2.8 Condicionamento de um problema

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Nesta seção, utilizaremos a seguinte descrição abstrata para o conceito de “resolver um problema”: dado um conjunto de dados de entrada, encontrar os dados de saída. Se denotamos pela variável $x$ os dados de entrada e pela variável $y$ os dados de saída, resolver o problema significa encontrar $y$ dado $x$. Em termos matemáticos, a resolução de um problema é realizada pelo mapeamento $f:x\to y$, ou simplesmente $y=f\left(x\right)$.

É certo que, na maioria das aplicações, os dados de entrada do problema — isto é, $x$ — não são conhecidos com total exatidão, devido a diversas fontes de erros, como incertezas na coleta dos dados e erros de arredondamento. O conceito de condicionamento está relacionado à forma como os erros nos dados de entrada influenciam os dados de saída.

Para fins de análise, denotaremos por $x$, os dados de entrada com precisão absoluta e por $x^{\ast }$, os dados com erro. Definiremos também a solução $y^{\ast }$, do problema com dados de entrada $x^{\ast }$, ou seja, $y^{\ast }=f\left(x^{\ast }\right)$.

Estamos interessados em saber se os erros cometidos na entrada $\Delta x=x-x^{\ast }$ influenciaram na saída do problema $\Delta y=y-y^{\ast }$. No caso mais simples, temos que $x\in ℝ$ e $y\in ℝ$. Assumindo que $f$ seja diferenciável, a partir da série de Taylor

$$f\left(x+\Delta x\right)\approx f\left(x\right)+f^{\prime }\left(x\right)\Delta x$$

(2.121)

obtemos (subtraindo $f\left(x\right)$ dos dois lados)

$$\Delta y=f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)\approx f^{\prime }\left(x\right)\Delta x$$

(2.122)

Para relacionarmos os erros relativos, dividimos o lado esquerdo por $y$, o lado direito por $f\left(x\right)=y$ e obtemos

$$\frac{\Delta y}{y}\approx \frac{f^{\prime }\left(x\right)}{f\left(x\right)}\frac{x\Delta x}{x}$$

(2.123)

sugerindo a definição de número de condicionamento de um problema.

De modo geral, quando $f$ depende de várias variáveis, podemos obter

$${\delta }_f=|f\left(x_1,x_2,...,x_n\right)-f\left({\bar{x}}_1,{\bar{x}}_2,...,{\bar{x}}_n\right)|\approx \sum _{i=1}^n\left|\frac{\partial f}{\partial x_i}\left(x_1,x_2,...,x_n\right)\right|{\delta }_{x_i}$$

(2.125)

Uma matriz de números de condicionamento também poderia ser obtida como em [5].

Solução. Temos que $x\approx 2$ com erro absoluto de ${\delta }_x=0,05$. Neste caso, calculamos ${\delta }_f$, isto é, o erro absoluto ao calcular $f\left(x\right)$, por:

$${\delta }_f=\left|f^{\prime }\left(x\right)\right|{\delta }_x.$$

(2.136)

Como $f^{\prime }\left(x\right)=\left(1+x\right)e^x$, temos: $$\begin{array}{rcll}{\delta }_f& =& \left|\left(1+x\right)e^x\right|\cdot {\delta }_x& \text{(2.137)}\\ & =& \left|3e^2\right|\cdot 0,05=1,1084.& \text{(2.138)}\end{array}$$

Portanto, o erro absoluto ao calcular $f\left(x\right)$ quando $x=2\pm 0,05$ é de $1,1084$.

Solução. Calculamos as derivadas parciais de $f$:

$$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{2x^3-\left(2x^3+2x\right)}{x^4}{e}^{2y}=-\frac{2e^{2y}}{x^3}$$

(2.139)

e

$$\frac{\partial f}{\partial y}=2\frac{x^2+1}{x^2}{e}^{2y}$$

(2.140)

Calculamos o erro absoluto em termos do erro relativo:

$$\frac{{\delta }_x}{\left|x\right|}=0,1\Rightarrow {\delta }_x=3\cdot 0,1=0,3$$

(2.141)

$$\frac{{\delta }_y}{\left|y\right|}=0,03\Rightarrow {\delta }_y=2\cdot 0,03=0,06$$

(2.142)

Aplicando a expressão para estimar o erro em $f$ temos $$\begin{array}{rcll}{\delta }_f& =\left|\frac{\partial f}{\partial x}\right|{\delta }_x+\left|\frac{\partial f}{\partial y}\right|{\delta }_y& & \text{(2.143)}\\ & =\frac{2e^4}{27}\cdot 0,3+2\frac{9+1}{9}{e}^4\cdot 0,06=8,493045557& & \text{(2.144)}\end{array}$$

Portanto, o erro relativo ao calcular $f$ é estimado por

$$\frac{\delta f}{\left|f\right|}=\frac{8,493045557}{\frac{9+1}{9}{e}^4}=14\%$$

(2.145)

Solução. Na primeira situação temos $x=3$ com erro relativo de $5\%$ e ${\delta }_x=0,05\cdot 3=0,15$. Calculamos ${\delta }_f=7,886399450$ e o erro relativo em $f$ de $13\%$. Na segunda situação, temos $y=2$ com erro de $1,5\%$ e ${\delta }_y=2\cdot 0,015=0,03$. Calculamos ${\delta }_f=4,853168892$ e o erro relativo em $f$ de $8\%$. Observe que mesma o erro relativo em $x$ sendo maior, o erro em $y$ é mais significante na função.

Solução. Primeiro vamos encontrar a expressão para a área em função da hipotenusa $a$ e um cateto $b$. A tamanho de segundo cateto $c$ é dado pelo teorema de Pitágoras, $a^2=b^2+c^2$, ou seja, $c=\sqrt{a^2-b^2}$. Portanto a área é

$$A=\frac{bc}{2}=\frac{b\sqrt{a^2-b^2}}{2}.$$

(2.146)

Agora calculamos as derivadas

$$\frac{\partial A}{\partial a}=\frac{ab}{2\sqrt{a^2-b^2}},$$

(2.147)

$$\frac{\partial A}{\partial b}=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{2}-\frac{b^2}{2\sqrt{a^2-b^2}},$$

(2.148)

e substituindo na estimativa para o erro ${\delta }_A$ em termos de ${\delta }_a=0,01$ e ${\delta }_b=0,01$: $$\begin{array}{rcll}{\delta }_A& \approx & \left|\frac{\partial A}{\partial a}\right|{\delta }_a+\left|\frac{\partial A}{\partial b}\right|{\delta }_b& \text{(2.149)}\\ & \approx & \frac{3\sqrt{5}}{5}\cdot 0,01+\frac{\sqrt{5}}{10}\cdot 0,01=0,01565247584& \text{(2.150)}\end{array}$$

Em termos do erro relativo temos erro na hipotenusa de $\frac{0,01}{3}\approx 0,333\%$, erro no cateto de $\frac{0,01}{2}=0,5\%$ e erro na área de

$$\frac{0,01565247584}{\frac{2\sqrt{3^2-2^2}}{2}}=0,7\%$$

(2.151)

Exercícios

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