Matrizes

Cálculo Numérico - Versão Python

A.3 Matrizes

Em Python, temos um ótimo suporte para computação científica com o pacote numpy. Uma matriz $A = {[a_{i, j}]}_{i, j = 1}^{m, n}$ em Python é definida usando-se a seguinte sintaxe:

>>> import numpy as np
>>> A = np.array([[ a11 , a12 , ... , a1n], [...]. [am1 , am2 , ... , amn]])

Exemplo A.3.1. Defina a matriz:

A = [\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix}]

(A.1)

Solução. Em Python, digitamos:

>>> import numpy as np
>>> A = np.array([[1,2,3],
... [4,5,6]])
>>> print(A)
[[1 2 3]
[4 5 6]]

$♢$

A seguinte lista contém uma série de funções que geram matrizes particulares:

numpy.eye      matriz identidade
numpy.linspace vetor de elementos linearmente espaçados
numpy.ones     matriz cheia de uns
numpy.zeros    matriz nula

A.3.1 Obtendo dados de uma matriz

A função numpy.shape retorna o tamanho de uma matriz, por exemplo:

>>> A = np.ones((3,2))
>>> print(A)
[[ 1.  1.]
[ 1.  1.]
[ 1.  1.]]
>>> nl, nc = np.shape(A)
>>> print(nl,nc)
(3, 2)

informando que a matriz A tem três linhas e duas colunas.

Existem vários métodos para acessar os elementos de uma matriz dada A:

a matriz inteira acessa-se com a sintaxe:
A
o elemento da $i$ -ésima linha e $j$ -ésima coluna acessa-se usando a sintaxe:
A[i,j]
o bloco formado pelas linhas $i_{1}$ , $i_{2}$ e pelas colunas $j_{1}$ , $j_{2}$ obtém-se usando a sintaxe:
A[i1:i2, j1:j2]

Exemplo A.3.2. Veja as seguintes linhas de comando:

>>> from numpy import random
>>> A = np.random.random((3,4))
>>> A
array([[ 0.39235668,  0.30287204,  0.24379253,  0.98866709],
       [ 0.72049734,  0.99300252,  0.14232844,  0.25604346],
       [ 0.61553036,  0.80615392,  0.22418474,  0.13685148]])
>>> A[2,3]
0.13685147547025989
>>> A[1:3,1:4]
array([[ 0.99300252,  0.14232844,  0.25604346],
       [ 0.80615392,  0.22418474,  0.13685148]])

Definida uma matriz $A$ em Python, as seguintes sintaxes são bastante úteis:

A[:,:]   toda a matriz
A[i:j,k] os elementos das linhas i até j (exclusive) da k-ésima coluna
A[i,j:k] os elementos da i-ésima linha das colunas j até k (exclusive)
A[i,:]   a i-ésima linha da matriz
A[:,j]   a j-ésima coluna da matriz

Atenção, os índices em Python iniciam-se em $0$ . Assim, o comando A[1:3,1:4] retorna o bloco da matriz $A$ compreendido da segunda à terceira linha e da segunda a quarta coluna desta matriz.

Exemplo A.3.3. Veja as seguintes linhas de comando:

>>> B = np.random.random((4,4))
>>> B
array([[ 0.94313432,  0.72650883,  0.55487089,  0.18753526],
       [ 0.02094937,  0.45726099,  0.51925464,  0.8535878 ],
       [ 0.75948469,  0.95362926,  0.77942318,  0.06464183],
       [ 0.91243198,  0.22775889,  0.04061536,  0.14908227]])
>>> aux = np.copy(B[:,2])
>>> B[:,2] = np.copy(B[:,3])
>>> B[:,3] = np.copy(aux)
>>> B
array([[ 0.94313432,  0.72650883,  0.18753526,  0.55487089],
       [ 0.02094937,  0.45726099,  0.8535878 ,  0.51925464],
       [ 0.75948469,  0.95362926,  0.06464183,  0.77942318],
       [ 0.91243198,  0.22775889,  0.14908227,  0.04061536]])

A.3.2 Operações matriciais e elemento-a-elemento

Em Python com numpy, o operador * opera elemento a elemento. Por exemplo:

>>> A = np.array([[1,2],[2,1]]); print(A)
[[1 2]
[2 1]]
>>> B = np.array([[2,1],[2,1]]); print(B)
[[2 1]
[2 1]]
>>> print(A*B)
[[2 2]
[4 1]]

A multiplicação matricial obtemos com:

>>> C = A.dot(B)
>>> print(C)
[[6 3]
[6 3]]

Aqui, temos as sintaxes análogas entre operações elemento-a-elemento:

+ adição
- subtração
* multiplicação
/ divisão
** potenciação

Exemplo A.3.4. Veja as seguintes linhas de comando:

>>> A = np.ones((2,2))
>>> A
array([[ 1.,  1.],
       [ 1.,  1.]])
>>> B = 2 * np.ones((2,2))
>>> B
array([[ 2.,  2.],
       [ 2.,  2.]])
>>> A*B
array([[ 2.,  2.],
       [ 2.,  2.]])
>>> A.dot(B)
array([[ 4.,  4.],
       [ 4.,  4.]])
>>> A/B
array([[ 0.5,  0.5],
       [ 0.5,  0.5]])

Este texto é disponibilizado nos termos da licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada (CC-BY-SA 3.0). Página gerada em 19/8/2020 às 17:36:36.

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