Vetores e escalares

Cálculo de funções de várias variáveis - Um Livro Colaborativo

3.1 Vetores e escalares

Na álgebra linear, vetores são deﬁnidos de forma abstrata como os elementos de um espaço vetorial. Os vetores são, então, os elementos de um conjunto em que estão deﬁnidas duas operações: a soma de vetores e o produto de vetores por escalares obedecendo as propriedades (3.1). Um escalar é um número real ou complexo. Quando o corpo de escalares é o conjunto dos números reais, então dizemos que o espaço vetorial é real. Quando o corpo de escalares é o conjunto dos números complexos, dizemos que o espaço vetorial é complexo. Usaremos uma letra latina com uma seta para denotar vetores ( $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e $\vec{w}$ ). Para que um espaço vetorial esteja bem deﬁnido, as seguinte propriedades devem ser satisfeitas:

\begin{align} \vec{u} + \vec{v} & = \vec{v} + \vec{u}, & (Comutatividade da soma) & (3.1a) \\ \vec{u} + (\vec{v} + \vec{w}) & = (\vec{v} + \vec{u}) + \vec{w}, & (Associatividade da soma) & (3.1b) \\ (α + β) \vec{u} & = α \vec{u} + β \vec{u}, & (Distributividade da multiplicação) & (3.1c) \\ α (\vec{u} + \vec{v}) & = α \vec{u} + α \vec{v}, & (Distributividade da soma) & (3.1d) \\ α (β \vec{u}) & = (α β) \vec{u}, & (3.1e) \\ \vec{0} + \vec{v} & = \vec{v}, & (Existência do vetor nulo) & (3.1f) \\ 0 \vec{v} & = \vec{0}, & (3.1g) \\ 1 \vec{v} & = \vec{v} . & (Elemento neutro) & (3.1h) \end{align}

Observação 3.1.1. O vetor nulo $\vec{0}$ e escalar nulo $0$ são entidades matemáticas distintas e não devem ser confundidas.

Observação 3.1.2. Observamos que a propriedade associativa dada por (3.1b) permite que se escreve a soma de três vetores $\vec{u} + \vec{v} + \vec{w}$ sem risco de ambiguidade. A propriedade (3.1e) é algumas vez chamada de associatividade, no entanto, é cauteloso observar que ela não estabelece a associatividade de uma operação, já que o produto de escalares é uma operação distinta do produto de um escalar por um vetor. A propriedade (3.1f) garante a existência de um vetor nulo que funciona com um elemento neutro da soma vetorial.

A subtração de dois vetores é deﬁnida por

\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (- 1) \vec{v} .

(3.2)

O vetor $(- 1) \vec{v}$ é também denotado por $- \vec{v}$ e tem a seguinte propriedade:

\vec{v} + (- \vec{v}) = \vec{v} + (- 1) \vec{v} = (1 - 1) \vec{v} = 0 \vec{v} = \vec{0} .

(3.3)

Um conjunto de vetores ${{\vec{v}}_{1}, {\vec{v}}_{2}, \dots, {\vec{v}}_{n}}$ é dito linearmente dependente (LD), se existem escalares ${α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}}$ com pelo menos um $α_{i} \neq 0$ tal que $\sum_{i = 1}^{n} α_{i} {\vec{v}}_{i} = \vec{0}$

Analogamente, um conjunto de vetores ${{\vec{v}}_{1}, {\vec{v}}_{2}, \dots, {\vec{v}}_{n}}$ é dito linearmente independente (LI) se a identidade $\sum_{i = 1}^{n} α_{i} {\vec{v}}_{i} = \vec{0}$

implica necessariamente que $α_{1} = α_{2} = \dots = α_{n} = 0 .$

Um conjunto de vetores LI $B = {{\vec{e}}_{1}, {\vec{e}}_{2}, \dots, {\vec{e}}_{n}}$ é dito uma base para um espaço vetorial $V$ se todo vetor $\vec{v} \in V$ pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores de $B$ : $\vec{v} = \sum_{i = 1}^{n} α_{i} {\vec{e}}_{i} .$

Um espaço vetorial é dito de dimensão ﬁnita se admite uma base composta por um número ﬁnito de elementos.

Teorema 3.1.1. Seja $V$ um espaço vetorial e $E = {{\vec{e}}_{1}, {\vec{e}}_{2}, \dots, {\vec{e}}_{n}}$ e $F = {{\vec{f}}_{1}, {\vec{f}}_{2}, \dots, {\vec{f}}_{m}}$ duas bases de $V$ . Então $n = m$ . Em outras palavras, todas as bases de espaço linear de dimensão ﬁnita têm o mesmo número de elementos.

A importância deste teorema reside no fato de permitir a deﬁnição de dimensão de um espaço vetorial como sendo o número de elementos de uma base. Esta deﬁnição está bem posta, uma vez que este número independe da escolha de base.

Outro conceito importante em espaços reais de dimensão ﬁnita é o de orientação de uma base. O leitor já deve estar familiarizado com o conceito de orientação dextrogira e levogira (regra da mão direita e esquerda) no espaço tridimensional. No entanto este conceito pode ser estendido de forma natural para espaços reais de n-dimensões. Formalmente falando duas bases $B_{1}$ e $B_{2}$ têm a mesma orientação se o determinante da transformação linear que liga $B_{1}$ a $B_{2}$ é positivo.

O espaço vetorial real de $n$ dimensões é denotado $ℝ^{n}$ .

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