Existência e unicidade

Cálculo Numérico - Versão Scilab

3.1 Existência e unicidade

O teorema de Bolzano² nos fornece condições suficientes para a existência do zero de uma função. Este é uma aplicação direta do teorema do valor intermediário.

Teorema 3.1.1 (Teorema de Bolzano). Se $f : [a, b] \to ℝ$ , $y = f (x)$ , é uma função contínua tal que $f (a) \cdot f (b) < 0$ ³ , então existe $x^{*} \in (a, b)$ tal que $f (x^{*}) = 0$ .

Demonstração. O resultado é uma consequência imediata do teorema do valor intermediário que estabelece que dada uma função contínua

f : [a, b] \to ℝ

y = f (x)

, tal que

f (a) < f (b)

(ou

f (b) < f (a)

), então para qualquer

d \in (f (a), f (b))

(ou

k \in (f (b), f (a))

) existe

x^{*} \in (a, b)

tal que

f (x^{*}) = k

. Ou seja, nestas notações, se

f (a) \cdot f (b) < 0

, então

f (a) < 0 < f (b)

(ou

f (b) < 0 < f (a)

). Logo, tomando

k = 0

, temos que existe

x^{*} \in (a, b)

tal que

f (x^{*}) = k = 0

$■$

Em outras palavras, se $f (x)$ é uma função contínua em um dado intervalo no qual ela troca de sinal, então ela tem pelo menos um zero neste intervalo (veja a Figura 3.1).

Figura 3.1: Teorema de Bolzano.

Exemplo 3.1.1. Mostre que existe pelo menos uma solução da equação $e^{x} = x + 2$ no intervalo $(- 2, 0)$ .

Solução. Primeiramente, observamos que resolver a equação $e^{x} = x + 2$ é equivalente a resolver $f (x) = 0$ com $f (x) = e^{x} - x - 2$ . Agora, como $f (- 2) = e^{- 2} > 0$ e $f (0) = - 2 < 0$ , temos do teorema de Bolzano que existe pelo menos um zero de $f (x)$ no intervalo $(- 2, 0)$ . E, portanto, existe pelo menos uma solução da equação dada no intervalo $(- 2, 0)$ .

Podemos usar o Scilab para estudarmos esta função. Por exemplo, podemos definir a função $f (x)$ e computá-la nos extremos do intervalo dado com os seguintes comandos:

-->deff(’y=f(x)’,’y=exp(x)-x-2’)
-->f(-2),f(0)
ans  =
    0.1353353
ans  =
  - 1.

Alternativamente (e com maior precisão), podemos verificar diretamente o sinal da função nos pontos desejados com comando sign:

-->sign(f(-2)),sign(f(0))
ans  =
    1.
ans  =
  - 1.

$♢$

Quando procuramos aproximações para zeros de funções, é aconselhável isolar cada raiz em um intervalo. Desta forma, gostaríamos de poder garantir a existência e a unicidade da raiz dentro de um dado intervalo. A seguinte proposição nos fornece condições suficientes para tanto.

Proposição 3.1.1. Se $f : [a, b] \to ℝ$ é um função diferenciável, $f (a) \cdot f (b) < 0$ e $f^{'} (x) > 0$ (ou $f^{'} (x) < 0$ ) para todo $x \in (a, b)$ , então existe um único $x^{*} \in (a, b)$ tal que $f (x^{*}) = 0$ .

Em outras palavras, para garantirmos que exista um único zero de uma dada função diferenciável em um intervalo, é suficiente que ela troque de sinal e seja monótona neste intervalo.

Exemplo 3.1.2. No Exemplo 3.1.1, mostramos que existe pelo menos um zero de $f (x) = e^{x} - x - 2$ no intervalo $(- 2, 0)$ , pois $f (x)$ é contínua e $f (- 2) \cdot f (0) < 0$ . Agora, observamos que, além disso, $f^{'} (x) = e^{x} - 1$ e, portanto, $f^{'} (x) < 0$ para todo $x \in (- 2, 0)$ . Logo, da Proposição 3.1.1, temos garantida a existência de um único zero no intervalo dado.

Podemos inspecionar o comportamento da função $f (x) = e^{x} - x - 2$ e de sua derivada fazendo seus gráficos no Scilab. Para tanto, podemos fazer o seguinte teste:

-->x = linspace(-2,0,50);
-->deff(’y = f(x)’,’y=exp(x)-x-2’)  // define f
-->plot(x,f(x));xgrid               // grafico de f
-->deff(’y = fl(x)’,’y=exp(x)-1’)   // a derivada
-->plot(x,fl(x));xgrid              // grafico de f’

A discussão feita nesta seção, especialmente o teorema de Bolzano, nos fornece os fundamentos para o método da bisseção, o qual discutimos na próxima seção.

Exercícios

E 3.1.1. Mostre que $cos x = x$ tem solução no intervalo $[0, π ∕ 2]$ .

Resposta.

Observamos que a equação é equivalente a $cos (x) - x = 0$ . Tomando, então, $f (x) = cos (x) - x$ , temos que $f (x)$ é contínua em $[0, π ∕ 2]$ , $f (0) = 1$ e $f (π ∕ 2) = - π ∕ 2 < 0$ . Logo, do teorema de Bolzano 3.1.1, concluímos que a equação dada tem pelo menos uma solução no intervalo $(0, π ∕ 2)$ .

E 3.1.2. Mostre que $cos x = x$ tem uma única solução no intervalo $[0, π ∕ 2]$ .

Resposta.

No Exercício 3.1.1, mostramos que a função $f (x) = cos (x) - x$ tem um zero no intervalo $[0, π ∕ 2]$ . Agora, observamos que $f^{'} (x) = - sen (x) - 1$ . Como $0 < sen x < 1$ para todo $x \in (0, π ∕ 2)$ , temos que $f^{'} (x) < 0$ em $(0, π ∕ 2)$ , isto é, $f (x)$ é monotonicamente decrescente neste intervalo. Logo, da Proposição 3.1.1, temos que existe um único zero da função neste intervalo.

E 3.1.3. Interprete a equação $cos (x) = k x$ como o problema de encontrar a intersecção da curva $y = cos (x)$ com $y = k x$ . Encontre o valor positivo $k$ para o qual essa equação admite exatamente duas raízes positivas distintas.

Resposta.

$k \approx 0, 161228$

E 3.1.4. Mostre que a equação:

ln (x) + x^{3} - \frac{1}{x} = 10

(3.1)

possui uma única solução positiva.

E 3.1.5. Use o teorema de Bolzano para mostrar que o erro absoluto ao aproximar o zero da função $f (x) = e^{x} - x - 2$ por $\bar{x} = - 1, 841$ é menor que $1 0^{- 3}$ .

Resposta.

Escolhendo o intervalo $[a, b] = [- 1, 841 - 1 0^{- 3}, - 1, 841 + 1 0^{- 3}]$ , temos $f (a) \approx 5 \times 1 0^{- 4} > 0$ e $f (b) \approx - 1, 2 \times 1 0^{- 3} < 0$ , isto é, $f (a) \cdot f (b) < 0$ . Então, o teorema de Bolzano nos garante que o zero exato $x^{*}$ de $f (x)$ está no intervalo $(a, b)$ . Logo, da escolha feita, $| - 1, 841 - x^{*} | < 1 0^{- 3}$ .