Raízes

Pré-calculo - Um Livro Colaborativo

5.3 Raízes

Dados um número real $a \geq 0$ e um número natural $n$ , existe um número real positivo ou nulo $b$ tal que $b^{n} = a$ . O número real $b$ é chamado de raiz enézima de $a$ , ou raiz de ordem $n$ de $a$ e indicaremos por $\sqrt[n]{a}$ .

Observação 2. Da deﬁnição decorre que ${(\sqrt[n]{a})}^{n} = a$ .

Observação 3. Note que de acordo com a deﬁnição dada $\sqrt{36} = 6$ e não $\sqrt{36} = \pm 6$ .

Observação 4. Muita atenção ao calcular a raiz quadrada de um quadrado perfeito:

\sqrt{a^{2}} = |a| .

(5.11)

Se $a, b \in ℝ_{+}$ , $m \in ℤ$ , $n \in ℕ^{*}$ , e $p \in ℕ^{*}$ , então valem as seguintes propriedades:

R1): $\sqrt[n]{a^{m}} = \sqrt[n \cdot p]{a^{m \cdot p}}$ ;
R2): $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ ;
R3): $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ , para $b \neq 0$ ;
R4): ${(\sqrt[n]{a})}^{m} = \sqrt[n]{a^{m}}$ ;
R5): $\sqrt[p]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[p \cdot n]{a}$ .

Exemplo 5.3.1. Vejamos agora alguns exemplos de aplicação direta das propriedades de raízes dadas acima.

R1): $\sqrt[4]{7^{3}} = \sqrt[4 \cdot 2]{7^{3 \cdot 2}}$ ;
R2): $\sqrt[3]{8 \cdot 5} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{5}$ ;
R3): $\sqrt[2]{\frac{9}{25}} = \frac{\sqrt[2]{9}}{\sqrt[2]{25}}$ ;
R4): ${(\sqrt[3]{7})}^{6} = \sqrt[3]{7^{6}}$ ;
R5): $\sqrt[2]{\sqrt[3]{729}} = \sqrt[2 \cdot 3]{729} = \sqrt[6]{3^{6}}$ .

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