Teorema 52 (Teorema do núcleo e da imagem). Para qualquer matriz $A$ de ordem $m\times n$, temos

Observação 53. A dimensão do espaço coluna de $A$ ou, o que é a mesma coisa, dimensão da imagem da transformação linear $\overrightarrow{x}\mapsto A\overrightarrow{x}$, é também conhecida na literatura como o posto de $A$. Assim, o Teorema do núcleo e da imagem pode ser reenunciado como: Se $A$ é uma matriz $m\times n$, então

Observação 54. O teorema afirma que há uma relação entre as dimensões dos espaços coluna e nulo. No entanto, não esqueça que estes são subespaços de universos diferentes! Temos

Exemplo 55. Todo sistema linear de ordem $5\times 9$ deve possuir um espaço nulo de dimensão $4$ ou mais. De fato, como a matriz associada tem apenas cinco linhas, pode ter no máximo $5$ posições de pivô, de modo que

Portanto

Desta forma, se resolvermos um sistema homogêneo desta ordem e encontrarmos um conjunto solução de dimensão 3, certamente há algum um erro nas contas!