O produto vetorial

Cálculo de funções de várias variáveis - Um Livro Colaborativo

2.4 O produto vetorial

Além do produto escalar entre vetores, deﬁnimos também o produto vetorial. Enquanto o produto escalar de dois vetores é um escalar, o produto vetorial é um terceiro vetor. O produto vetorial entre $\vec{u} = u_{1} \vec{i} + u_{2} \vec{j} + u_{3} \vec{k}$ e $\vec{v} = v_{1} \vec{i} + v_{2} \vec{j} + v_{3} \vec{k}$ é denotado $\vec{u} \times \vec{v}$ e é deﬁnido em coordenadas cartesianas como:

\vec{u} \times \vec{v} = (u_{2} v_{3} - u_{3} v_{2}) \vec{i} + (u_{3} v_{1} - u_{1} v_{3}) \vec{j} + (u_{1} v_{2} - u_{2} v_{1}) \vec{k}

(2.19)

A deﬁnição de produto vetorial pode parecer à primeira vista arbitrária e fortemente dependente do sistema de coordenadas escolhido. No entanto, mostraremos que o produto vetorial admite uma formulação intrínseca, ou seja, que não depende do sistema de coordenadas escolhido. Ademais, veremos que tanto o produto escalar como o produto vetorial surgem naturalmente no estudo da física clássica.

O produto vetorial possui as seguintes propriedades:

\begin{align} \vec{u} \times \vec{v} & = - \vec{v} \times \vec{u}, & (Anticomutatividade) & (2.20a) \\ (α \vec{u} + β \vec{v}) \times \vec{w} & = α (\vec{u} \times \vec{w}) + β (\vec{v} \times \vec{w}), & (Linearidade à esquerda) & (2.20b) \\ \vec{u} \times (α \vec{v} + β \vec{w}) & = α (\vec{u} \times \vec{v}) + β (\vec{u} \times \vec{w}), & (Linearidade à direita) & (2.20c) \\ (\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{u} & = (\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{v} = 0, & (Ortogonalidade) & (2.20d) \\ ∥\vec{u} \times \vec{v}∥ & = u v sen (\vec{u}, \vec{v}) . & (Norma) & (2.20e) \\ \det (\vec{u}; \vec{v}; \vec{u} \times \vec{v}) & = u^{2} v^{2} sen^{2} (\vec{u}, \vec{v}) > 0 . & (Orientação dextrogira) & (2.20f) \end{align}

Nas duas últimas propriedades, $sen (\vec{u}, \vec{v})$ denota o seno do ângulo entre os vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$ . Observa-se que quando $\vec{u}$ ou $\vec{v}$ é nulo, este ângulo não está bem deﬁnido, estas identidades devem ser então interpretadas como $∥\vec{u} \times \vec{v}∥ = 0$ e $\det (\vec{u}; \vec{v}; \vec{u} \times \vec{v}) = 0$ .

A última propriedade signiﬁca que o trio $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e $\vec{u} \times \vec{v}$ forma um sistema dextrogiro.

E 2.4.1. Mostre as propriedades (3.20a), (3.20b) e (3.20c).

A propriedade da ortogonalidade pode ser demonstrada diretamente da deﬁnição de produto vetorial e produto escalar: $\begin{array}{rcl} (\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{u} & = & [(u_{2} v_{3} - u_{3} v_{2}) \vec{i} + (u_{3} v_{1} - u_{1} v_{3}) \vec{j} + (u_{1} v_{2} - u_{2} v_{1}) \vec{k}] (u_{1} \vec{i} + u_{2} \vec{j} + u_{3} \vec{k}) \\ = & (u_{2} v_{3} - u_{3} v_{2}) u_{1} + (u_{3} v_{1} - u_{1} v_{3}) u_{2} + (u_{1} v_{2} - u_{2} v_{1}) u_{3} = 0 \end{array}$

igualmente temos: $\begin{array}{rcl} (\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{v} & = & [(u_{2} v_{3} - u_{3} v_{2}) \vec{i} + (u_{3} v_{1} - u_{1} v_{3}) \vec{j} + (u_{1} v_{2} - u_{2} v_{1}) \vec{k}] (v_{1} \vec{i} + v_{2} \vec{j} + v_{3} \vec{k}) \\ = & (u_{2} v_{3} - u_{3} v_{2}) v_{1} + (u_{3} v_{1} - u_{1} v_{3}) v_{2} + (u_{1} v_{2} - u_{2} v_{1}) v_{3} = 0 \end{array}$

Para provar a propriedade (3.20e), mostraremos primeiramente a seguinte (interessante) identidade:

{∥\vec{u} \times \vec{v}∥}^{2} + {|\vec{u} \cdot \vec{v}|}^{2} = u^{2} v^{2}

(2.21)

