Exemplo 6.4.1. $\frac{\left|x\right|}{x}$

Precisamos analisar separadamente o casos em que $x<0$ e $x>0$, note que o caso em que $x=0$ a expressão não está definida, pois não existe divisão por $0$ (zero), por isso não precisamos nos preocupar com este caso.

• Caso $x>0$, temos pela definição de módulo que, $\left|x\right|=x$, de modo que

  $$\frac{\left|x\right|}{x}=\frac{x}{x}=1$$

  (6.28)

• Caso $x<0$, temos pela definição de módulo que, $\left|x\right|=-x$, de modo que

  $$\frac{\left|x\right|}{x}=\frac{-x}{x}=-1$$

  (6.29)

Portanto,

Exemplo 6.4.2. $\left|-5x^5\right|$

Observe que neste caso o expoente de $x$ é um número ímpar, e no item seguinte um número par, por isso temos essa diferença sútil na resposta.

Exemplo 6.4.3. $\left|-5x^4\right|$

Exemplo 6.4.4. $\left|\frac{2x^{2}y}{4x{y}^3}\right|$

Exemplo 6.4.5. $\frac{\left|-6x\right|}{5}-\left|\frac{-3x}{2}\right|$

Exemplo 6.4.6. $\left|x-2\right|+\left|x+4\right|$

Para simplificar esta expressão, primeiro precisamos usar duas vezes a definição de módulo:

Observe que $\left|x-2\right|$ muda de sinal quando $x=2$, e que $\left|x+4\right|$ muda de sinal quando $x=-4$, logo esta soma de módulos tem uma definição particular para cada um dos intervalos $\left(-\infty ,-4\right)$, $\left[-4,2\right)$ e $\left[2,\infty \right)$. Para facilitar a compreensão organizamos na tabela abaixo a soma em cada caso.

Portanto, temos que