3.1 Dependência e independência linear

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Nós vimos, por definição, que um vetor $\overrightarrow{v}\in {ℝ}^m$ é combinação linear dos $k$ vetores ${\overrightarrow{v}}_1,{\overrightarrow{v}}_2,\dots ,{\overrightarrow{v}}_k\in {ℝ}^m$ quando conseguirmos encontrar números reais $x_1,x_2,\dots ,x_k$ tais que

$$x_1{\overrightarrow{v}}_1+x_2{\overrightarrow{v}}_2+\cdots +x_k{\overrightarrow{v}}_k=\overrightarrow{v}.$$

(3.1)

Vimos também que para decidir se um vetor é combinação linear de outros, devemos verificar se existem estes números reais $x_1,x_2,\dots ,x_k$. Em coordenadas, isto é equivalente a resolver o sistema linear:

$$\left[\begin{array}{ccccc}\hfill v_{11}\hfill & \hfill v_{12}\hfill & \hfill v_{13}\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill v_{1k}\hfill \\ \hfill v_{21}\hfill & \hfill v_{22}\hfill & \hfill v_{23}\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill v_{2k}\hfill \\ \hfill v_{31}\hfill & \hfill v_{32}\hfill & \hfill v_{33}\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill v_{3k}\hfill \\ \hfill ⋮\hfill & \hfill ⋮\hfill & \hfill ⋮\hfill & \hfill \hfill & \hfill ⋮\hfill \\ \hfill v_{m1}\hfill & \hfill v_{m2}\hfill & \hfill v_{m3}\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill v_{mk}\hfill \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\hfill x_1\hfill \\ \hfill x_2\hfill \\ \hfill x_3\hfill \\ \hfill ⋮\hfill \\ \hfill x_k\hfill \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\hfill b_1\hfill \\ \hfill b_2\hfill \\ \hfill b_3\hfill \\ \hfill ⋮\hfill \\ \hfill b_k\hfill \end{array}\right].$$

(3.2)

Agora, dizemos que os vetores ${\overrightarrow{v}}_1,{\overrightarrow{v}}_2,\dots ,{\overrightarrow{v}}_k\in {ℝ}^m$ são linearmente independentes (LI) se nenhum dos vetores puder ser escrito como combinação linear dos demais. Uma forma de escrever isto matematicamente é a seguinte:

$$\text{Se }{x}_1{\overrightarrow{v}}_1+x_2{\overrightarrow{v}}_2+\cdots +x_k{\overrightarrow{v}}_k=\overrightarrow{0},\text{ então }{x}_1=x_2=\cdots =x_k=0.$$

(3.3)

De fato, imaginem que pelo menos um dos coeficientes acima fosse diferente de zero, digamos $x_2\ne 0$. Daí podemos dividir por $x_2$ e conseguiríamos escrever o vetor ${\overrightarrow{v}}_2$ como combinação linear dos demais:

$${\overrightarrow{v}}_2=-\frac{x_1}{x_2}{\overrightarrow{v}}_1-\frac{x_3}{x_2}{\overrightarrow{v}}_3-\cdots -\frac{x_k}{x_2}{\overrightarrow{v}}_k.$$

(3.4)

Se os vetores ${\overrightarrow{v}}_1,{\overrightarrow{v}}_2,\dots ,{\overrightarrow{v}}_k\in {ℝ}^m$ não forem linearmente independentes, então nós dizemos que eles são linearmente dependentes (LD).

O argumento que utilizamos no Exemplo 3.1.2 acima é geral e se aplica em várias situações. Temos

$$\text{Se }k>m\text{, então os vetores }{\overrightarrow{v}}_1,{\overrightarrow{v}}_2,\dots ,{\overrightarrow{v}}_k\in {ℝ}^m\text{ são necessariamente LD.}$$

(3.11)

Desta forma, não existem quatro vetores LI em ${ℝ}^3$. Não conseguiríamos encontrar sete vetores LI em ${ℝ}^5$ e assim por diante.

Façamos agora algumas observações gerais sobre independência linear:

• O vetor nulo, mesmo que sozinho, é LD. Se $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$ estiver em um conjunto de vetores, este conjunto será automaticamente LD.
• Ao considerarmos apenas dois vetores $\overrightarrow{u}$ e $\overrightarrow{v}$, dizer que estes vetores são LD significa que eles são múltiplos um do outro e, portanto, colineares.
• Veremos mais adiante no curso que a dimensão do espaço gerado por vetores linearmente independentes é exatamente o número de vetores. Desta maneira, concluiremos, por exemplo, que o conjunto gerado por dois vetores do espaço tridimensional é um espaço linear de dimensão dois: um plano.

Exercícios resolvidos

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Exercícios

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