Da deﬁnição de norma e de produto vetorial temos: $\begin{array}{rcl} {∥\vec{u} \times \vec{v}∥}^{2} & = & {∥(u_{2} v_{3} - u_{3} v_{2}) \vec{i} + (u_{3} v_{1} - u_{1} v_{3}) \vec{j} + (u_{1} v_{2} - u_{2} v_{1}) \vec{k}∥}^{2} \\ = & {(u_{2} v_{3} - u_{3} v_{2})}^{2} + {(u_{3} v_{1} - u_{1} v_{3})}^{2} + {(u_{1} v_{2} - u_{2} v_{1})}^{2} \\ = & (u_{2}^{2} v_{3}^{2} - 2 u_{2} u_{3} v_{2} v_{3} + u_{3}^{2} v_{2}^{2}) + (u_{3}^{2} v_{1}^{2} - 2 u_{1} u_{3} v_{1} v_{3} + u_{1}^{2} v_{3}^{2}) \\ + & (u_{1}^{2} v_{2}^{2} - 2 u_{1} u_{2} v_{1} v_{2} + u_{2}^{2} v_{1}^{2}) . & (2.22) \end{array}$

Da deﬁnição de norma e de produto escalar temos: $\begin{array}{rcl} {|\vec{u} \cdot \vec{v}|}^{2} & = & {(u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2} + u_{3} v_{3})}^{2} = u_{1}^{2} v_{1}^{2} + u_{2}^{2} v_{2}^{2} + u_{3}^{2} v_{3}^{2} + 2 u_{1} u_{2} v_{1} v_{2} + 2 u_{1} u_{3} v_{1} v_{3} + 2 u_{2} u_{3} v_{2} v_{3} . \end{array}$

Somando estas últimas duas expressões, simpliﬁcando e reagrupando termos, chegamos ao resultado desejado: $\begin{array}{rcl} {∥\vec{u} \times \vec{v}∥}^{2} + {|\vec{u} \cdot \vec{v}|}^{2} & = & {(u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2} + u_{3} v_{3})}^{2} \\ = & u_{1}^{2} v_{1}^{2} + u_{1}^{2} v_{2}^{2} + u_{1}^{2} v_{3}^{2} + u_{2}^{2} v_{1}^{2} + u_{2}^{2} v_{2}^{2} + u_{2}^{2} v_{3}^{2} + u_{3}^{2} v_{1}^{2} + u_{3}^{2} v_{2}^{2} + u_{3}^{2} v_{3}^{2} \\ = & (u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + u_{3}^{2}) (v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{2}) = u^{2} v^{2} . \end{array}$

Agora que dispomos da identidade (3.21), usamos (3.16) para escrever

{∥\vec{u} \times \vec{v}∥}^{2} = u^{2} v^{2} - {|\vec{u} \cdot \vec{v}|}^{2} = u^{2} v^{2} - {[u v \cos (\vec{u}, \vec{v})]}^{2} = u^{2} v^{2} [1 - \cos^{2} (\vec{u}, \vec{v})] = u^{2} v^{2} sen^{2} (\vec{u}, \vec{v})

Extraímos a raiz quadrada, observando que $sen (\vec{u}, \vec{v}) \geq 0$ e obtemos o resultado desejado (3.20e). Um caso particular importante é quando os vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$ estão na mesma direção. Como $sen 0 = sen 18 0^{\circ} = 0$ , o produto vetorial de dois vetores paralelos é $\vec{0}$ . Para demonstrar a propriedade (3.20f), calculamos o determinante envolvido $\begin{array}{rcl} \det (\vec{u}; \vec{v}; \vec{u} \times \vec{v}) & = & |\begin{matrix} u_{1} & v_{1} & (u_{2} v_{3} - u_{3} v_{2}) \\ u_{2} & v_{2} & (u_{3} v_{1} - u_{1} v_{3}) \\ u_{3} & v_{3} & (u_{1} v_{2} - u_{2} v_{1}) \end{matrix}| \\ = & (u_{1}^{2} v_{2}^{2} - u_{1} u_{2} v_{1} v_{2}) + (u_{3}^{2} v_{1}^{2} - u_{1} u_{3} v_{1} v_{3}) + (u_{2}^{2} v_{3}^{2} - u_{2} u_{3} v_{2} v_{3}) \\ - & (u_{1} u_{2} v_{1} v_{2} - u_{2}^{2} v_{1}^{2}) - (u_{1} u_{3} v_{1} v_{3} - u_{1}^{2} v_{3}^{2}) - (u_{2} u_{3} v_{2} v_{3} - u_{3}^{2} v_{2}^{2}) \end{array}$

Figura 2.5: Regra da mão direita.

Agora basta observar que esta expressão é idêntica a (3.22), ou seja, $∥ \vec{u} \times \vec{v} ∥^{2}$ e portanto o determinante $\det (\vec{u}; \vec{v}; \vec{u} \times \vec{v})$ é positivo.

A importância desta propriedade está no fato que se $\vec{w} = \vec{u} \times \vec{v}$ então o trio de vetores $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e $\vec{w}$ forma um sistema dextrogiro. Além disso, por causa da propriedade (3.20d), $\vec{w}$ deve ser ortogonal tanto aos vetores $\vec{u}$ , $\vec{v}$ . Finalmente, observando a propriedade da norma (3.20e), podemos estabelecer a seguinte identidade para o produto vetorial de dois vetores não colineares $\vec{u}$ e $\vec{v}$ :

\vec{u} \times \vec{v} = u v sen (\vec{u}, \vec{v}) ê

(2.23)

onde o versor $ê$ é ortogonal ao plano gerado por $\vec{u}$ e $\vec{v}$ e forma um sistema dextrogiro com eles.

