Polinômios

Pré-calculo - Um Livro Colaborativo

Capítulo 7
Polinômios

Seja $K = ℝ ou ℂ$ . Um polinômio $p$ na incógnita $x$ e com coeﬁcientes em $K$ (simbolicamente, $p \in K [x]$ ) é uma expressão da forma

p (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0} = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i},

(7.1)

em que os coeﬁcientes $a_{n}, \dots, a_{0} \in K$ , $a_{n} \neq 0$ e $n \in ℕ$ . O número natural $n$ é chamado de grau do polinômio $p$ , e escreve-se $g r (p) = n$ . O termo $a_{0}$ é denominado termo constante de $p$ .

Observação 10. Os termos polinômio e função polinomial serão considerados como sinônimos e utilizados sem distinção no decorrer deste texto.

Uma função polinomial de grau $0$ é uma função constante; uma função polinomial de grau $1$ é uma função linear (ou, função aﬁm); uma função polinomial de grau $2$ é uma função quadrática.

Por simplicidade, a partir de agora iremos considerar nossos polinômios sobre $ℝ$ , porém esta teoria pode ser estendida sem muita diﬁculdade para o corpo dos números complexos.

Deﬁnição 7.0.1. Dados um número real $k$ e o polinômio $p (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}$ , chama-se valor numérico de $p$ em $k$ ao valor:

p (k) = a_{n} k^{n} + a_{n - 1} k^{n - 1} + \dots + a_{1} k + a_{0} .

(7.2)

Exemplo 7.0.1. Por exemplo, se considerarmos o polinômio $p (x) = x^{2} + 7 x + 10$ , temos os seguintes valores numéricos para $p$ :

\begin{array}{rcl} p (- 6) & = & {(- 6)}^{2} + 7 (- 6) + 10 = 4 \\ p (- 5) & = & {(- 5)}^{2} + 7 (- 5) + 10 = 0 \\ p (- 4) & = & {(- 4)}^{2} + 7 (- 4) + 10 = - 2 \\ p (- 2) & = & {(- 2)}^{2} + 7 (- 2) + 10 = 0 \\ p (0) & = & 0^{2} + 7 \cdot 0 + 10 = 10 \end{array}

Deﬁnição 7.0.2. Em particular, se $k$ é um número real tal que $p (k) = 0$ , dizemos que $k$ é uma raiz ou um zero de $p$ .

Exemplo 7.0.2. Portanto no exemplo anterior temos que $k_{1} = - 5$ e $k_{2} = - 2$ são raízes do polinômio $p (x) = x^{2} + 7 x + 10$ .

Deﬁnição 7.0.3. O polinômio nulo (ou identicamente nulo) é um polinômio da forma $p (x) = 0 x^{n} + 0 x^{n - 1} + \dots + 0 x + 0$ , ou simplesmente, $p (x) = 0$ . Por convenção, o grau deste polinômio será indeﬁnido.

Teorema 7.0.1. Sejam $p$ e $q$ dois polinômios em $K$ , dados por:

p (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0} = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i}

(7.3)

q (x) = b_{n} x^{n} + b_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + b_{1} x + b_{0} = \sum_{i = 0}^{n} b_{i} x^{i}

(7.4)

temos que $p = q \Leftrightarrow a_{i} = b_{i}$ , para todo $i \in {0, 1, 2, \dots, n}$ .

Demonstração: Para todo $x \in ℝ$ , temos:

a_{i} = b_{i} \Leftrightarrow a_{i} - b_{i} = 0 \Leftrightarrow (a_{i} - b_{i}) x^{i} = 0 \Leftrightarrow \sum_{i = 0}^{n} (a_{i} - b_{i}) x^{i} = 0 \Leftrightarrow

(7.5)

\sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i} - \sum_{i = 0}^{n} b_{i} x^{i} = 0 \Leftrightarrow \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i} = \sum_{i = 0}^{n} b_{i} x^{i} \Leftrightarrow p (x) = q (x)

(7.6)

Este Teorema mostra que, quando escrevemos um polinômio $p$ na forma

p (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}

(7.7)

com $a_{i} \in K$ , então os números $a_{0}, \dots, a_{n}$ são determinados de modo único.

