Comprimento de arco

Cálculo vetorial - Um Livro Colaborativo

2.2 Comprimento de arco

Dada uma curva parametrizada pela função vetorial $\vec{r} (t) = x (t) \vec{i} + y (t) \vec{j} + z (t) \vec{k}$ , $t \in [a, b]$ , estamos interessados no problema de calcular o comprimento $L$ do arco de descrito por uma curva $\vec{r} (t)$ , $a \leq t \leq b$ .

Figura 2.3: Aproximação poligonal do comprimento do arco

Seja $a = t_{0} < t_{1} < t_{2} < \dots < t_{n} = b$ uma partição equidistante do domínio com $Δ t = t_{i} - t_{i - 1}$ e $P_{i} = \vec{r} (t_{i})$ , $i = 0, 1, \dots, n$ , pontos sobre a curva, como mostra a ﬁgura 2.3. Uma possível aproximação para o comprimento da curva é dado pelo comprimento da poligonal determinada por essa partição. Observe que o comprimento do segmento $P_{i - 1} P_{i}$ é dado por $∥ P_{i} - P_{i - 1} ∥$ , logo, a aproximação para o comprimento da curva é

\begin{array}{rcl} L_{n} & = & \sum_{i = 1}^{n} ∥ P_{i} - P_{i - 1} ∥ \\ = & \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{{(x_{i} - x_{i - 1})}^{2} + {(y_{i} - y_{i - 1})}^{2} + {(z_{i} - z_{i - 1})}^{2}} \\ = & \sum_{i = 1}^{n} Δ t \sqrt{\frac{{(x_{i} - x_{i - 1})}^{2}}{{(Δ t)}^{2}} + \frac{{(y_{i} - y_{i - 1})}^{2}}{{(Δ t)}^{2}} + \frac{{(z_{i} - z_{i - 1})}^{2}}{{(Δ t)}^{2}}} \\ = & \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{{(\frac{x_{i} - x_{i - 1}}{Δ t})}^{2} + {(\frac{y_{i} - y_{i - 1}}{Δ t})}^{2} + {(\frac{z_{i} - z_{i - 1}}{Δ t})}^{2}} Δ t . \end{array}

Naturalmente, $L = \lim_{n \to \infty} L_{n}$ . Como o lado direito da última igualdade é uma soma de Riemann, temos:

L = \int_{a}^{b} \sqrt{{(\frac{d x (t)}{d t})}^{2} + {(\frac{d y (t)}{d t})}^{2} + {(\frac{d z (t)}{d t})}^{2}} d t = \int_{a}^{b} ∥\frac{d \vec{r} (t)}{d t}∥ d t .

(2.5)

Logo, o comprimento do arco $s$ quando a parâmetro corre de $a$ até $t$ é

s (t) = \int_{a}^{t} ∥\frac{d \vec{r} (τ)}{d t}∥ d τ, a \leq t \leq b .

(2.6)

Exercícios resolvidos

ER 2.2.1. Calcule o comprimento de arco da curva parametrizada $\vec{r} (t) = t \vec{i} + t^{2} \vec{j}$ , deﬁnida para $- 2 \leq t \leq 2$ .

Figura 2.4: (esq) Curva do exercício ER 2.2.1; (dir) curva do exercício E 2.2.2.

Solução. A curva é um arco da parábola

y = x^{2}

, e pode ser visualizada na ﬁgura 2.4.

Calculamos a derivada $\frac{d \vec{r}}{d t} = \vec{i} + 2 t \vec{j}$ e portanto:

L = \int_{- 2}^{2} \sqrt{4 t^{2} + 1} d t = 2 \int_{0}^{2} \sqrt{4 t^{2} + 1} d t .

Com a mudança de variável $2 t = \tan (u), 0 \leq u \leq α$ , onde $α = \arctan (4)$ temos $2 d t = \sec^{2} (u) d u$ e então

\begin{array}{rcl} L & = & \int_{0}^{α} | \sec (u) | \sec^{2} (u) d u = \int_{0}^{α} \sec^{3} (u) d u \\ = & {[\frac{\sec (u) \tan (u) + \ln | \sec (u) + \tan (u) |}{2}]}_{0}^{\arctan (4)} . \end{array}

Assim obtemos:

L = 2 \sqrt{17} + \frac{\ln (4 + \sqrt{17})}{2} .

$♢$

ER 2.2.2. Calcule comprimento de arco da curva parametrizada $\vec{r} (t) = 5 (1 - t^{2}) \vec{i} + 4 t^{5 ∕ 2} \vec{j} + 5 t^{2} \vec{k}$ , deﬁnida para $0 \leq t \leq 1$ . Essa curva pode ser visualizada na ﬁgura 2.4.

Solução. Calculamos a derivada

\frac{d \vec{r}}{d t} = - 10 t \vec{i} + 10 t^{3 ∕ 2} \vec{j} + 10 t \vec{k}

e portanto:

\begin{array}{rcl} L & = & \int_{0}^{1} \sqrt{100 t^{3} + 100 t^{2} + 100 t^{2}} d t = 10 \int_{0}^{1} t \sqrt{t + 2} d t \\ = & 10 \int_{2}^{3} (s - 2) s^{1 ∕ 2} d s = 10 \int_{2}^{3} (s^{3 ∕ 2} - 2 s^{1 ∕ 2}) d s \\ = & \frac{32}{3} \sqrt{2} - 4 \sqrt{3} . \end{array}

$♢$

Exercícios

E 2.2.1. Calcule o comprimento de arco da curva parametrizada $\vec{r} (t) = (1 + t) \vec{i} + (1 - t^{2}) \vec{j}$ , deﬁnida para $- 1 \leq t \leq 1$ .

Resposta.

L = \sqrt{5} + \frac{\ln (\sqrt{5} + 2)}{2}

E 2.2.2. Calcule o comprimento de arco da curva parametrizada $\vec{r} (t) = (1 - t^{2}) \vec{i} + (t^{2} + t^{3}) \vec{j} + (1 + t^{2} - t^{3}) \vec{k}$ , deﬁnida para $0 \leq t \leq 1$ .

Resposta.

L = \frac{5 \sqrt{30} - 4 \sqrt{3}}{9}

E 2.2.3. Calcule o comprimento de arco da curva parametrizada $\vec{r} (t) = 2 t^{3} \vec{i} + (1 - t^{3} + 2 t^{9 ∕ 2}) \vec{j} + (t^{3} + 2 t^{9 ∕ 2}) \vec{k}$ , deﬁnida para $0 \leq t \leq 1$ .

Resposta.

L = \frac{14 \sqrt{6}}{9} .

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