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Álgebra Linear - Um Livro Colaborativo
Nós vimos, por definição, que um vetor é combinação linear dos vetores quando conseguirmos encontrar números reais tais que
(3.1) |
Vimos também que para decidir se um vetor é combinação linear de outros, devemos verificar se existem estes números reais . Em coordenadas, isto é equivalente a resolver o sistema linear:
(3.2) |
Agora, dizemos que os vetores são linearmente independentes (LI) se nenhum dos vetores puder ser escrito combinação linear dos demais. Uma forma de escrever isto matematicamente é a seguinte:
(3.3) |
De fato, imaginem que pelo menos um dos coeficientes acima fosse diferente de zero, digamos . Daí podemos dividir por e conseguiríamos escrever o vetor como combinação linear dos demais:
(3.4) |
Se os vetores não forem linearmente independentes, então nós dizemos que eles são linearmente dependentes (LD).
Exemplo 12. Vamos verificar se os vetores
(3.5) |
são LI ou LD.
Para verificar se são LI, nós devemos considerar a equação vetorial
(3.6) |
Como a equação é homogênea, temos pelo menos a solução trivial: , e . Se esta for a única solução, então os vetores são LI. Se existir alguma outra solução que não seja a trivial, então os vetores são LD.
Resolver a equação vetorial equivale a resolver o sistema linear
(3.7) |
É fácil de ver que a única solução deste sistema é a trivial e, portanto, os vetores são LI. Se este sistema não fosse fácil de resolver, deveríamos começar a resolvê-lo por escalonamento, como de costume.
Exemplo 13. Analisamos agora os vetores
(3.8) |
Como no exemplo anterior, para verificar se são LI, nós devemos considerar a equação vetorial
(3.9) |
Como a equação é homogênea, temos pelo menos a solução trivial: , e . Se esta for a única solução, então os vetores são LI. Se existir alguma outra solução que não seja a trivial, então os vetores são LD.
Resolver a equação vetorial equivale a resolver o sistema linear
(3.10) |
Em um sistema com mais variáveis do que equações, podemos não ter soluções (no caso de alguma linha inconsistente) ou podemos ter infinitas soluções (no caso de haver variáveis livres). Não é possível ter unicidade. Como já sabemos que em um sistema homogêneo, sempre temos pelo menos a solução trivial , , e , podemos concluir que existem infinitas soluções. Logo, o conjunto de vetores é LD.
O argumento que utilizamos no Exemplo 13 acima é geral e se aplica em várias situações. Temos
(3.11) |
Desta forma, não existem quatro vetores LI em . Não conseguiríamos encontrar sete vetores LI em e assim por diante.
Façamos agora algumas observações gerais sobre independência linear:
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Este texto é disponibilizado nos termos da licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada (CC-BY-SA 3.0). Página gerada em 19/8/2020 às 17:34:13.