Dados dois polinômios

p (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0} = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i}

(7.8)

q (x) = b_{n} x^{n} + b_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + b_{1} x + b_{0} = \sum_{i = 0}^{n} b_{i} x^{i}

(7.9)

chama-se soma de $p$ com $q$ o polinômio

(p + q) (x) = (a_{n} + b_{n}) x^{n} + (a_{n - 1} + b_{n - 1}) x^{n - 1} + \dots + (a_{1} + b_{1}) x + (a_{0} + b_{0}) = \sum_{i = 0}^{n} (a_{i} + b_{i}) x^{i} .

(7.10)

Teorema 7.0.2. Se $p$ , $q$ e $p + q$ são polinômios não nulos, então o grau do polinômio $p + q$ é menor ou igual ao maior dos números $g r (p)$ e $g r (q)$ ;

g r (p + q) \leq máx {g r (p), g r (q)} .

(7.11)

Teorema 7.0.3. Se $p$ , $q$ e $p \cdot q$ são polinômios não nulos, então o grau do polinômio $p \cdot q$ é igual a soma dos graus de $p$ e $q$ ;

g r (p \cdot q) = g r (p) + g r (q) .

(7.12)

Para funções polinomiais o Teorema Fundamental da Álgebra garante a existência de zeros.

Teorema 7.0.4 (Teorema Fundamental da Álgebra). Seja $p \in ℂ [x]$ um polinômio não constante. Então existe um número complexo $z_{0}$ tal que $p (z_{0}) = 0$ .

Demonstração: A demonstração deste resultado pode ser encontrada em livros de Cálculo de uma variável complexa ou Análise Complexa como por exemplo página 119 do (SOARES, 2009). _

Como consequência direta do Teorema Fundamental da Álgebra temos o seguinte teorema.

Teorema 7.0.5. Todo polinômio de grau $n \geq 1$ possui pelo menos uma raiz real ou complexa.

Observe que estes resultados garantem que todo polinômio possui pelo menos uma raiz complexa, como vamos focar nossos estudos em polinômios sobre $ℝ$ , podemos neste caso ter polinômios que não possuem raízes reais. Ainda sobre as raízes de um polinômio vale destacar o seguinte teorema.

Teorema 7.0.6. Seja $p$ um polinômio não nulo em $K$ , escrito na forma

p (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}

(7.13)

então $p$ tem no máximo $n$ raízes em $K$ .

Teorema 7.0.7. Sejam $p (x)$ , $g (x)$ polinômios sobre o corpo $K$ , i.e., polinômios em $K [x]$ , e suponhamos que $g r (g) \geq 0$ . Então, existem polinômios $q (x)$ e $r (x)$ tais que

p (x) = q (x) g (x) + r (x),

(7.14)

em que $g r (r) < g r (g)$ . Essas condições permitem determinar os polinômio $q$ e $r$ de modo único.

Demonstração: A demonstração deste teorema pode ser encontrada na página 58 do (LANG, 1972). _

Exemplo 7.0.3. Como um exemplo para a divisão de polinômios, façamos a divisão do polinômio $p_{1} (x) = x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$ pelo binômio $g_{1} (x) = x + 1$ :

note que o quociente da divisão é $q_{1} (x) = x^{2} - 5 x + 6$ , e o resto desta divisão é $r (x) = 0$ (zero). Como o resto é zero concluímos que $p_{1} (x)$ é divisível por $g_{1} (x)$ . Portanto $p_{1} (x) = q_{1} (x) g_{1} (x)$ , ou seja, $x^{3} - 4 x^{2} + x + 6 = (x^{2} - 5 x + 6) (x + 1)$ .

Como consequência do teorema anterior, temos o seguinte corolário, que nos garante que no exemplo anterior $- 1$ é uma raiz do polinômio $p_{1} (x)$ .

Corolário 7.0.1. Seja $p$ um polinômio não-nulo sobre $K$ . Seja $α \in K$ tal que $p (α) = 0$ . Então, existe um polinômio $q (x)$ sobre $K$ tal que

p (x) = (x - α) q (x) .

(7.15)

Como consequência deste Corolário, todo polinômio de grau $n \geq 1$ pode ser escrito como produto de $n$ fatores de grau $1$ .

Teorema 7.0.8 (Teorema da Decomposição). Todo polinômio $p (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}$ , com $a_{n} \neq 0$ , pode ser escrito de forma fatorada