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Álgebra Linear - Um Livro Colaborativo

7.1 Determinantes


O determinante é um número que está associado com uma matriz quadrada.1 Para os nossos propósitos neste curso, o determinante é principalmente utilizado para decidir se uma matriz é invertível. No entanto, o determinante tem outras interpretações. Veremos brevemente como é utilizá-lo no cálculo de volumes de paralelepípedos. Além disso, aparece em aplicações variadas, como a fórmula de mudança de variáveis em integrais múltiplas.

Vejamos inicialmente o caso 2 × 2. Consideramos a matriz

A = a b c d . (7.1)

No caso em que ambas as entradas a e c são nulas, sabemos de antemão que A não pode ser uma matriz invertível, pois neste caso sua primeira coluna não possui posição de pivô. Suponhamos que a0 (caso contrário, poderíamos fazer uma troca de linhas). Por eliminação Gaussiana, chegamos a

a b c d c a1+2 em 2 a b 0 bc a + d = a b 0 adbc a . (7.2)

Assim, A é invertível (ou, equivalentemente, as colunas de A são linearmente independentes) se, e somente se, o valor numérico ad bc é diferente de 0. Esta é a nossa definição de determinante para uma matriz A de ordem 2 × 2:

det A= defad bc. (7.3)

Outras notações bastante utilizadas de determinante são

det a b c d ou a b c d . (7.4)

Cuidado para não confundir! Com estas notações, a b c d representa uma matriz enquanto que a b c d representa um número, o determinante de A.

A nossa discussão acima de imediato implica a seguinte propriedade:

A é invertível  det A0. (7.5)

Exemplo 7.1.1. A matriz A = 1 2 3 1 é invertível pois det A = 1 (1) 3 2 = 70. Em particular, podemos utilizar o Teorema da Matriz Invertível (Teorema ???) para concluir que a transformação linear associada é invertível (injetiva e sobrejetiva), as colunas são linearmente independentes, espaço nulo tem dimensão zero e o posto é 2, etc.

Por outro lado, A = 1 2 3 6 não é invertível, já que det A = 1 6 3 2 = 0.

Agora, vamos fazer as contas também no caso 3 × 3. Considere a matriz

A = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 . (7.6)

Suponhamos que a110. Por escalonamento:

a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a31 a111+3 em 3a21 a111+2 em 2 a11 a12 a13 0 a11a22a21a12 a11 a11a23a21a13 a11 0 a11a32a31a12 a11 a11a33a31a13 a11 . (7.7)

Podemos ainda simplificar os denominadores

a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 a12 a13 0 a11a22 a21a12 a11a23 a21a13 0 a11a32 a31a12 a11a33 a31a13 === notação a11 a12 a13 0 A33 A32 0 A23 A22 . (7.8)

Em breve (esperamos que) ficará clara a escolha da notação acima. O passo seguinte no escalonamento será, supondo que A330, eliminar o elemento A23 que está na posição 32. Temos assim

A = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 a12 a13 0 A33 A32 0 A23 A22 a11 a12 a13 0 A33 A32 0 0 A22A33 A32A23 . (7.9)

Nosso raciocínio é que nossa matriz A é uma matriz invertível se esta última coluna possuir uma posição de pivô, isto é, se A22A33 A32A230. Este último pode ser escrito mais explicitamente como

A22A33 A32A23 = (a11a22 a21a12)(a11a33 a31a13) (a11a32 a31a12)(a11a23 a21a13) = a112a 22a33 a11a22a31a13 a21a12a11a33 + -<msub><mrow>a-</mrow><mrow >21</mrow></msub ><msub><mrow>a-</mrow><mrow >12-</mrow></msub ><msub><mrow>a< -/mrow><mrow >31</mrow></msub ><msub><mrow>a--</mrow><mrow >13</mrow></msub >    + a112a 32a23 + a11a32a21a13 + a31a12a11a23 <msub><mrow>a< /mrow><mrow ></mrow></msub ><msub><mrow>a-</mrow><mrow > -</mrow></msub ><msub><mrow>a</mrow><mrow > -</mrow></msub ><msub><mrow>a--</mrow><mrow > </mrow></msub > 
- -31 12 21 13   = a11a11a22a33 a22a31a13 a21a12a33 a11a32a23 + a32a21a13 + a31a12a23 (7.10)

