E 10.2.1. Implemente um programa de com as seguintes características:

• lê $N$ números inteiros na linha de comando, $a_1$, $a_2$, ... $a_N$.
• Calcule a soma $S=a_1+a_2+\cdots +a_N$.
• Faça o seguinte teste:

    Se a divisão de $S$ por 3 tiver resto 0, então aloque dinamicamente memória para o vetor de $2N$ posições com as entradas $V_i=a_i$, $i=1,2,...,N$ e $V_i=a_{2N-i}$, $i=N,N+1,...,2N$.

    Se a divisão de $S$ por 3 tiver resto 1, então aloque dinamicamente memória para o vetor de $N^2$ posições com as entradas $V_{\left(i+N\left(j-1\right)\right)}=a_i+a_j$, $i=1,2,...,N$ e $j=1,2,...,N$.

    Se a divisão de $S$ por 3 tiver resto 2, então aloque dinamicamente memória para o vetor de $N$ posições com as entradas $V_i=a_i$, $i=1,2,...,N$.

E 10.2.2. Considere o seguinte problema $$\begin{array}{rcll}-\frac{d{I}_1}{dy}+I_1& =& \frac{1}{8}\left(I_1+I_2\right),0<y<1& \\ \frac{d{I}_2}{dy}+I_2& =& \frac{1}{8}\left(I_1+I_2\right),0<y<1& \\ I_1\left(1\right)& =& 1& \\ I_2\left(0\right)& =& 1& \end{array}$$

Observações:

• Embora o problema possua solução analítica, vamos resolvê-lo numericamente.
• Esse problema não é um problema de valor inicial, portanto, os métodos de Runge-Kutta, Adams, BDF’s não se aplicam.
• Discretize o domínio $y$, $y_k=k∕N$, $k=0,\cdots ,N$, e resolva o problema $$\begin{array}{rcll}\frac{d{I}_1}{dy}-I_1& =& -S^{k+1∕2},y_k<y<y_{k+1}& \\ \frac{d{I}_2}{dy}+I_2& =& S^{k+1∕2},y_k<y<y_{k+1}& \end{array}$$

  supondo que $S^{k+1∕2}$ é um valor conhecido no intervalo $\left[y_k,y_{k+1}\right]$. Assim: $$\begin{array}{rcll}\frac{d\left(I_1{e}^{-y}\right)}{dy}& =& -e^{-y}{S}^{k+1∕2},y_k<y<y_{k+1}& \\ \frac{d\left(I_2{e}^y\right)}{dy}& =& e^y{S}^{k+1∕2},y_k<y<y_{k+1}.& \end{array}$$

  Agora, integramos no intervalo $\left[y_k,y_{k+1}\right]$: $$\begin{array}{rcll}{\left.I_1{e}^{-y}\right|}_{y_k}^{y_{k+1}}& =& S^{k+1∕2}{\left.e^{-y}\right|}_{y_k}^{y_{k+1}}& \\ {\left.I_2{e}^y\right|}_{y_k}^{y_{k+1}}& =& {\left.S^{k+1∕2}{e}^y\right|}_{y_k}^{y_{k+1}}.& \end{array}$$

  Assim, temos: $$\begin{array}{rcll}{I}_1^{k+1}{e}^{-y_{k+1}}-I_1^k{e}^{-y_k}& =& S^{k+1∕2}\left(e^{-y_{k+1}}-e^{-y_k}\right)& \\ I_2^{k+1}{e}^{y_{k+1}}-I_2^k{e}^{y_k}& =& S^{k+1∕2}\left(e^{y_{k+1}}-e^{y_k}\right).& \end{array}$$

  Finalmente, temos o seguinte algoritmo: $$\begin{array}{rcll}{I}_1^k& =& I_1^{k+1}{e}^{y_k-y_{k+1}}+S^{k+1∕2}\left(1-e^{y_k-y_{k+1}}\right),k=N-1,N-2,\cdots ,1,0,& \\ I_2^{k+1}& =& I_2^k{e}^{y_k-y_{k+1}}+S^{k+1∕2}\left(1-e^{y_k-y_{k+1}}\right),k=0,1,2,\cdots ,N-1,& \\ I_1^N& =& 1,& \\ I_2^0& =& 1.& \end{array}$$

  onde a primeira aproximação $S^{k+1∕2}$ é zero e, depois de calcular $I_1^k$ e $I_2^k$, calculamos uma nova aproximação $$S^{k+1∕2}=\frac{1}{16}\left(I_1^k+I_2^k\right)+\frac{1}{16}\left(I_1^{k+1}+I_2^{k+1}\right).$$

Atualizamos $S^{k+1∕2}$ até o processo iterativo converjir.

E 10.2.3. Resolva o seguinte problema de transporte $$\begin{array}{rcll}-\frac{d{I}_1}{dy}+I_1& =& \frac{1}{24}\left(I_1+2I_2+2I_3+I_4\right),0<y<1& \\ -\frac{1}{3}\frac{d{I}_2}{dy}+I_2& =& \frac{1}{24}\left(I_1+2I_2+2I_3+I_4\right),0<y<1& \\ \frac{1}{3}\frac{d{I}_3}{dy}+I_3& =& \frac{1}{24}\left(I_1+2I_2+2I_3+I_4\right),0<y<1& \\ \frac{d{I}_4}{dy}+I_4& =& \frac{1}{24}\left(I_1+2I_2+2I_3+I_4\right),0<y<1& \\ I_1\left(1\right)& =& 0.5& \\ I_2\left(1\right)& =& 0.5& \\ I_3\left(0\right)& =& 0.5& \\ I_4\left(0\right)& =& 0.5& \\ & & & \end{array}$$

Observação: Use o algoritmo introduzida do exercício 10.2.2.