Use o botão abaixo para reportar erros ou dar sugestões.

Cálculo de funções de várias variáveis - Um Livro Colaborativo

2.4 O produto vetorial


Além do produto escalar entre vetores, definimos também o produto vetorial. Enquanto o produto escalar de dois vetores é um escalar, o produto vetorial é um terceiro vetor. O produto vetorial entre u = u1i + u2j + u3k e v = v1i + v2j + v3k é denotado u ×v e é definido em coordenadas cartesianas como:

u ×v = u2v3 u3v2 i + u3v1 u1v3 j + u1v2 u2v1 k (2.19)

A definição de produto vetorial pode parecer à primeira vista arbitrária e fortemente dependente do sistema de coordenadas escolhido. No entanto, mostraremos que o produto vetorial admite uma formulação intrínseca, ou seja, que não depende do sistema de coordenadas escolhido. Ademais, veremos que tanto o produto escalar como o produto vetorial surgem naturalmente no estudo da física clássica.

O produto vetorial possui as seguintes propriedades:

u ×v = v ×u, (Anticomutatividade) (2.20a) αu + βv ×w = α u ×w + β v ×w, (Linearidade à esquerda) (2.20b) u × αv + βw = α u ×v + β u ×w, (Linearidade à direita) (2.20c) u ×v u = u ×v v = 0, (Ortogonalidade) (2.20d) u ×v = uv sen (u,v). (Norma) (2.20e) det u; v; u ×v = u2v2 sen 2(u,v) > 0. (Orientação dextrogira) (2.20f)

Nas duas últimas propriedades, sen (u,v) denota o seno do ângulo entre os vetores u e v. Observa-se que quando u ou v é nulo, este ângulo não está bem definido, estas identidades devem ser então interpretadas como u ×v = 0 e det u; v; u ×v = 0.

A última propriedade significa que o trio u, v e u ×v forma um sistema dextrogiro.

E 2.4.1. Mostre as propriedades (2.20a), (2.20b) e (2.20c).

A propriedade da ortogonalidade pode ser demonstrada diretamente da definição de produto vetorial e produto escalar: u ×v u = u2v3 u3v2 i + u3v1 u1v3 j + u1v2 u2v1 k u1i + u2j + u3k = u2v3 u3v2 u1 + u3v1 u1v3 u2 + u1v2 u2v1 u3 = 0

igualmente temos: u ×v v = u2v3 u3v2 i + u3v1 u1v3 j + u1v2 u2v1 k v1i + v2j + v3k = u2v3 u3v2 v1 + u3v1 u1v3 v2 + u1v2 u2v1 v3 = 0

Para provar a propriedade (2.20e), mostraremos primeiramente a seguinte (interessante) identidade:

u ×v2 + u v2 = u2v2 (2.21)

Da definição de norma e de produto vetorial temos: u ×v2 = u 2v3 u3v2 i + u3v1 u1v3 j + u1v2 u2v1 k2 = u2v3 u3v2 2 + u 3v1 u1v3 2 + u 1v2 u2v1 2 = u22v 32 2u 2u3v2v3 + u32v 22 + u 32v 12 2u 1u3v1v3 + u12v 32 + u12v 22 2u 1u2v1v2 + u22v 12 . (2.22)

Da definição de norma e de produto escalar temos: u v2 = u 1v1 + u2v2 + u3v3 2 = u 12v 12 + u 22v 22 + u 32v 32 + 2u 1u2v1v2 + 2u1u3v1v3 + 2u2u3v2v3.

Somando estas últimas duas expressões, simplificando e reagrupando termos, chegamos ao resultado desejado: u ×v2 + u v2 = u 1v1 + u2v2 + u3v3 2 = u12v 12 + u 12v 22 + u 12v 32 + u 22v 12 + u 22v 22 + u 22v 32 + u 32v 12 + u 32v 22 + u 32v 32 = u12 + u 22 + u 32 v 12 + v 22 + v 32 = u2v2.