Destas considerações, segue que A é invertível sempre que

a11a22a33 a22a31a13 a21a12a33 a11a32a23 + a32a21a13 + a31a12a230. (7.11)

Definimos o determinante de uma matriz A de ordem 3 × 3 por (note que apenas mudamos a ordem dos termos):

det A= defa11a22a33a11a32a23a12a21a33+a12a31a23+a13a21a32a13a31a22. (7.12)

Existe uma forma de memorização deste determinante que usualmente é ensinado no ensino médio. No entanto, vamos utilizar um outro método que poderá ser aplicado para matrizes de qualquer ordem!

Observamos que a expressão acima está cheia de simetrias, por exemplo, cada um dos elementos da matriz A aparece exatamente duas vezes. Além disso, aparece uma vez com sinal positivo e outra com sinal negativo. Podemos escrever:

det A = a11a22a33 a32a23 a12a21a33 + a31a23 + a13a21a32 a31a22. = a11 det a22 a23 a32 a33 a12 det a21 a23 a31 a33 + a13 det a21 a22 a31 a32 (7.13)

Esta última fórmula (que é apenas uma outra forma de escrever a nossa definição de determinante de uma matriz de ordem 3 × 3), apesar de aparentemente complicada, nos permite entender como que os coeficientes de uma matriz aparecem na definição de det A. Vamos escrever novamente:

det a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 = a11det a22 a23 a32 a33 a12det a21 a23 a31 a33 +a13det a21 a22 a31 a32 . (7.14)

Podemos pensar como segue:

  • Nós vamos percorrer a primeira linha da esquerda para a direita, alternando o sinal e multiplicando por determinantes menores.
  • O primeiro elemento é o elemento da primeira linha é a11. Não alteramos o sinal e multiplicamos por um determinante menor, obtido ao desconsiderar a primeira linha e a primeira coluna (ou, em outras palavras, a linha e a coluna do elemento a11):
    a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a 22 a23 a32 a33 A11= def a22 a23 a32 a33 . (7.15)

    Denotamos por A11 a matriz obtida ao remover a linha e a coluna no elemento a11.

  • Em seguida, vamos para o segundo elemento da primeira linha, que é a12. Alteramos o sinal e multiplicamos pelo determinante menor da matriz A12, obtida de A ao eliminar a linha e a coluna de a12:
    a 21 a23 a31 a33 A12= def a21 a23 a31 a33 . (7.16)
  • Finalmente consideramos a31. Não alteramos o sinal e multiplicamos pelo determinante menor da matriz A13, obtida de A ao eliminar a linha e a coluna de a13:
    a 21 a22 a 31 a32 A13= def a21 a22 a31 a32 . (7.17)
  • Podemos então escrever
    det A = a11 det A11 a12 det A12 + a13 det A13. (7.18)

Exemplo 7.1.2. Calcular o determinante de

A = 2 4 3 1 2 1 0 2 1 . (7.19)

A notação de “barrinhas” para o determinante é particularmente adequada para escrever o determinante como aparece na fórmula (7.18), pois assim podemos ir mentalmente desconsiderando (ou tapando com um lápis) as linhas e colunas que não devemos escrever (indentifique que tudo o que fizemos foi escrever a fórmula (7.18)):

det A = 2 4 3 1 2 1 0 2 1 = 2 2 1 2 1 4 1 1 0 1 +3 1 2 0 2 . (7.20)

Agora, já sabemos como calcular determinantes de matrizes 2 × 2, que é o que nos resta fazer:

2 4 3 1 2 1 0 2 1 = 22 1 2 (1) 41 1 0 (1) + 31 2 0 2 = 2 4 4 1 + 3 2 = 10. (7.21)

Exemplo 7.1.3. Calcular o determinante de

B = 1 3 4 1 0 1 0 2 1 . (7.22)

A notação de “barrinhas” para o determinante é particularmente adequada para escrever o determinante como aparece na fórmula (7.18), pois assim podemos ir mentalmente desconsiderando (ou tapando com um lápis) as linhas e colunas que não devemos escrever (indentifique que tudo o que fizemos foi escrever a fórmula (7.18)):

det B = 1 3 4 1 0 1 0 2 1 = 0 1 2 1 (3) 1 1 0 1 + (4) 1 0 0 2 = 2 + 3 1 4 2 = 3. (7.23)

Analise com atenção como os sinais alternam, independentemente dos sinais dos coeficientes da matriz!