Figura 2.6: Interpretação geométrica do produto vetorial.

A norma do produto vetorial entre os vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$ pode ser interpretada como a área do paralelogramo cujos lados são $\vec{u}$ e $\vec{v}$ (ver ﬁgura 3.6. A direção do produto vetorial é então ortogonal ao plano gerado por $\vec{u}$ e $\vec{v}$ e o sentido é dado pela regra da mão direita.

A deﬁnição de produto vetorial dada em (3.19) pode ser mais facilmente lembrada através do seguinte determinante formal:

\vec{u} \times \vec{v} = |\begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \\ v_{1} & v_{2} & v_{3} \end{matrix}|

(2.24)

que pode ser calculado pela regra de Sarrus.

O produto vetorial entre os vetores unitários $\vec{i}$ , $\vec{j}$ e $\vec{k}$ pode ser obtido da deﬁnição (3.19) ou da caracterização geométrica do produto vetorial:

$\begin{align} \vec{i} \times \vec{i} & = \vec{0}, & \vec{i} \times \vec{j} & = \vec{k}, & \vec{i} \times \vec{k} & = - \vec{j} \\ \vec{j} \times \vec{i} & = - \vec{k}, & \vec{j} \times \vec{j} & = \vec{0}, & \vec{j} \times \vec{k} & = \vec{i} \\ \vec{k} \times \vec{i} & = \vec{j}, & \vec{k} \times \vec{j} & = - \vec{i}, & \vec{k} \times \vec{k} & = \vec{0} & (2.25) \end{align}$

Exercícios resolvidos

E 2.4.2. Seja $\vec{u} = \vec{i} + 2 \vec{j}$ e $\vec{v} = 3 \vec{i} - 2 \vec{j}$ , calcule o vetor $\vec{w} = \vec{u} \times \vec{v}$ .

Solução. Primeira forma: Calcularemos primeiramente usando o determinante (3.24):

\begin{array}{rcl} \vec{w} & = & |\begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \\ v_{1} & v_{2} & v_{3} \end{matrix}| = |\begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 0 \\ 3 & - 2 & 0 \end{matrix}| \\ = & \vec{i} (0 - 0) + \vec{j} (0 - 0) + \vec{k} (- 2 - 6) \\ = & - 8 \vec{k} \end{array}

Segunda forma: Calcularemos usando as propriedades (3.20) e as relações (3.25): $\begin{array}{rcl} \vec{w} & = & \vec{u} \times \vec{v} = (\vec{i} + 2 \vec{j}) \times (3 \vec{i} - 2 \vec{j}) \\ = & 3 (\vec{i} \times \vec{i}) - 2 (\vec{i} \times \vec{j}) + 6 (\vec{j} \times \vec{i}) - 4 (\vec{j} \times \vec{j}) \\ = & 3 \vec{0} - 2 \vec{k} - 6 \vec{k} - 4 \vec{0} \\ = & - 8 \vec{k} \end{array}$

$♢$

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Exercícios

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E 2.4.3. Refaça os exercícios 3.3.6 e 3.3.7 usando o conceito de produto vetorial.

E 2.4.4. Encontre três vetores $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e $\vec{w}$ tais que $\vec{u} \times (\vec{v} \times \vec{w}) \neq (\vec{u} \times \vec{v}) \times \vec{w}$ .

Exemplo de resposta: $\vec{u} = \vec{i}$ , $\vec{v} = \vec{i}$ e $\vec{w} = \vec{k}$ .

E 2.4.5. Simpliﬁque as seguintes expressões:

$\vec{u} \times \vec{u}$
$\vec{u} \times û$
$\vec{u} \cdot \vec{u}$
$\vec{u} \cdot û$
$(\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v})$
$(\vec{u} + \vec{v}) \times (\vec{u} + \vec{v})$
$(\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v})$
$(\vec{u} - \vec{v}) \times (\vec{u} - \vec{v})$
$(\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v})$
$(\vec{u} + \vec{v}) \times (\vec{u} - \vec{v})$

Resp: $\vec{0}$ , $\vec{0}$ , $u^{2}$ , $u$ , $u^{2} + 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + v^{2}$ , $\vec{0}$ , $u^{2} - 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + v^{2}$ , $\vec{0}$ , $u^{2} - v^{2}$ , $2 \vec{v} \times \vec{u}$

E 2.4.6. Mostre que $\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = \det (\vec{u}; \vec{v}; \vec{w})$ . Conclua que o trio de vetores $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e $\vec{w}$ forma um sistema dextrogiro se $\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) > 0$ e levogiro se $\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) < 0$ . Interprete geometricamente.

Este texto é disponibilizado nos termos da licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada (CC-BY-SA 3.0). Página gerada em 3/10/2023 às 14:57:28.

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