Vetores

Álgebra Linear - Um Livro Colaborativo

2.1 Vetores

Um vetor no espaço tridimensional é um objeto com magnitude, direção e sentido bem deﬁnidos. Assim sendo, ao representar um vetor como na ﬁgura abaixo, não importa onde está o seu ponto inicial. Todas as setas representam o mesmo vetor.

Fixando o sistema de coordenadas Cartesiano usual e usando a origem como referência, podemos introduzir coordenadas:

\vec{v} = [\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{matrix}] = v_{1} \vec{e_{1}} + v_{2} \vec{e_{2}} + v_{3} \vec{e_{3}},

(2.1)

onde

\vec{e_{1}} = [\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}], \vec{e_{2}} = [\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}] e \vec{e_{3}} = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}] .

(2.2)

Intuitivamente, podemos pensar que o sistema de coordenadas Cartesiano ﬁxa a origem como sendo o ponto inicial do vetor e o ponto $(v_{1}, v_{2}, v_{3})$ do espaço tridimensional como o ponto ﬁnal.

No livro “Álgebra Linear e suas Aplicações”, de David Lay, vetores são representados por letras em negrito. Nestas notas, utilizamos uma setinha em cima da letra para indicar um vetor.

Raramente vamos confundir o ponto $(v_{1}, v_{2}, v_{3})$ com o vetor

[\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{matrix}] .

(2.3)

De qualquer maneira, é bom estar atento, pois outros textos podem fazê-lo.

O conjunto de todos os vetores com três componentes como acima é chamado de $ℝ^{3}$ (leia-se “erre três”). Em coordenadas, se tivermos

\vec{v} = [\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{matrix}] e \vec{w} = [\begin{matrix} w_{1} \\ w_{2} \\ w_{3} \end{matrix}],

(2.4)

podemos deﬁnir a soma de vetores componente a componente:

\vec{v} + \vec{w} : = [\begin{matrix} v_{1} + w_{1} \\ v_{2} + w_{2} \\ v_{3} + w_{3} \end{matrix}] .

(2.5)

Geometricamente, isto pode ser interpretado como segue:

A multiplicação do vetor $\vec{v}$ por escalar $k \in ℝ$ é deﬁnida como:

k \vec{v} : = [\begin{matrix} k v_{1} \\ k v_{2} \\ k v_{3} \end{matrix}] .

(2.6)

Geometricamente,

Estas considerações que ﬁzemos também são válidas para outro número de componentes, com a possível perda de visualização geométrica, no caso de quatro ou mais componentes.

Mais geralmente, um vetor $\vec{v}$ do conjunto $ℝ^{n}$ pode ser pensado como um objeto com $n$ componentes:

\vec{v} = [\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ ⋮ \\ v_{n - 1} \\ v_{n} \end{matrix}] = v_{1} {\vec{e}}_{1} + v_{2} {\vec{e}}_{2} + \dots + v_{n - 1} {\vec{e}}_{n - 1} + v_{n} {\vec{e}}_{n},

(2.7)

onde

{\vec{e}}_{1} = [\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \\ 0 \end{matrix}], {\vec{e}}_{2} = [\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{matrix}], \dots, {\vec{e}}_{n - 1} = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ ⋮ \\ 1 \\ 0 \end{matrix}], {\vec{e}}_{n} = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \\ 1 \end{matrix}] .

(2.8)

A soma de vetores é dada em coordenadas por:

\vec{v} + \vec{w} : = [\begin{matrix} v_{1} + w_{1} \\ v_{2} + w_{2} \\ ⋮ \\ v_{n - 1} + w_{n - 1} \\ v_{n} + w_{n} \end{matrix}] .

(2.9)

A multiplicação por escalar por:

k \vec{v} : = [\begin{matrix} k v_{1} \\ k v_{2} \\ ⋮ \\ k v_{n - 1} \\ k v_{n} \end{matrix}] .

(2.10)

2.1.1 Representação matricial para sistemas Lineares

Na linguagem da seção anterior, nós dizemos que dois vetores são iguais quando todas as suas componentes são iguais. Desta forma, podemos interpretar as equações de um sistema linear

\{\begin{matrix} x + 3 y & = & 1 \\ 2 x - y & = & - 2 \end{matrix}

(2.11)

como uma igualdade entre vetores de $ℝ^{2}$ , isto é, de vetores com duas componentes:

[\begin{matrix} x + 3 y \\ 2 x - y \end{matrix}] = [\begin{matrix} - 1 \\ 2 \end{matrix}] .

(2.12)

Além disso, é desta forma que surge naturalmente o produto de uma matriz por um vetor:

[\begin{matrix} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] = [\begin{matrix} - 1 \\ 2 \end{matrix}],

(2.13)

deﬁnido de modo que as duas últimas igualdades acima signiﬁquem a mesma coisa. Esta última notação é conhecida como a forma matricial do sistema linear.

Exemplo 9. O sistema, que já apareceu nas notas da semana anterior

\{\begin{matrix} x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} = 12 \\ x_{1} - 3 x_{2} + 5 x_{3} = 1 \\ 2 x_{1} - x_{2} + 3 x_{3} = 10 \end{matrix}

(2.14)

pode ser representado matricialmente por

[\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & - 3 & 5 \\ 2 & - 1 & 3 \end{matrix}] [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 12 \\ 1 \\ 10 \end{matrix}] .

(2.15)

De forma mais sucinta,

A \vec{x} = \vec{b}

(2.16)

onde

A = [\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & - 3 & 5 \\ 2 & - 1 & 3 \end{matrix}], \vec{x} = [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}], e \vec{b} = [\begin{matrix} 12 \\ 1 \\ 10 \end{matrix}] .

(2.17)

Chegamos a esta conclusão colocando os coeﬁcientes da primeira variável $x_{1}$ na primeira coluna, os coeﬁcientes da segunda variável $x_{2}$ na segunda coluna e os coeﬁcientes da terceira variável $x_{3}$ na terceira coluna $.$

Mais geralmente, uma matriz do tipo $m \times n$ (leia-se “ $m$ por $n$ ”) é uma matriz com $m$ linhas e $n$ colunas:

A = (a_{i j}) = [\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix}]

(2.18)

e pode estar associada a um sistema com $m$ equações e $n$ variáveis, já que o produto

[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix}] [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}] = [\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{m} \end{matrix}],

(2.19)

quando visto componente a componente, representa:

\{\begin{matrix} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{1} \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} = b_{2} \\ ⋮ \\ a_{m 1} x_{1} + a_{m 2} x_{2} + \dots + a_{m n} x_{n} = b_{m} \end{matrix}

(2.20)

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