Como já mencionamos, na fórmula para o determinante de uma matriz A, cada um dos elementos de A aparece exatamente duas vezes. Isto significa que poderíamos ter rearranjado os termos da matriz não a partir da primeira linha, mas a partir de qualquer linha ou qualquer coluna. Mas devemos ter cuidado para que os sinais sejam levados em consideração de forma coerente.

Dada uma matriz quadrada A de ordem n × n, obtemos uma matriz menor Aij ao remover a linha i e coluna j. Agora é possível entender a notação escolhida no início deste capítulo, na fórmula (7.9). Definimos o cofator (i,j) de A por

Cij= def(1)i+j det A ij. (7.24)

Este sinal ± 1 na definição do cofator é o que faz com que o sinal seja levado em consideração corretamente.

Teorema 7.1.1. Podemos calcular o determinante de A a partir de qualquer linha ou de qualquer coluna. Mais precisamente:

  • Se consideramos a linha i, então
    det A = ai1Ci1 + ai2Ci2 + ai3Ci3. (7.25)
  • Se consideramos a coluna j, então
    det A = a1jC1j + a2jC2j + a3jC3j. (7.26)

É prático de calcular o determinante pensando como vínhamos fazendo antes, alternando os sinais. Isto é possível de fazer utilizando qualquer linha ou qualquer coluna. Basta descobrirmos com qual sinal devemos começar. Construimos uma “matriz” com os sinais que cada posição da matriz nos dá. Vamos colocar o sinal de (1)i+j na posição ij da matriz:

(1)1+1 (1)1+2 (1)1+3 (1)2+1 (1)2+2 (1)2+3 (1)3+1 (1)3+2 (1)3+3 + + + + + . (7.27)

Claro que poderíamos fazer esta matriz de sinais para matrizes de qualquer ordem.

Exemplo 7.1.4. Vamos calcular de várias maneiras o determinante da matriz

A = 1 1 4 3 0 1 1 0 3 . (7.28)

Pela nossa definição

1 1 4 3 0 1 1 0 3 = 1 0 1 0 3 1 3 1 1 3 +4 3 0 1 0 = (1)01(9+1)+40 = 10. (7.29)

Uma boa escolha seria uma linha ou coluna que tenha o maior número de zeros! Pois assim, economizamos tanto nos cálculos quanto na escrita. Por exemplo, escolhemos a segunda coluna. Para saber o sinal adequado, podemos proceder da seguinte maneira: começando na posição 11 com o sinal “+”, vamos alternando o sinal até completar a segunda coluna:

+ + + + + +  sinais segunda coluna são  + . (7.30)

Assim, podemos calcular

1 1 4 3 0 1 1 0 3 = 1 3 1 1 3 +00 = 1(9+1) = 10. (7.31)

Observe que nem escrevemos as determinantes menores que estão multiplicados por zero. De fato, nem precisaríamos ter escrito os zeros, apenas o fizemos para exemplificar os sinais alternando de forma correta.

A segunda coluna, neste caso, era a melhor escolha para o cálculo do determinante, pois apenas um elemento é não nulo. De qualquer maneira, para praticar, vamos calcular ainda mais uma vez det A, agora utilizando a terceira linha. Sinais que aparecem na frente dos coeficientes, de acordo com a terceira linha:

+ + +  sinais terceira linha são  + + . (7.32)

Logo,

1 1 4 3 0 1 1 0 3 = 1 1 4 0 1 0+3 1 1 3 0 = 1(1)+3(3) = 10. (7.33)

Como exercício, calcule o determinante utilizando outras linhas ou colunas.

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