10.3 Método de Euler melhorado

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O método de Euler estudado na Seção 10.2 é aplicação bastante restrita devido à sua pequena precisão, isto é, normalmente precisamos escolher um passo $h$ muito pequeno para obter soluções de boa qualidade, o que implica um número elevado de passos e, consequentemente, alto custo computacional.

Nesta seção, contruiremos o método de Euler melhorado ou método de Euler modificado ou, ainda, método de Heun. Para tal, considere o problema de valor inicial dado por:

$$\begin{array}{cc}\begin{array}{rl}{u}^{\prime }\left(t\right)& =f\left(t,u\left(t\right)\right),t>t^{\left(1\right)}\\ u\left(t^{\left(1\right)}\right)& =a.\end{array}& \end{array}$$

(10.45)

Assim como fizemos para o método de Euler, integramos (10.45) de $t^{\left(1\right)}$ até $t^{\left(2\right)}$ e obtemos: $$\begin{array}{rcll}{\int \; <!--nolimits-->}_{t^{\left(1\right)}}^{t^{\left(2\right)}}{u}^{\prime }\left(t\right)dt& =& {\int \; <!--nolimits-->}_{t^{\left(1\right)}}^{t^{\left(2\right)}}f\left(t,u\left(t\right)\right)dt& \text{(10.46)}\\ u\left(t^{\left(2\right)}\right)-u\left(t^{\left(1\right)}\right)& =& {\int \; <!--nolimits-->}_{t^{\left(1\right)}}^{t^{\left(2\right)}}f\left(t,u\left(t\right)\right)dt& \text{(10.47)}\\ u\left(t^{\left(2\right)}\right)& =& u\left(t^{\left(1\right)}\right)+{\int \; <!--nolimits-->}_{t^{\left(1\right)}}^{t^{\left(2\right)}}f\left(t,u\left(t\right)\right)dt& \text{(10.48)}\end{array}$$

A invés de aproximar $f\left(t,u\left(t\right)\right)$ como uma constante igual ao seu valor em $t=t^{\left(1\right)}$, aplicamos a regra do trapézio (ver 9.2.2) à integral envolvida no lado direito da expressão, isto é:

$${\int \; <!--nolimits-->}_{t^{\left(1\right)}}^{t^{\left(2\right)}}f\left(t,u\left(t\right)\right)dt=\left[\frac{f\left(t^{\left(1\right)},u\left(t^{\left(1\right)}\right)\right)+f\left(t^{\left(2\right)},u\left(t^{\left(2\right)}\right)\right)}{2}\right]h+O\left(h^3\right)$$

(10.49)

onde $h=t^{\left(2\right)}-t^{\left(1\right)}$. Como o valor de $u\left(t^{\left(2\right)}\right)$ não é conhecido antes de o passo ser realizado, aproximamos seu valor aplicando o método de Euler: $$\begin{array}{rcll}ũ\left(t^{\left(2\right)}\right)=u\left(t^{\left(1\right)}\right)+hf\left(t^{\left(1\right)},u\left(t^{\left(1\right)}\right)\right)& & & \text{(10.50)}\end{array}$$

Assim obtemos: $$\begin{array}{rcll}u\left(t^{\left(2\right)}\right)& =& u\left(t^{\left(1\right)}\right)+{\int \; <!--nolimits-->}_{t^{\left(1\right)}}^{t^{\left(2\right)}}f\left(t,u\left(t\right)\right)dt& \text{(10.51)}\\ & \approx & u\left(t^{\left(1\right)}\right)+\left[\frac{f\left(t^{\left(1\right)},u\left(t^{\left(1\right)}\right)\right)+f\left(t^{\left(2\right)},u\left(t^{\left(2\right)}\right)\right)}{2}\right]h& \text{(10.52)}\\ & \approx & u\left(t^{\left(1\right)}\right)+\left[\frac{f\left(t^{\left(1\right)},u\left(t^{\left(1\right)}\right)\right)+f\left(t^{\left(2\right)},ũ\left(t^{\left(2\right)}\right)\right)}{2}\right]h& \text{(10.53)}\\ & & & \text{(10.54)}\end{array}$$

Portanto, o método recursivo de Euler melhorado assume a seguinte forma:

$$\begin{array}{cc}\begin{array}{rl}{ũ}^{\left(k+1\right)}& =u^{\left(k\right)}+hf\left(t^{\left(k\right)},u^{\left(k\right)}\right),\\ u^{\left(k+1\right)}& =u^{\left(k\right)}+\frac{h}{2}\left(f\left(t^{\left(k\right)},u^{\left(k\right)}\right)+f\left(t^{\left(k+1\right)},{ũ}^{\left(k+1\right)}\right)\right),\\ u^{\left(1\right)}& =a(condiçãoinicial).\end{array}& \end{array}$$

(10.55)

Que pode ser escrito equivalentemente como:

$$\begin{array}{cc}\begin{array}{rl}{k}_1& =f\left(t^{\left(k\right)},u^{\left(k\right)}\right),\\ k_2& =f\left(t^{\left(k+1\right)},u^{\left(k\right)}+k_1\right),\\ u^{\left(k+1\right)}& =u^{\left(k\right)}+h\frac{k_1+k_2}{2},\\ u^{\left(1\right)}& =a(condiçãoinicial).\end{array}& \end{array}$$

(10.56)

Aqui $k_1$ e $k_2$ são variáveis auxiliares que representam as inclinações e devem ser calculadas a cada passo. Esta notação é compatível com a notação usada nos métodos de Runge-Kutta, uma família de esquemas iterativos para aproximar problemas de valor inicial, da qual o método de Euler e o método de Euler melhorado são casos particulares. Veremos os métodos de Runge-Kutta na Seção 10.7.

Exercícios Resolvidos

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Exercícios

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