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Cálculo Numérico - Versão Scilab

2.8 Condicionamento de um problema


Nesta seção, utilizaremos a seguinte descrição abstrata para o conceito de “resolver um problema”: dado um conjunto de dados de entrada, encontrar os dados de saída. Se denotamos pela variável x os dados de entrada e pela variável y os dados de saída, resolver o problema significa encontrar y dado x. Em termos matemáticos, a resolução de um problema é realizada pelo mapeamento f : x y, ou simplesmente y = f(x).

É certo que, na maioria das aplicações, os dados de entrada do problema — isto é, x — não são conhecidos com total exatidão, devido a diversas fontes de erros, como incertezas na coleta dos dados e erros de arredondamento. O conceito de condicionamento está relacionado à forma como os erros nos dados de entrada influenciam os dados de saída.

Para fins de análise, denotaremos por x, os dados de entrada com precisão absoluta e por x*, os dados com erro. Definiremos também a solução y*, do problema com dados de entrada x*, ou seja, y* = f(x*).

Estamos interessados em saber se os erros cometidos na entrada Δx = x - x* influenciaram na saída do problema Δy = y - y*. No caso mais simples, temos que x e y . Assumindo que f seja diferenciável, a partir da série de Taylor

f(x + Δx) f(x) + f(x)Δx (2.121)

obtemos (subtraindo f(x) dos dois lados)

Δy = f(x + Δx) - f(x) f(x)Δx (2.122)

Para relacionarmos os erros relativos, dividimos o lado esquerdo por y, o lado direito por f(x) = y e obtemos

Δy y f(x) f(x) xΔx x (2.123)

sugerindo a definição de número de condicionamento de um problema.

Definição 2.8.1. Seja f uma função diferenciável. O número de condicionamento de um problema é definido como

κf(x) := xf(x) f(x) (2.124)

e fornece uma estimativa de quanto os erros relativos na entrada Δx x serão amplificados na saída Δy y .

De modo geral, quando f depende de várias variáveis, podemos obter

δf = |f(x1,x2,...,xn) - f(x̄1,x̄2,...,x̄n)| i=1n f xi(x1,x2,...,xn) δxi (2.125)

Uma matriz de números de condicionamento também poderia ser obtida como em [5].

Exemplo 2.8.1. Considere o problema de calcular x em x = 2. Se usarmos x* = 1,999, quanto será o erro relativo na saída? O erro relativo na entrada é

Δx x = 2 - 1,999 2 = 0,0005 (2.126)

O número de condicionamento do problema calcular a raiz é

κf(x) := xf(x) f(x) = x 1 2x x = 1 2 (2.127)

Ou seja, os erros na entrada serão diminuídos pela metade. De fato, usando y = 2 = 1,4142136... e y* = 1,999 = 1,41386..., obtemos

Δy y = 2 -1,999 2 0,000250031... (2.128)

Exemplo 2.8.2. Considere a função f(x) = 10 1-x2 e x* = 0,9995 com um erro absoluto na entrada de 0,0001.

Calculando y* = f(x*) temos

y* = 10 1 - (0,9995)2 10002,500625157739705173 (2.129)

Mas qual é a estimativa de erro nessa resposta? Quantos dígitos significativos temos nessa resposta?

Sabendo que f(x) = -20x(1 - x2)2, o número de condicionamento é

κf(x) := xf(x) f(x) = 2x2 1 - x2 (2.130)

o que nos fornece para x* = 0,9995,

κf(0,9995) 1998,5 (2.131)

Como o erro relativo na entrada é

Δx x = 0,0001 0,9995 0,00010005... (2.132)

temos que o erro na saída será aproximadamente

Δy y κf(x) Δx x 1998,5 × 0,00010005... 0,1999 (2.133)

ou seja um erro relativo de aproximadamente 19,99%.

Note que se usarmos x1 = 0,9994 e x2 = 0,9996 (ambos no intervalo do erro absoluto da entrada) encontramos y1* 8335,83 (2.134) y2* 12520,50 (2.135)

confirmando a estimativa de 19,99%.

Exemplo 2.8.3. Seja f(x) = x exp(x). Calcule o erro absoluto ao calcular f(x) sabendo que x = 2 ± 0,05.

Solução. Temos que x 2 com erro absoluto de δx = 0,05. Neste caso, calculamos δf, isto é, o erro absoluto ao calcular f(x), por:

δf = |f(x)|δ x. (2.136)

Como f(x) = (1 + x)ex, temos: δf = |(1 + x)ex| δ x (2.137) = |3e2| 0,05 = 1,1084. (2.138)

Portanto, o erro absoluto ao calcular f(x) quando x = 2 ± 0,05 é de 1,1084.

