10.12 Método de Adams-Moulton para sistemas lineares

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Esquemas implícitos como o de Adams-Moulton apresentam a dificuldade adicional de necessitar do valor de $f\left(t^{\left(n+1\right)},u^{\left(n+1\right)}\right)$ para calcular o valor de $u^{\left(n+1\right)}$. Pelo menos para sistemas lineares, o método pode ser explicitado. Seja o seguinte problema de valor inicial linear: $$\begin{array}{rcll}{u}^{\prime }\left(t\right)& =& Au\left(t\right)+g\left(t\right),& \text{(10.344)}\\ u\left(t^{\left(1\right)}\right)& =& a.& \text{(10.345)}\end{array}$$

Onde $u\left(t\right)$ é um vetor de n entradas e $A$ é uma matriz $n\times n$.

Considere agora o esquema de Adams-Moulton dado na Equação (10.302) com $f\left(t,u\right)=Au+g\left(t\right)$: $$\begin{array}{rcll}{u}^{\left(n+s\right)}& =& u^{\left(n+s-1\right)}+h\sum _{j=0}^s{\beta }_j\left[A{u}^{\left(n+j\right)}+g\left(t^{\left(n+j\right)}\right)\right]& \text{(10.346)}\end{array}$$

o que pode ser escrito como: $$\begin{array}{rcll}\left(I_d-h{\beta }_{s}A\right)u^{\left(n+s\right)}& =& u^{\left(n+s-1\right)}+h\sum _{j=0}^{s-1}{\beta }_j\left[A{u}^{\left(n+j\right)}+g\left(t^{\left(n+j\right)}\right)\right]& \\ & +& h{\beta }_{s}g\left(t^{\left(n+s\right)}\right)& \text{(10.347)}\end{array}$$

onde $I_d$ é matriz identidade $n\times n$. O sistema linear envolvido em (10.347) pode ser resolvido sempre que $I_d-h{\beta }_{s}A$ for inversível, o que sempre acontece quando $h$ é suficientemente pequeno.

Exercícios resolvidos

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Exercícios

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