7.1 Determinantes

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O determinante é um número que está associado com uma matriz quadrada.¹ Para os nossos propósitos neste curso, o determinante é principalmente utilizado para decidir se uma matriz é invertível. No entanto, o determinante tem outras interpretações. Veremos brevemente como é utilizá-lo no cálculo de volumes de paralelepípedos. Além disso, aparece em aplicações variadas, como a fórmula de mudança de variáveis em integrais múltiplas.

Vejamos inicialmente o caso $2\times 2$. Consideramos a matriz

$$A=\left[\begin{array}{cc}\hfill a\hfill & \hfill b\hfill \\ \hfill c\hfill & \hfill d\hfill \end{array}\right].$$

(7.1)

No caso em que ambas as entradas $a$ e $c$ são nulas, sabemos de antemão que $A$ não pode ser uma matriz invertível, pois neste caso sua primeira coluna não possui posição de pivô. Suponhamos que $a\ne 0$ (caso contrário, poderíamos fazer uma troca de linhas). Por eliminação Gaussiana, chegamos a

$$\left[\begin{array}{cc}\hfill a\hfill & \hfill b\hfill \\ \hfill c\hfill & \hfill d\hfill \end{array}\right]\underset{}{\overset{-\frac{c}{a}{\ell }_1+{\ell }_2\text{ em }{\ell }_2}{\to }}\left[\begin{array}{cc}\hfill a\hfill & \hfill b\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill -\frac{bc}{a}+d\hfill \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\hfill a\hfill & \hfill b\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill \frac{ad-bc}{a}\hfill \end{array}\right].$$

(7.2)

Assim, $A$ é invertível (ou, equivalentemente, as colunas de $A$ são linearmente independentes) se, e somente se, o valor numérico $ad-bc$ é diferente de $0$. Esta é a nossa definição de determinante para uma matriz $A$ de ordem $2\times 2$:

$$detA\stackrel{\text{def}}{=}ad-bc.$$

(7.3)

Outras notações bastante utilizadas de determinante são

$$det\left[\begin{array}{cc}\hfill a\hfill & \hfill b\hfill \\ \hfill c\hfill & \hfill d\hfill \end{array}\right]\text{ou}\left|\begin{array}{cc}\hfill a\hfill & \hfill b\hfill \\ \hfill c\hfill & \hfill d\hfill \end{array}\right|.$$

(7.4)

Cuidado para não confundir! Com estas notações, $\left[\begin{array}{cc}\hfill a\hfill & \hfill b\hfill \\ \hfill c\hfill & \hfill d\hfill \end{array}\right]$representa uma matriz enquanto que $\left|\begin{array}{cc}\hfill a\hfill & \hfill b\hfill \\ \hfill c\hfill & \hfill d\hfill \end{array}\right|$ representa um número, o determinante de $A$.

A nossa discussão acima de imediato implica a seguinte propriedade:

$$A\text{ é invertível }\iff detA\ne 0.$$

(7.5)

Agora, vamos fazer as contas também no caso $3\times 3$. Considere a matriz

$$A=\left[\begin{array}{ccc}\hfill a_{11}\hfill & \hfill a_{12}\hfill & \hfill a_{13}\hfill \\ \hfill a_{21}\hfill & \hfill a_{22}\hfill & \hfill a_{23}\hfill \\ \hfill a_{31}\hfill & \hfill a_{32}\hfill & \hfill a_{33}\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right].$$

(7.6)

Suponhamos que $a_{11}\ne 0$. Por escalonamento:

$$\left[\begin{array}{ccc}\hfill a_{11}\hfill & \hfill a_{12}\hfill & \hfill a_{13}\hfill \\ \hfill a_{21}\hfill & \hfill a_{22}\hfill & \hfill a_{23}\hfill \\ \hfill a_{31}\hfill & \hfill a_{32}\hfill & \hfill a_{33}\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right]\underset{-\frac{a_{31}}{a_{11}}{\ell }_1+{\ell }_3\text{ em }{\ell }_3}{\overset{-\frac{a_{21}}{a_{11}}{\ell }_1+{\ell }_2\text{ em }{\ell }_2}{\to }}\left[\begin{array}{ccc}\hfill a_{11}\hfill & \hfill a_{12}\hfill & \hfill a_{13}\hfill \\ \hfill \hfill & \hfill \hfill & \hfill \hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill \frac{a_{11}{a}_{22}-a_{21}{a}_{12}}{a_{11}}\hfill & \hfill \frac{a_{11}{a}_{23}-a_{21}{a}_{13}}{a_{11}}\hfill \\ \hfill \hfill & \hfill \hfill & \hfill \hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill \frac{a_{11}{a}_{32}-a_{31}{a}_{12}}{a_{11}}\hfill & \hfill \frac{a_{11}{a}_{33}-a_{31}{a}_{13}}{a_{11}}\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right].$$

