + wn1 vn + wn . (2.9)

A multiplicação por escalar por:

kv := kv1 kv2 kv n1 kvn . (2.10)

Creative Commons License Este texto é disponibilizado nos termos da licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada (CC-BY-SA 3.0). Página gerada em 14/11/2018 às 13:33:34.

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