E 4.4.1. Implemente um código para resolver o sistema $$\begin{array}{rcll}5x_1+x_2+x_3-x_4& =& 1& \\ -x_1-4x_2+2x_4& =& -2& \\ -2x_1+2x_2-5x_3-x_4& =& -5& \\ x_2-x_3+5x_4& =& -5& \\ & & & \end{array}$$

com o método de Jacobi.

E 4.4.2. Implemente um código para resolver o sistema $$\begin{array}{rcll}5x_1+x_2+x_3-x_4& =& 1& \\ -x_1-4x_2+2x_4& =& -2& \\ -2x_1+2x_2-5x_3-x_4& =& -5& \\ x_2-x_3+5x_4& =& -5& \\ & & & \end{array}$$

com o método de Gauss-Seidel.

A iteração de Gauss-Seidel para resolver o sistema 4.1 é $$\begin{array}{rcll}{x}_1^{\left(k+1\right)}& =& \frac{y_1-\left(a_{12}{x}_2^{\left(k\right)}+\cdots +a_{1n}{x}_n^{\left(k\right)}\right)}{a_{11}}& \\ x_2^{\left(k+1\right)}& =& \frac{y_2-\left(a_{21}{x}_1^{\left(k+1\right)}+a_{23}{x}_3^{\left(k\right)}+\cdots +a_{2n}{x}_n^{\left(k\right)}\right)}{a_{22}}& \\ & ⋮& & \\ x_n^{\left(k+1\right)}& =& \frac{y_2-\left(a_{n1}{x}_1^{\left(k+1\right)}+\cdots +a_{n\left(n-1\right)}{x}_{n-1}^{\left(k+1\right)}\right)}{a_{nn}}& \end{array}$$

onde $x_1^0$, $x_2^0$, $\cdots$, $x_n^0$ é um chute inicial.

E 4.4.3. Um sistema tridiagonal é um sistema de equações lineares cuja matriz associada é tridiagonal, conforme a seguir: $$\begin{array}{rcll}\left[\begin{array}{ccccc}\hfill b_1\hfill & \hfill c_1\hfill & \hfill \hfill & \hfill \hfill & \hfill \hfill \\ \hfill a_2\hfill & \hfill b_2\hfill & \hfill c_2\hfill & \hfill \hfill & \hfill \hfill \\ \hfill \hfill & \hfill a_3\hfill & \hfill b_3\hfill & \hfill \ddots \hfill & \hfill \hfill \\ \hfill \hfill & \hfill \hfill & \hfill \ddots \hfill & \hfill \ddots \hfill & \hfill c_{n-1}\hfill \\ \hfill \hfill & \hfill \hfill & \hfill \hfill & \hfill a_n\hfill & \hfill b_n\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\hfill x_1\hfill \\ \hfill x_2\hfill \\ \hfill x_3\hfill \\ \hfill ⋮\hfill \\ \hfill x_n\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\hfill d_1\hfill \\ \hfill d_2\hfill \\ \hfill d_3\hfill \\ \hfill ⋮\hfill \\ \hfill d_n\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right].& & & \end{array}$$

A solução do sistema tridiagonal acima pode ser obtido pelo algoritmo de Thomas dado por: $$\begin{array}{rcll}{c}_i^{\prime }& =& \left\{\begin{array}{c}\begin{array}{cc}\frac{c_i}{b_i},\hfill & \hfill i=1\hfill \\ \frac{c_i}{b_i-a_i{c}_{i-1}^{\prime }},\hfill & \hfill i=2,3,\dots ,n-1\hfill \end{array}\hfill \end{array}\right.& \\ \text{e}& & & \\ d_i^{\prime }& =& \left\{\begin{array}{c}\begin{array}{cc}\frac{d_i}{b_i},\hfill & \hfill i=1\hfill \\ \frac{d_i-a_i{d}_{i-1}^{\prime }}{b_i-a_i{c}_{i-1}^{\prime }},\hfill & \hfill i=2,3,\dots ,n.\hfill \end{array}\hfill \end{array}\right.& \end{array}$$

Finalmente a solução final é obtida por substituição reversa: $$\begin{array}{rcll}{x}_n& =& d_n^{\prime }& \\ x_i& =& d_i^{\prime }-c_i^{\prime }{x}_{i+1},i=n-1,n-2,\dots ,1.& \end{array}$$

Implemente um código para resolver sistemas tridiagonais e teste resolvendo o problema $$\left[\begin{array}{ccccc}\hfill 2\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 1\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 2\hfill \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\hfill x_1\hfill \\ \hfill x_2\hfill \\ \hfill x_3\hfill \\ \hfill x_4\hfill \\ \hfill x_5\hfill \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\hfill 4\hfill \\ \hfill 4\hfill \\ \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill \\ \hfill 2\hfill \end{array}\right].$$

E 4.4.4. Refaça o exercício 4.4.1 usando a estrutura de matrizes.

E 4.4.5. Escreva um programa que lê as entradas de uma matriz diagonal estritamente dominante $A$ e um vetor $B$ e imprime a solução do sistema $Ax=B$. Use o método iterativo de Gauss-Seidel.

E 4.4.6. Resolva numericamente o problema de valor de contorno para a equação de calor no estado estacionário $$\left\{\begin{array}{c}-u_{xx}=32,0<x<1.\hfill \\ u\left(0\right)=5\hfill \\ u\left(1\right)=10\hfill \end{array}\right.$$

usando o método de diferenças finitas.

E 4.4.7. Resolva numericamente o problema de valor de contorno para a equação de calor no estado estacionário $$\left\{\begin{array}{c}-u_{xx}=200e^{-{\left(x-1\right)}^2},0<x<2.\hfill \\ u\left(0\right)=120\hfill \\ u\left(2\right)=100\hfill \end{array}\right.$$

usando o método de diferenças finitas.

E 4.4.8. Resolva numericamente o problema de valor de contorno para a equação de calor no estado estacionário $$\left\{\begin{array}{c}-u_{xx}=200e^{-{\left(x-1\right)}^2},0<x<2.\hfill \\ u^{\prime }\left(0\right)=0\hfill \\ u\left(2\right)=100\hfill \end{array}\right.$$

usando o método de diferenças finitas.