(7.7)

Podemos ainda simplificar os denominadores

$$\left[\begin{array}{ccc}\hfill a_{11}\hfill & \hfill a_{12}\hfill & \hfill a_{13}\hfill \\ \hfill a_{21}\hfill & \hfill a_{22}\hfill & \hfill a_{23}\hfill \\ \hfill a_{31}\hfill & \hfill a_{32}\hfill & \hfill a_{33}\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{ccc}\hfill a_{11}\hfill & \hfill a_{12}\hfill & \hfill a_{13}\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill a_{11}{a}_{22}-a_{21}{a}_{12}\hfill & \hfill a_{11}{a}_{23}-a_{21}{a}_{13}\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill a_{11}{a}_{32}-a_{31}{a}_{12}\hfill & \hfill a_{11}{a}_{33}-a_{31}{a}_{13}\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right]\stackrel{\text{notação}}{===}\left[\begin{array}{ccc}\hfill a_{11}\hfill & \hfill a_{12}\hfill & \hfill a_{13}\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill A_{33}\hfill & \hfill A_{32}\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill A_{23}\hfill & \hfill A_{22}\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right].$$

(7.8)

Em breve (esperamos que) ficará clara a escolha da notação acima. O passo seguinte no escalonamento será, supondo que $A_{33}\ne 0$, eliminar o elemento $A_{23}$ que está na posição $32$. Temos assim

$$A=\left[\begin{array}{ccc}\hfill a_{11}\hfill & \hfill a_{12}\hfill & \hfill a_{13}\hfill \\ \hfill a_{21}\hfill & \hfill a_{22}\hfill & \hfill a_{23}\hfill \\ \hfill a_{31}\hfill & \hfill a_{32}\hfill & \hfill a_{33}\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{ccc}\hfill a_{11}\hfill & \hfill a_{12}\hfill & \hfill a_{13}\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill A_{33}\hfill & \hfill A_{32}\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill A_{23}\hfill & \hfill A_{22}\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{ccc}\hfill a_{11}\hfill & \hfill a_{12}\hfill & \hfill a_{13}\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill A_{33}\hfill & \hfill A_{32}\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill A_{22}{A}_{33}-A_{32}{A}_{23}\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right].$$

(7.9)

Nosso raciocínio é que nossa matriz $A$ é uma matriz invertível se esta última coluna possuir uma posição de pivô, isto é, se $A_{22}{A}_{33}-A_{32}{A}_{23}\ne 0$. Este último pode ser escrito mais explicitamente como

$$\begin{array}{c}\begin{array}{rl}{A}_{22}{A}_{33}-A_{32}{A}_{23}& =\left(a_{11}{a}_{22}-a_{21}{a}_{12}\right)\left(a_{11}{a}_{33}-a_{31}{a}_{13}\right)-\left(a_{11}{a}_{32}-a_{31}{a}_{12}\right)\left(a_{11}{a}_{23}-a_{21}{a}_{13}\right)\\ & =a_{11}^2{a}_{22}{a}_{33}-a_{11}{a}_{22}{a}_{31}{a}_{13}-a_{21}{a}_{12}{a}_{11}{a}_{33}+\end{array}\end{array}$$+ − a112a 32a23 + a11a32a21a13 + a31a12a11a23 − = a11a11a22a33 − a22a31a13 − a21a12a33 − a11a32a23 + a32a21a13 + a31a12a23

(7.10)

Destas considerações, segue que $A$ é invertível sempre que

$$a_{11}{a}_{22}{a}_{33}-a_{22}{a}_{31}{a}_{13}-a_{21}{a}_{12}{a}_{33}-a_{11}{a}_{32}{a}_{23}+a_{32}{a}_{21}{a}_{13}+a_{31}{a}_{12}{a}_{23}\ne 0.$$

(7.11)

Definimos o determinante de uma matriz $A$ de ordem $3\times 3$ por (note que apenas mudamos a ordem dos termos):

$$detA\stackrel{\text{def}}{=}{a}_{11}{a}_{22}{a}_{33}-a_{11}{a}_{32}{a}_{23}-a_{12}{a}_{21}{a}_{33}+a_{12}{a}_{31}{a}_{23}+a_{13}{a}_{21}{a}_{32}-a_{13}{a}_{31}{a}_{22}.$$

(7.12)

Existe uma forma de memorização deste determinante que usualmente é ensinado no ensino médio. No entanto, vamos utilizar um outro método que poderá ser aplicado para matrizes de qualquer ordem!

