Exercícios

Pré-calculo - Um Livro Colaborativo

5.7 Exercícios

E 5.7.1. Calcule as seguintes potências:

a) $2^{4}$ b) $150 0^{0}$ c) ${(- 7)}^{2}$ d) ${(- 4)}^{3}$ e) $- 1 5^{2}$ f) $- 3^{5}$ g) ${(\frac{2}{5})}^{3}$ h) ${(7^{2} + 5^{3})}^{2}$ i) $1 6^{- 1}$ j) ${(\frac{- 9}{10})}^{- 2}$ k) ${(π)}^{0}$ l) ${(\frac{3}{7})}^{- 3}$ m) ${(2, 105)}^{1}$ n) ${(- \frac{4}{5})}^{- 4}$

Resposta.

a) $16$ b) $1$ c) $49$ d) $64$ e) $- 225$ f) $- 243$ g) $(\frac{8}{125})$ h) $30276$ i) $(\frac{1}{16})$ j) $(\frac{100}{81})$ k) $1$ l) $(\frac{343}{27})$ m) $2, 105$ n) $(- \frac{625}{256})$

E 5.7.2. Com base nas propriedades de potência classiﬁque as aﬁrmações em V (verdadeiro) ou F (falso):

a) ( ) $1 3^{7} \cdot 1 3^{9} = 1 3^{8}$ b) ( ) $1 5^{8} \div 1 5^{10} = 1 5^{- 2}$ c) ( ) ${(3^{7})}^{6} = 3^{42}$ d) ( ) ${(500 \cdot 3)}^{5} = 50 0^{5} \cdot 3^{5}$ e) ( ) ${(7^{2} + 6^{3})}^{2} = 7^{4} + 6^{6}$ f) ( ) ${(1 2^{2} \cdot 6^{3})}^{2} = 1 2^{4} \cdot 6^{5}$ g) ( ) ${(\frac{5}{3})}^{4} = \frac{5^{4}}{3^{4}}$ h) ( ) ${(- 3)}^{- 5} = \frac{1}{{(- 3)}^{5}}$ i) ( ) ${(\frac{2}{5})}^{- 3} = {(\frac{2}{5})}^{3}$ j) ( ) $\frac{3}{4^{\frac{- 1}{2}}} = 6$ k) ( ) ${(\frac{7^{2} \cdot 5}{10})}^{2} = \frac{7^{4} \cdot 25}{100}$ l) ( ) ${(π)}^{0} = 1$ m) ( ) ${(2^{\frac{1}{4}})}^{8} = 4$ n) ( ) ${(3^{\frac{3}{5}})}^{5} = 3^{\frac{28}{5}}$

Resposta.

a) F b) V c) V d) V e) F f) F g) V h) V i) F j) V k) V l) V m) V n) F

E 5.7.3. Use as propriedades de potência para simpliﬁcar as seguintes expressões:

a) ${(\frac{3^{5} \cdot 5^{3}}{3^{7} \cdot 5^{2}})}^{- 1}$ b) ${(\frac{2^{29} + 2^{31}}{10})}^{\frac{1}{4}}$ c) $\frac{6^{3} - {(- 8)}^{- 2}}{4^{- 2} + 2^{- 1}}$ d) $\frac{6 \cdot 8^{- 4} \cdot 8^{6} \cdot {(2^{3})}^{5}}{3 \cdot 8^{- 3} \cdot 8^{7}}$ e) ${(4^{- \frac{2}{3}} \cdot 2 5^{\frac{1}{- 6}})}^{- 3}$ f) $1 6^{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt[3]{4}$

Resposta.

a) $\frac{3^{2}}{5}$ b) $2^{7}$ c) $\frac{2^{9} 3^{3} - 1}{2^{2} + 2^{5}}$ d) $2 \cdot 8^{3}$ e) $4^{2} \cdot 5$ f) $4$

E 5.7.4. Quais das seguintes expressões são números reais?

a) $\sqrt{27}$ b) $\sqrt{- 144}$ c) $\sqrt[4]{- 16}$ d) $\sqrt{{(- 5)}^{2}}$ e) $\sqrt[3]{24}$ f) $\sqrt[3]{- 27}$ g) $\sqrt[7]{- 1}$ h) $\sqrt[5]{2^{15}}$ i) $\sqrt[6]{\frac{- 3^{6}}{- 3^{6} \cdot 9^{3}}}$ j) $\sqrt{\sqrt[3]{- 64}}$ k) $\sqrt[4]{- 4^{2}}$

Resposta.

a) $\sqrt{27} \in ℝ$ b) $\sqrt{- 144} \notin ℝ$ c) $\sqrt[4]{- 16} \notin ℝ$ d) $\sqrt{{(- 5)}^{2}} \in ℝ$ e) $\sqrt[3]{24} \in ℝ$ f) $\sqrt[3]{- 27} \in ℝ$ g) $\sqrt[7]{- 1} \in ℝ$ h) $\sqrt[5]{2^{15}} \in ℝ$ i) $\sqrt[6]{\frac{- 3^{6}}{- 3^{6} \cdot 9^{3}}} \in ℝ$ j) $\sqrt{\sqrt[3]{- 64}} \notin ℝ$ k) $\sqrt[4]{- 4^{2}} \notin ℝ$

