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Cálculo de funções de várias variáveis - Um Livro Colaborativo

2.6 Sistema de coordenadas cilíndricas

PIC

Figura 2.8: Representação de um ponto de coordenadas cilíndricas.

No sistema de coordenadas cilíndricas, um ponto P é representado pelas coordenadas ρ, 𝜃 e z. A coordenada z é a mesma do sistema de coordenadas retangulares. A coordenada ρ indica a distância entre a origem e a projeção P′ de P sob o eixo xy. Finalmente 𝜃 é o ângulo entre o semi-eixo x > 0 e o ponto P′. Ver figura 3.8. É fácil ver que

x = ρ cos ⁡ 𝜃 (2.31a) y = ρ sen ⁡ 𝜃 (2.31b)

onde

ρ = x2 + y2 (2.32)

A coordenadas ρ, 𝜃 e z são comumente denominadas, respectivamente, de “distância radial”, “azimute” e “altura”.

As equações (3.31) podem ser reescritas como

cos ⁡ 𝜃 = x ρ = x x2 + y2 (2.33a) sen ⁡ 𝜃 = y ρ = y x2 + y2 (2.33b)

E 2.6.1. Os seguintes pontos são dados em coordenadas cartesianas, encontre suas representações em coordenas cilíndricas:

  • 1,1,1
  • 1, − 1,1
  • −1,1,1
  • −1, − 1,1

Resp: 2,π 4 ,1, 2,5π 4 ,1, 2,3π 4 ,1 e 2,7π 4 ,1.

E 2.6.2. Encontre uma expressão para distância de um ponto à origem em coordenadas cilíndricas

Resp: ρ2 + z2

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