Agora que dispomos da identidade (2.21), usamos (2.16) para escrever

u ×v2 = u2v2u v2 = u2v2uv cos u,v2 = u2v2 1 cos 2 u,v = u2v2 sen 2 u,v

Extraímos a raiz quadrada, observando que sen u,v 0 e obtemos o resultado desejado (2.20e). Um caso particular importante é quando os vetores u e v estão na mesma direção. Como sen 0 = sen 180 = 0, o produto vetorial de dois vetores paralelos é 0. Para demonstrar a propriedade (2.20f), calculamos o determinante envolvido det u; v; u ×v = u1 v1 u2v3 u3v2 u2 v2 u3v1 u1v3 u3 v3 u1v2 u2v1 = u12v 22 u 1u2v1v2 + u32v 12 u 1u3v1v3 + u22v 32 u 2u3v2v3 u1u2v1v2 u22v 12 u 1u3v1v3 u12v 32 u 2u3v2v3 u32v 22


PIC

Figura 2.5: Regra da mão direita.


Agora basta observar que esta expressão é idêntica a (2.22), ou seja, u ×v2 e portanto o determinante det u; v; u ×v é positivo.

A importância desta propriedade está no fato que se w = u ×v então o trio de vetores u, v e w forma um sistema dextrogiro. Além disso, por causa da propriedade (2.20d), w deve ser ortogonal tanto aos vetores u, v. Finalmente, observando a propriedade da norma (2.20e), podemos estabelecer a seguinte identidade para o produto vetorial de dois vetores não colineares u e v:

u ×v = uv sen u,vê (2.23)

onde o versor ê é ortogonal ao plano gerado por u e v e forma um sistema dextrogiro com eles.


PIC

Figura 2.6: Interpretação geométrica do produto vetorial.


A norma do produto vetorial entre os vetores u e v pode ser interpretada como a área do paralelogramo cujos lados são u e v (ver figura 2.6. A direção do produto vetorial é então ortogonal ao plano gerado por u e v e o sentido é dado pela regra da mão direita.

A definição de produto vetorial dada em (2.19) pode ser mais facilmente lembrada através do seguinte determinante formal:

u×v = i j k u 1 u2 u3 v 1 v2 v3 (2.24)

que pode ser calculado pela regra de Sarrus.

O produto vetorial entre os vetores unitários i, j e k pode ser obtido da definição (2.19) ou da caracterização geométrica do produto vetorial:

i ×i = 0, i ×j = k, i ×k = j j ×i = k, j ×j = 0, j ×k = i k ×i = j, k ×j = i, k ×k = 0 (2.25)

Exercícios resolvidos


E 2.4.2. Seja u = i + 2j e v = 3i 2j, calcule o vetor w = u ×v.

Solução. Primeira forma: Calcularemos primeiramente usando o determinante (2.24): w = i j k u 1 u2 u3 v 1 v2 v3 = i j k 1 2 0 3 2 0 = i(0 0) + j(0 0) + k(2 6) = 8k

Segunda forma: Calcularemos usando as propriedades (2.20) e as relações (2.25): w = u ×v = i + 2j × 3i 2j = 3(i ×i) 2(i ×j) + 6(j ×i) 4(j ×j) = 30 2k 6k 40 = 8k

Esta seção carece de exercícios resolvidos. Clique em e inicie a editá-la agora mesmo. Veja outras formas de participar clicando aqui.

Exercícios


Esta seção carece de exercícios. Clique em e inicie a editá-la agora mesmo. Veja outras formas de participar clicando aqui.

E 2.4.3. Refaça os exercícios 2.3.6 e 2.3.7 usando o conceito de produto vetorial.

E 2.4.4. Encontre três vetores u, v e w tais que u × v ×w u ×v ×w.

Exemplo de resposta: u = i, v = i e w = k.

E 2.4.5. Simplifique as seguintes expressões:

  • u ×u
  • u ×û
  • u u
  • u û
  • u + v u + v
  • u + v × u + v
  • u v u v
  • u v × u v
  • u + v u v
  • u + v × u v

Resp: 0,0,u2,u,u2 + 2u v + v2, 0, u2 2u v + v2, 0, u2 v2, 2v ×u

E 2.4.6. Mostre que u v ×w = det u; v; w. Conclua que o trio de vetores u, v e w forma um sistema dextrogiro se u v ×w > 0 e levogiro se u v ×w < 0. Interprete geometricamente.

Creative Commons License Este texto é disponibilizado nos termos da licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada (CC-BY-SA 3.0). Página gerada em 3/8/2018 às 12:46:51.

Informe erros ou edite você mesmo!