E 5.7.5. Por meio de fatoração e simpliﬁcações determine o valor das seguintes raízes:

a) $\sqrt{125}$ b) $\sqrt{\frac{144}{169}}$ c) $\sqrt[4]{1296}$ d) $\sqrt[3]{54}$ e) $\sqrt[3]{- 8}$ f) $\sqrt[5]{- 1}$ g) $\sqrt[6]{729}$ h) ${(\sqrt[6]{16})}^{3}$ i) $\sqrt[5]{\frac{4^{4}}{8}}$ j) $- \sqrt{25 \cdot 3^{3}}$ k) $\sqrt[4]{{(- 4)}^{2}}$ l) $\sqrt{400}$

Resposta.

a) $5 \sqrt{5}$ b) $\frac{12}{13}$ c) $6$ d) $3 \sqrt[3]{2}$ e) $- 2$ f) $- 1$ g) $3$ h) $4$ i) $2$ j) $- 15 \sqrt{3}$ k) $2$ l) $20$

E 5.7.6. Simpliﬁque as seguintes raízes:

a) $\sqrt{2^{3} 5^{4}}$ b) $\sqrt[3]{5^{4}} \cdot \sqrt[3]{5^{2}}$ c) $\sqrt[5]{\sqrt[4]{7}}$ d) $\sqrt[6]{2^{5}} \cdot \sqrt[12]{2^{2}}$ e) $\sqrt[3]{\sqrt{3^{6}}}$ f) ${(\sqrt[5]{8})}^{15}$ g) $\sqrt[3]{\frac{3^{4}}{24}}$ h) $\sqrt[5]{\frac{1}{243}}$ i) $\sqrt[2]{\frac{\sqrt{16}}{25}}$ j) ${(\sqrt{\sqrt[3]{2^{6} \cdot 4^{3}}})}^{3}$ k) $\sqrt[3]{2^{2} \cdot 7^{2} \cdot 3^{3} \cdot 14}$ l) $\sqrt[21]{5^{3}}$ m) $\sqrt[21]{2^{14}}$

Resposta.

a) $50 \sqrt{2}$ b) $25$ c) $\sqrt[20]{7}$ d) $2$ e) $3$ f) $8^{3}$ g) $\frac{3}{2}$ h) $\frac{1}{3}$ i) $\frac{2}{5}$ j) $4^{3}$ k) $2 \cdot 7 \cdot 3$ l) $\sqrt[7]{5}$ m) $\sqrt[3]{2^{2}}$

E 5.7.7. Racionalize os denominadores das seguintes frações:

a) $\frac{5}{\sqrt{3}}$ b) $\frac{1}{\sqrt[3]{1 2^{2}}}$ c) $\frac{3}{\sqrt[3]{5^{2} \cdot 3}}$ d) $\frac{2 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{8}}$ e) $\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{8} - \sqrt{5}}$ f) $\frac{2 \sqrt[4]{3^{2}}}{\sqrt[4]{3^{2}} + \sqrt{7}}$ g) $\frac{\sqrt{5} + 2}{\sqrt{5} - 2} + \frac{\sqrt{5} - 2}{\sqrt{5} + 2}$

Resposta.

a) $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$ b) $\frac{\sqrt[3]{12}}{12}$ c) $\frac{\sqrt[3]{5 \cdot 3^{2}}}{5}$ d) $(2 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{8})$ e) $\frac{2 \sqrt{3} (\sqrt{8} + \sqrt{5})}{3}$ f) $\frac{- \sqrt[4]{3^{2}} (\sqrt[4]{3^{2}} - \sqrt{7})}{2}$ g) $18$

E 5.7.8. Simpliﬁque as seguintes expressões:

a) $\frac{2^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{4}} \cdot {(- 4)}^{- 2}}{3^{3} \cdot 9^{\frac{1}{3}} \cdot 8^{\frac{- 1}{6}}}$ b) $\sqrt{4 \sqrt[3]{- 8} + 3 \sqrt{9}}$ c) $\frac{\sqrt[3]{\sqrt[3]{8} - \sqrt{100}}}{\sqrt[4]{16}}$ d) $\sqrt[5]{1 4^{3}} \cdot (3 \sqrt[5]{4} + 2 \sqrt[10]{7^{4}})$ e) $\frac{2 5^{\frac{- 3}{4}} + \sqrt[5]{3^{5} \cdot 2 1^{- 5}}}{\frac{8}{3} + \frac{4}{3}}$

Resposta.

a) $\frac{2^{\frac{5}{6}}}{2^{4} \cdot 3^{3} \cdot 3^{\frac{5}{12}}}$ b) $1$ c) $- 1$ d) $6 \sqrt[5]{7^{3}} + 14 \sqrt[5]{2^{3}})$ e) $(5^{\frac{- 3}{2}} + \frac{1}{7}) \cdot \frac{1}{4}$

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