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Álgebra Linear - Um Livro Colaborativo

3.1 Dependência e independência linear


Nós vimos, por definição, que um vetor v m é combinação linear dos k vetores v1,v2,,vk m quando conseguirmos encontrar números reais x1,x2,,xk tais que

x1v1 + x2v2 + + xkvk = v. (3.1)

Vimos também que para decidir se um vetor é combinação linear de outros, devemos verificar se existem estes números reais x1,x2,,xk. Em coordenadas, isto é equivalente a resolver o sistema linear:

v11 v12 v13 v1k v21 v22 v23 v2k v31 v32 v33 v3k v m1 vm2 vm3 vmk x1 x2 x3 x k = b1 b2 b3 b k . (3.2)

Agora, dizemos que os vetores v1,v2,,vk m são linearmente independentes (LI) se nenhum dos vetores puder ser escrito como combinação linear dos demais. Uma forma de escrever isto matematicamente é a seguinte:

Se x1v1 + x2v2 + + xkvk = 0, então x1 = x2 = = xk = 0. (3.3)

De fato, imaginem que pelo menos um dos coeficientes acima fosse diferente de zero, digamos x20. Daí podemos dividir por x2 e conseguiríamos escrever o vetor v2 como combinação linear dos demais:

v2 = x1 x2v1 x3 x2v3 xk x2vk. (3.4)

Se os vetores v1,v2,,vk m não forem linearmente independentes, então nós dizemos que eles são linearmente dependentes (LD).

Exemplo 3.1.1. Vamos verificar se os vetores

1 0 0 , 1 1 0 , 1 1 1 (3.5)

são LI ou LD.

Para verificar se são LI, nós devemos considerar a equação vetorial

x1 1 0 0 +x2 1 1 0 +x3 1 1 1 = 0 = 0 0 0 . (3.6)

Como a equação é homogênea, temos pelo menos a solução trivial: x1 = 0, x2 = 0 e x3 = 0. Se esta for a única solução, então os vetores são LI. Se existir alguma outra solução que não seja a trivial, então os vetores são LD.

Resolver a equação vetorial equivale a resolver o sistema linear

1 1 1 0 1 1 0 0 1 x1 x2 x3 = 0 0 0 . (3.7)

É fácil de ver que a única solução deste sistema é a trivial e, portanto, os vetores são LI. Se este sistema não fosse fácil de resolver, deveríamos começar a resolvê-lo por escalonamento, como de costume.

Exemplo 3.1.2. Analisamos agora os vetores

1 0 1 , 1 1 0 , 1 1 1 , 1 2 1 . (3.8)

Como no exemplo anterior, para verificar se são LI, nós devemos considerar a equação vetorial

x1 1 0 1 +x2 1 1 0 +x3 1 1 1 +x4 1 2 1 = 0 0 0 . (3.9)

Como a equação é homogênea, temos pelo menos a solução trivial: x1 = 0, x2 = 0 e x3 = 0. Se esta for a única solução, então os vetores são LI. Se existir alguma outra solução que não seja a trivial, então os vetores são LD.

Resolver a equação vetorial equivale a resolver o sistema linear

1 1 1 1 0 1 1 2 1 0 1 1 x1 x2 x3 x4 = 0 0 0 . (3.10)

Em um sistema com mais variáveis do que equações, podemos não ter soluções (no caso de alguma linha inconsistente) ou podemos ter infinitas soluções (no caso de haver variáveis livres). Não é possível ter unicidade. Como já sabemos que em um sistema homogêneo, sempre temos pelo menos a solução trivial x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0 e x4 = 0, podemos concluir que existem infinitas soluções. Logo, o conjunto de vetores é LD.

O argumento que utilizamos no Exemplo 3.1.2 acima é geral e se aplica em várias situações. Temos

Se k > m, então os vetores v1,v2,,vk m são necessariamente LD. (3.11)

Desta forma, não existem quatro vetores LI em 3. Não conseguiríamos encontrar sete vetores LI em 5 e assim por diante.

Façamos agora algumas observações gerais sobre independência linear:

  • O vetor nulo, mesmo que sozinho, é LD. Se v = 0 estiver em um conjunto de vetores, este conjunto será automaticamente LD.
  • Ao considerarmos apenas dois vetores u e v, dizer que estes vetores são LD significa que eles são múltiplos um do outro e, portanto, colineares.
  • Veremos mais adiante no curso que a dimensão do espaço gerado por vetores linearmente independentes é exatamente o número de vetores. Desta maneira, concluiremos, por exemplo, que o conjunto gerado por dois vetores do espaço tridimensional é um espaço linear de dimensão dois: um plano.

Exercícios resolvidos


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ER 3.1.1. Diga se v1, v2 e v3 são vetores linearmente independentes ou dependentes.

v1 = 2 4 6 ,v2 = 8 10 12 ,v3 = 4 2 0 (3.12)

Solução. Para determinar se o conjunto de vetores dados é linearmente dependente, precisamos saber se existe solução não-trivial na seguinte equação:
x1v1 + x2v2 + x3v3 = 0 (3.13)

Podemos escrever também:

x1 2 4 6 +x2 8 10 12 +x3 4 2 0 = 0 0 0 (3.14)

Dessa maneira, o problema se reduz a escalonar a matriz abaixo:

2 8 4 0 4 10 2 0 6 12 0 0 (3.15)

Escalonando-a, obtemos a matriz:

1 4 2 0 0 1 1 0 0 0 0 0 (3.16)

Através dela, podemos observar que x1 e x2 são variáveis dependentes, enquanto que x3 é variável livre. Ou seja, a equação inicial possui infinitas soluções além da solução trivial. Portanto, obtemos que os vetores v1, v2 e v3 são linearmente dependentes.

Exercícios


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Creative Commons License Este texto é disponibilizado nos termos da licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada (CC-BY-SA 3.0). Página gerada em 10/1/2020 às 14:17:20.

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