Exemplo 2.8.4. Calcule o erro relativo ao medir f(x,y) = x2+1 x2 e2y sabendo que x 3 é conhecido com 10% de erro e y 2 é conhecido com 3% de erro.

Solução. Calculamos as derivadas parciais de f:

f x = 2x3 - (2x3 + 2x) x4 e2y = -2e2y x3 (2.139)

e

f y = 2x2 + 1 x2 e2y (2.140)

Calculamos o erro absoluto em termos do erro relativo:

δx |x| = 0,1 δx = 3 0,1 = 0,3 (2.141)
δy |y| = 0,03 δy = 2 0,03 = 0,06 (2.142)

Aplicando a expressão para estimar o erro em f temos δf = f x δx + f y δy (2.143) = 2e4 27 0,3 + 29+1 9 e4 0,06 = 8,493045557 (2.144)

Portanto, o erro relativo ao calcular f é estimado por

δf |f| = 8,493045557 9+1 9 e4 = 14% (2.145)

Exemplo 2.8.5. No exemplo anterior, reduza o erro relativo em x pela metade e calcule o erro relativo em f. Depois, repita o processo reduzindo o erro relativo em y pela metade.

Solução. Na primeira situação temos x = 3 com erro relativo de 5% e δx = 0,05 3 = 0,15. Calculamos δf = 7,886399450 e o erro relativo em f de 13%. Na segunda situação, temos y = 2 com erro de 1,5% e δy = 2 0,015 = 0,03. Calculamos δf = 4,853168892 e o erro relativo em f de 8%. Observe que mesma o erro relativo em x sendo maior, o erro em y é mais significante na função.

Exemplo 2.8.6. Considere um triângulo retângulo onde a hipotenusa e um dos catetos são conhecidos a menos de um erro: hipotenusa a = 3 ± 0,01 metros e cateto b = 2 ± 0,01 metros. Calcule o erro absoluto ao calcular a área dessa triângulo.

Solução. Primeiro vamos encontrar a expressão para a área em função da hipotenusa a e um cateto b. A tamanho de segundo cateto c é dado pelo teorema de Pitágoras, a2 = b2 + c2, ou seja, c = a2 - b2. Portanto a área é

A = bc 2 = ba2 - b2 2 . (2.146)

Agora calculamos as derivadas

A a = ab 2a2 - b2, (2.147)
A b = a2 - b2 2 - b2 2a2 - b2, (2.148)

e substituindo na estimativa para o erro δA em termos de δa = 0,01 e δb = 0,01: δA A a δa + A b δb (2.149) 35 5 0,01 + 5 10 0,01 = 0,01565247584 (2.150)

Em termos do erro relativo temos erro na hipotenusa de 0,01 3 0,333%, erro no cateto de 0,01 2 = 0,5% e erro na área de

0,01565247584 232 -22 2 = 0,7% (2.151)

Exercícios


E 2.8.1. Considere que a variável x 2 é conhecida com um erro relativo de 1% e a variável y 10 com um erro relativo de 10%. Calcule o erro relativo associado a z quando:

z = y4 1 + y4ex. (2.152)

Suponha que você precise conhecer o valor de z com um erro de 0,5%. Você propõe uma melhoria na medição da variável x ou y? Explique.

Resposta. 2%, deve-se melhorar a medida na variável x, pois, por mais que o erro relativo seja maior para esta variável, a propagação de erros através desta variáveis é muito menos importante do que para a outra variável.

E 2.8.2. A corrente I em ampères e a tensão V em volts em uma lâmpada se relacionam conforme a seguinte expressão:

I = V V 0 α, (2.153)

onde α é um número entre 0 e 1 e V 0 é tensão nominal em volts. Sabendo que V 0 = 220 ± 3% e α = -0,8 ± 4%, calcule a corrente e o erro relativo associado quando a tensão vale 220 ± 1%.
Obs:. Este problema pode ser resolvido de duas formas distintas: usando a expressão aproximada para a propagação de erro e inspecionando os valores máximos e mínimos que a expressão pode assumir. Pratique os dois métodos.Dica: lembre que xα = eα ln(x)

Resposta. 3,2% pela aproximação ou 3,4% pelo segundo método, isto é, 0,96758 I 1,0342.

Creative Commons License Este texto é disponibilizado nos termos da licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada (CC-BY-SA 3.0). Página gerada em 30/7/2018 às 13:16:34.

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