Observamos que a expressão acima está cheia de simetrias, por exemplo, cada um dos elementos da matriz $A$ aparece exatamente duas vezes. Além disso, aparece uma vez com sinal positivo e outra com sinal negativo. Podemos escrever:

$$\begin{array}{cc}\begin{array}{rl}detA& =a_{11}\left(\right.a_{22}{a}_{33}-a_{32}{a}_{23}\left)\right.-a_{12}\left(\right.a_{21}{a}_{33}+a_{31}{a}_{23}\left)\right.+a_{13}\left(\right.a_{21}{a}_{32}-a_{31}{a}_{22}\left)\right..\\ & =a_{11}\cdot det\left[\begin{array}{cc}\hfill a_{22}\hfill & \hfill a_{23}\hfill \\ \hfill a_{32}\hfill & \hfill a_{33}\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right]-a_{12}\cdot det\left[\begin{array}{cc}\hfill a_{21}\hfill & \hfill a_{23}\hfill \\ \hfill a_{31}\hfill & \hfill a_{33}\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right]+a_{13}\cdot det\left[\begin{array}{cc}\hfill a_{21}\hfill & \hfill a_{22}\hfill \\ \hfill a_{31}\hfill & \hfill a_{32}\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right]\end{array}& \end{array}$$

(7.13)

Esta última fórmula (que é apenas uma outra forma de escrever a nossa definição de determinante de uma matriz de ordem $3\times 3$), apesar de aparentemente complicada, nos permite entender como que os coeficientes de uma matriz aparecem na definição de $detA$. Vamos escrever novamente:

$$det\left[\begin{array}{ccc}\hfill a_{11}\hfill & \hfill a_{12}\hfill & \hfill a_{13}\hfill \\ \hfill a_{21}\hfill & \hfill a_{22}\hfill & \hfill a_{23}\hfill \\ \hfill a_{31}\hfill & \hfill a_{32}\hfill & \hfill a_{33}\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right]=a_{11}\cdot det\left[\begin{array}{cc}\hfill a_{22}\hfill & \hfill a_{23}\hfill \\ \hfill a_{32}\hfill & \hfill a_{33}\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right]-a_{12}\cdot det\left[\begin{array}{cc}\hfill a_{21}\hfill & \hfill a_{23}\hfill \\ \hfill a_{31}\hfill & \hfill a_{33}\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right]+a_{13}\cdot det\left[\begin{array}{cc}\hfill a_{21}\hfill & \hfill a_{22}\hfill \\ \hfill a_{31}\hfill & \hfill a_{32}\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right].$$

(7.14)

Podemos pensar como segue:

• Nós vamos percorrer a primeira linha da esquerda para a direita, alternando o sinal e multiplicando por determinantes menores.
• O primeiro elemento é o elemento da primeira linha é $a_{11}$. Não alteramos o sinal e multiplicamos por um determinante menor, obtido ao desconsiderar a primeira linha e a primeira coluna (ou, em outras palavras, a linha e a coluna do elemento $a_{11}$):

  $$\left[\begin{array}{ccc}\hfill a_{11}\hfill & \hfill a_{12}\hfill & \hfill a_{13}\hfill \\ \hfill a_{21}\hfill & \hfill a_{22}\hfill & \hfill a_{23}\hfill \\ \hfill a_{31}\hfill & \hfill a_{32}\hfill & \hfill a_{33}\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right]⇝\left[\begin{array}{ccc}\hfill \square \hfill & \hfill \square \hfill & \hfill \square \hfill \\ \hfill \square \hfill & \hfill a_{22}\hfill & \hfill a_{23}\hfill \\ \hfill \square \hfill & \hfill a_{32}\hfill & \hfill a_{33}\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right]⇝A_{11}\stackrel{\text{def}}{=}\left[\begin{array}{cc}\hfill a_{22}\hfill & \hfill a_{23}\hfill \\ \hfill a_{32}\hfill & \hfill a_{33}\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right].$$

  (7.15)

  Denotamos por $A_{11}$ a matriz obtida ao remover a linha e a coluna no elemento $a_{11}$.

