Teorema 66. Valem as seguintes propriedades:

$\left(i\right)$

O determinante depende linearmente de cada uma das linhas, isto é, se fizermos uma combinação linear de uma linha apenas, poderíamos ter feito uma cobinação linear dos determinantes:

$$det\left[\begin{array}{ccc}\hfill a_{11}\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill a_{1n}\hfill \\ \hfill ⋮\hfill & \hfill \hfill & \hfill ⋮\hfill \\ \hfill \alpha a_{i1}+\beta b_{i1}\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill \alpha a_{in}+\beta b_{in}\hfill \\ \hfill ⋮\hfill & \hfill \hfill & \hfill ⋮\hfill \\ \hfill a_{n1}\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill a_{nn}\hfill \end{array}\right]=\alpha det\left[\begin{array}{ccc}\hfill a_{11}\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill a_{1n}\hfill \\ \hfill ⋮\hfill & \hfill \hfill & \hfill ⋮\hfill \\ \hfill a_{i1}\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill a_{in}\hfill \\ \hfill ⋮\hfill & \hfill \hfill & \hfill ⋮\hfill \\ \hfill a_{n1}\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill a_{nn}\hfill \end{array}\right]+\beta det\left[\begin{array}{ccc}\hfill a_{11}\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill a_{1n}\hfill \\ \hfill ⋮\hfill & \hfill \hfill & \hfill ⋮\hfill \\ \hfill b_{i1}\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill b_{in}\hfill \\ \hfill ⋮\hfill & \hfill \hfill & \hfill ⋮\hfill \\ \hfill a_{n1}\hfill & \hfill \cdots \hfill & \hfill a_{nn}\hfill \end{array}\right].$$

(7.47)

$\left(ii\right)$

Se uma linha de $A$ for composta só por zeros, então $detA=0$.

$\left(iii\right)$

O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.

$\left(iv\right)$

A operação elementar “trocar duas linhas de lugar” altera o sinal do determinante.

$\left(v\right)$

A operação elementar de somar o múltiplo de uma linha à outra não altera o determinante. Em outras palavras, se um múltiplo de uma linha de $A$ for somado à outra linha formando a matriz $B$, então $detA=detB$.

$\left(vi\right)$

Uma matriz $A$ é invertível se, e somente se, $detA\ne 0.$

$\left(vii\right)$

Para quaisquer duas matrizes $A$ e $B$ de mesma ordem, $det\left(AB\right)=detAdetB.$

$\left(viii\right)$

O determinante da matriz transposta de $A$ é igual ao determinante de $A$, isto é, $det\left(A^T\right)=detA.$

$\left(ix\right)$

Todos os itens acima que envolvem operações com linhas poderiam ser enunciados com “colunas” no lugar de “linhas”.

Exemplo 67. Vamos calcular o determinante da matriz $A$ do Exemplo 64 utilizando as propriedades acima (em particular o escalonamento). Este método é particularmente útil quando as matrizes não possuem muitas entradas nulas. Já que a segunda linha possui um “1” na primeira entrada, vamos fazer uma troca de linhas para facilitar as contas (cuidado com o sinal!). Em seguida, eliminamos os elementos da primeira coluna.

As divisões nos denominadores nos atrapalham um pouco na hora de fazer a conta. Podemos retirá-los dali, desde que cuidadosamente (o mesmo para o sinal de “$-1$”), colocando-os em evidência (note que devemos fazê-lo para cada linha!):

Finalmente, podemos fazer uma troca de linhas e eliminar o elemento “16”:

Observação 68. No exemplo anterior, vimos como calcular o determinante utilizando escalonamento de maneira “straightforward”. Como pode-se perceber, o método não parece muito melhor do que calcular o determinante utilizando expansão por cofatores. Vamos ver que, de fato, o melhor é misturar o método de cofatores com as propriedades acima! Vamos novamente calcular

Observe que a terceira coluna tem duas entradas nulas. Podemos ainda utilizar uma operação elementar para eliminar uma das entradas: por exemplo, substituir ${\ell }_3+{\ell }_2$ em ${\ell }_2$. Assim:

Note que a terceira coluna agora ficou com apenas uma entrada não nula; logo, utilizando a terceira coluna para o cálculo de $detA$ (como na seção anterior), obtemos

Podemos também utilizar a propriedade $\left(ix\right)$ do teorema para colocar em evidência um “$-2$” da primeira coluna e, em seguida, continuar com o cálculo:

Exemplo 69. Por fim, recalculamos também o determinante da matriz do Exemplo 65, utilizando as propriedades desta seção. Vamos fazer as contas de forma um pouco mais rápidas. Tente acompanhar o que está sendo feito de um passo para outro! Iniciamos aproveitando o fato de a última coluna ter muitos zeros.

Em seguida, eliminamos o $2$ e o $3$ da primeira coluna sem trocar linhas de lugar (quanto mais trocarmos linhas, mais riscos corremos de errar o sinal):

Nota: antes de eliminarmos o $3$, já reparamos que o determinante vai ser nulo, graças à propriedade $\left(ii\right).$