Função modular

Pré-calculo - Um Livro Colaborativo

11.10 Função modular

Considere a função $f : ℝ \to ℝ$ , dada por $f (x) = |x|$ , pela deﬁnição de módulo temos que $f$ é uma função deﬁnida por partes, da seguinte forma:

f (x) = |x| = \{\begin{matrix} x, se x \geq 0 \\ - x, se x < 0 \end{matrix} .

Cujo gráﬁco é dado por:

Figura 11.18: Gráﬁco da função módulo

Note que, $I m (f) = [0, \infty)$ e não todo o contradomínio que no caso é o conjunto $ℝ$ . Além disso esta é uma função na qual as duas partes são lineares.

Exemplo 11.10.1. Vamos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento, caso existam, da função $f (x) = |x|$ . Lembramos que esta função é deﬁnida por partes, por isso faremos a análise em cada uma destas partes.

Caso 1: Se $x < 0$ , temos que $f (x) = - x$ , logo se $x_{1} < x_{2}$ ,

x_{1} < x_{2} \Rightarrow - x_{1} > - x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) > f (x_{2}),

(11.38)

por exemplo, sendo $x_{1} = - 3$ e $x_{2} = - 2$ temos que $x_{1} < x_{2}$ ,

f (x_{1}) = f (- 3) = - (- 3) = 3 > 2 = - (- 2) = f (- 2) = f (x_{2}) .

(11.39)

Portanto se $x < 0$ temos que $f$ é decrescente.

Caso 2: Se $x \geq 0$ , temos que $f (x) = x$ , logo se $x_{1} < x_{2}$

x_{1} < x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) < f (x_{2}),

(11.40)

por exemplo, sendo $x_{1} = 2$ e $x_{2} = 3$ temos que $x_{1} < x_{2}$ ,

f (x_{1}) = 2 > 3 = f (x_{2}) .

(11.41)

Portanto se $x \geq 0$ temos que $f$ é crescente.

Exemplo 11.10.2. Consideramos agora a função $f_{1} : ℝ \to ℝ$ dada por $f_{1} (x) = |x + 1|$ , observe que:

x + 1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq - 1

(11.42)

com isso podemos reescrever a função $f_{1}$ sem os módulos da seguinte forma:

f_{1} (x) = \{\begin{matrix} x + 1, se x \geq - 1 \\ - x - 1, se x < - 1 \end{matrix} .

Com isso a função modular pode ser vista como uma função linear por partes.

Exemplo 11.10.3. Analogamente, para a função $f_{2} : ℝ \to ℝ$ dada por $f_{2} (x) = |x + 1| + 2$ , temos que:

x + 1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq - 1

(11.43)

com isso podemos reescrever a função $f_{2}$ sem os módulos da seguinte forma:

f_{2} (x) = \{\begin{matrix} x + 3, se x \geq - 1 \\ - x + 1, se x < - 1 \end{matrix} .

Com isso a função modular também pode ser vista como uma função linear por partes.

Os gráﬁcos das funções $f$ , $f_{1}$ e $f_{2}$ estão dados na ﬁgura a seguir.

Figura 11.19: Gráﬁco da função módulo

Comparando os gráﬁcos das funções $f$ e $f_{1}$ notamos que ao somar uma constante “dentro” do módulo transladamos o gráﬁco da função $f$ no eixo $x$ , e ao comparar as funções $f_{1}$ e $f_{2}$ percebemos que ao somar uma constante “fora” do módulo fazemos uma translação do gráﬁco da função $f_{1}$ em relação ao eixo $y$ .

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