• Em seguida, vamos para o segundo elemento da primeira linha, que é $a_{12}$. Alteramos o sinal e multiplicamos pelo determinante menor da matriz $A_{12}$, obtida de $A$ ao eliminar a linha e a coluna de $a_{12}$:

  $$\left[\begin{array}{ccc}\hfill \square \hfill & \hfill \square \hfill & \hfill \square \hfill \\ \hfill a_{21}\hfill & \hfill \square \hfill & \hfill a_{23}\hfill \\ \hfill a_{31}\hfill & \hfill \square \hfill & \hfill a_{33}\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right]⇝A_{12}\stackrel{\text{def}}{=}\left[\begin{array}{cc}\hfill a_{21}\hfill & \hfill a_{23}\hfill \\ \hfill a_{31}\hfill & \hfill a_{33}\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right].$$

  (7.16)

• Finalmente consideramos $a_{31}$. Não alteramos o sinal e multiplicamos pelo determinante menor da matriz $A_{13}$, obtida de $A$ ao eliminar a linha e a coluna de $a_{13}$:

  $$\left[\begin{array}{ccc}\hfill \square \hfill & \hfill \square \hfill & \hfill \square \hfill \\ \hfill a_{21}\hfill & \hfill a_{22}\hfill & \hfill \square \hfill \\ \hfill a_{31}\hfill & \hfill a_{32}\hfill & \hfill \square \hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right]⇝A_{13}\stackrel{\text{def}}{=}\left[\begin{array}{cc}\hfill a_{21}\hfill & \hfill a_{22}\hfill \\ \hfill a_{31}\hfill & \hfill a_{32}\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right].$$

  (7.17)

• Podemos então escrever

  $$detA=a_{11}det{A}_{11}-a_{12}det{A}_{12}+a_{13}det{A}_{13}.$$

  (7.18)

Como já mencionamos, na fórmula para o determinante de uma matriz $A$, cada um dos elementos de $A$ aparece exatamente duas vezes. Isto significa que poderíamos ter rearranjado os termos da matriz não a partir da primeira linha, mas a partir de qualquer linha ou qualquer coluna. Mas devemos ter cuidado para que os sinais sejam levados em consideração de forma coerente.

Dada uma matriz quadrada $A$ de ordem $n\times n$, obtemos uma matriz menor $A_{ij}$ ao remover a linha $i$ e coluna $j$. Agora é possível entender a notação escolhida no inicio deste capítulo, na fórmula (7.9). Definimos o cofator $\left(i,j\right)$ de $A$ por

$$C_{ij}\stackrel{\text{def}}{=}{\left(-1\right)}^{i+j}det{A}_{ij}.$$

(7.24)

Este sinal $\pm 1$ na definição do cofator é o que faz com que o sinal seja levado em consideração corretamente.

É prático de calcular o determinante pensando como vínhamos fazendo antes, alternando os sinais. Isto é possível de fazer utilizando qualquer linha ou qualquer coluna. Basta descobrirmos com qual sinal devemos começar. Construimos uma “matriz” com os sinais que cada posição da matriz nos dá. Vamos colocar o sinal de ${\left(-1\right)}^{i+j}$ na posição $ij$ da matriz:

$$\left[\begin{array}{ccc}\hfill {\left(-1\right)}^{1+1}\hfill & \hfill {\left(-1\right)}^{1+2}\hfill & \hfill {\left(-1\right)}^{1+3}\hfill \\ \hfill {\left(-1\right)}^{2+1}\hfill & \hfill {\left(-1\right)}^{2+2}\hfill & \hfill {\left(-1\right)}^{2+3}\hfill \\ \hfill {\left(-1\right)}^{3+1}\hfill & \hfill {\left(-1\right)}^{3+2}\hfill & \hfill {\left(-1\right)}^{3+3}\hfill \end{array}\right]\leftrightsquigarrow \left[\begin{array}{ccc}\hfill +\hfill & \hfill -\hfill & \hfill +\hfill \\ \hfill -\hfill & \hfill +\hfill & \hfill -\hfill \\ \hfill +\hfill & \hfill -\hfill & \hfill +\hfill \end{array}\right].$$

(7.27)

Claro que poderíamos fazer esta matriz de sinais para matrizes de qualquer ordem.

Exercícios resolvidos

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Exercícios

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