Exemplo 10.15.1 (Expressão analítica). A solução do problema de valor inicial estudado no Exercício Resolvido 10.2.1 dado por: $$\begin{array}{rcll}{u}^{\prime }\left(t\right)& =& -0,5u\left(t\right)+2+t,& \text{(10.372)}\\ u\left(0\right)& =& 8,& \text{(10.373)}\end{array}$$

admite uma solução em forma de expressão analítica dada por:

$$u\left(t\right)=2t+8e^{-t∕2}.$$

(10.374)

Exemplo 10.15.2 (Expressão envolvendo funções especiais). A solução do problema de valor inicial dado por: $$\begin{array}{rcll}{u}^{\prime }\left(t\right)& =& -u^3\left(t\right)+u^2\left(t\right)& \text{(10.375)}\\ u\left(0\right)& =& \frac{1}{2}& \text{(10.376)}\end{array}$$

é dada na forma: $$\begin{array}{rcll}u\left(t\right)=\frac{1}{1+W\left(e^{1-t}\right)}& & & \text{(10.377)}\end{array}$$

onde $W$ é a função de Lambert é a função inversa de $f\left(y\right)=y{e}^y$, onde $y=W\left(x\right)$.

Exemplo 10.15.3 (Expressão matemática semi-analítica). A solução do problema de valor inicial dado por: $$\begin{array}{rcll}{u}^{\left(5\right)}& +& a{u}^{\left(4\right)}+b{u}^{‴}\left(t\right)+c{u}^{″}\left(t\right)+d{u}^{\prime }\left(t\right)+u\left(t\right)=1& \text{(10.378)}\\ u^{\left(4\right)}\left(0\right)& =& u^{‴}\left(0\right)=u^{″}\left(0\right)=u^{\prime }\left(0\right)=u\left(0\right)& \text{(10.379)}\end{array}$$

é dada na forma: $$\begin{array}{rcll}u\left(t\right)=1+A{e}^{r_{1}t}+B{e}^{r_{2}t}+C{e}^{r_{3}t}+D{e}^{r_{4}t}+E{e}^{r_{5}t}& & & \text{(10.380)}\end{array}$$

onde $r_1$, $r_2$, $r_3$, $r_4$ e $r_5$ são as raízes do polinômio característico

$$p\left(x\right)=x^5+a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+1,$$

(10.381)

cujas raízes, salvo casos particulares, só pode ser obtida por aproximações numéricas.

Exemplo 10.15.4 (Solução numérica com reformulação analítica prévia). A solução do problema de valor inicial dado por: $$\begin{array}{rcll}{u}^{\prime }\left(t\right)& =& u^3\left(t\right)+u^2\left(t\right)+u\left(t\right)+1& \text{(10.382)}\\ u\left(0\right)& =& 0& \text{(10.383)}\end{array}$$

é dada na forma: $$\begin{array}{rcll}ln\left(\frac{{\left(u\left(t\right)+1\right)}^2}{u{\left(t\right)}^2+1}\right)+2arctan\left(u\left(t\right)\right)=4t& & & \text{(10.384)}\end{array}$$

Esta analítica estabelece uma relação funcional implícita entre $t$ e $u\left(t\right)$, no entanto, é necessário resolver uma equação algébrica não-linear para cada $t$. Ainda assim, pode ser um excelente benchmark, pois o valor de $u\left(t\right)$ é dado explicitamente em função de $t$, isto é, podemos ver $t$ como uma função de $u$. Por exemplo, é fácil descobrir que $u=1$ quando $t=\frac{ln\left(2\right)}{4}+\frac{\pi }{8}\approx 0.5659858768387104$. Além disso tomando o limite $u\to +\infty$, descobrimos que $u\left(t\right)$ tende a infinito quando $t\to \frac{\pi }{4}-$.

Exemplo 10.15.5 (Solução numérica com reformulação analítica prévia). A solução do problema de valor inicial dado por: $$\begin{array}{rcll}{u}^{\prime }\left(t\right)& =& \left[cos\left(u\left(t\right)\right)+u\left(t\right)\right]\left(1+cos\left(t\right)\right)& \text{(10.385)}\\ u\left(0\right)& =& 0& \text{(10.386)}\end{array}$$

é dada na forma: $$\begin{array}{rcll}{\int \; <!--nolimits-->}_0^{y\left(t\right)}\frac{d\tau }{cos\left(\tau \right)+\tau }=t+sen\left(t\right)& & & \text{(10.387)}\end{array}$$

Esta expressão reformula o problema como uma equação integral em $y\left(t\right)$. Esta nova reformulação pode ser bastante útil para produzir resultados de benchmark se fixamos o forma de $y\left(t\right)$, usamos uma técnica de quadratura númerica de boa qualidade para aproximar a integral do lado esquerdo da equação. Por exemplo, escolhendo $t\left(y\right)=100$, temos: $$\begin{array}{rcll}{\int \; <!--nolimits-->}_0^{100}\frac{d\tau }{cos\left(\tau \right)+\tau }=5,574304717298400& & & \text{(10.388)}\end{array}$$

Resolvendo a equação algébrica

$$t+sen\left(t\right)=5,574304717298400,$$

(10.389)

obtemos:

$$t=5,924938036503083.$$

(10.390)

A tabela a seguir mostra os valores de $y\left(t\right)$ para $t=5,924938036503083$ obtidos por quatro métodos de quarta-ordem: Runge-Kutta clássico, Adams-Bashforth, preditor-corretor com Adams-Bashforth quarta ordem e Adams-Moulton quarta ordem e Adams-Moulton. Os últimos três métodos foram inicializados com Runge-Kutta clássico de quarta ordem.

Para $h=10^{-6}$, todos os quatro métodos produzem o resultado $99,99999287$.