Potência com expoente irracional

Pré-calculo - Um Livro Colaborativo

5.5 Potência com expoente irracional

Dados um número real $a > 0$ e um número irracional $α$ , podemos construir por meio de aproximações sucessivas de potências de $a$ com expoente racional, um único número real positivo $a^{α}$ que é potência de base $a$ e expoente irracional $α$ .

Esse método é decorre do fato que um número irracional pode ser aproximado por falta ou por excesso por sequências de números racionais, e potências com expoentes racionais estão bem deﬁnidas, então podemos utilizar estes dois fatos e deﬁnir potências com expoente irracionais que satifazem todas as propriedades de potências já descritas. Vejamos um exemplo:

Exemplo 5.5.1. Consideremos o número irracional $\sqrt{2} = 1, 414213562 \dots$ . Observe que podemos aproximar $\sqrt{2}$ por falta ou por excesso pelos seguintes números racionais:

por falta:

\begin{array}{rcl} 1 & = & 1 \\ 1, 4 & = & \frac{14}{10} \\ 1, 41 & = & \frac{141}{100} \\ 1, 414 & = & \frac{1414}{1000} \\ 1, 4142 & = & \frac{14142}{1000} \end{array}

por excesso:

\begin{array}{rcl} 2 & = & 2 \\ 1, 5 & = & \frac{15}{10} \\ 1, 42 & = & \frac{142}{100} \\ 1, 415 & = & \frac{1415}{1000} \\ 1, 4143 & = & \frac{14143}{1000} \end{array}

Assim podemos deﬁnir o valor de $1 3^{\sqrt{2}}$ por aproximação por falta ou por excesso de potências de base $13$ , da seguinte forma:

por falta:

\begin{array}{rcl} 1 3^{1} = & 1 3^{1} & = 13 \\ 1 3^{1, 4} = & 1 3^{\frac{14}{10}} = & 36, 267756667 \\ 1 3^{1, 41} = & 1 3^{\frac{141}{100}} = & 37, 210039132 \\ 1 3^{1, 414} = & 1 3^{\frac{1414}{1000}} = & 37, 59377174 \\ 1 3^{1, 4142} = & 1 3^{\frac{14142}{1000}} = & 37, 613061911 \end{array}

por excesso:

\begin{array}{rcl} 1 3^{2} = & 1 3^{2} = & 169 \\ 1 3^{1, 5} = & 1 3^{\frac{15}{10}} = & 46, 872166581 \\ 1 3^{1, 42} = & 1 3^{\frac{142}{100}} = & 38, 176803296 \\ 1 3^{1, 415} = & 1 3^{\frac{1415}{1000}} = & 37, 69032163 \\ 1 3^{1, 4143} = & 1 3^{\frac{14143}{10000}} = & 37, 622710708 \end{array}

Portanto $1 3^{\sqrt{2}} \approx 37, 6$ .

Se $a = 0$ e $α$ é irracional e positivo, deﬁnimos $0^{α} = 0$ .

Observação 5. Se $a = 1$ então $1^{α} = 1, \forall α$ irracional.

Observação 6. Se $a < 0$ e $α$ é irracional e positivo então o símbolo $a^{α}$ não tem signiﬁcado.

Observação 7. Se $α$ é irracional e negativo $(α < 0)$ então $0^{α}$ não tem signiﬁcado.

Observação 8. Para as potências de expoente irracional são válidas as propriedades de potências com expoente racional.

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